(共44张PPT)
第九章
统计
9.1 随
机
抽
样
9.1.1 简单随机抽样
【情境探究】
1.简单随机抽样
(1)要知道一批牛奶是否达标,为什么不采用逐一检测的方法?
提示:因为检测具有破坏性,且耗时费力.
(2)假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包饼干进行
卫生达标检验,得到样本饼干的第一步应该做什么?
提示:将饼干放入一个不透明的袋子中,搅拌均匀.
必备知识生成
(3)在问题(2)的基础上,若想得到样本饼干,则应如何摸取?
提示:从中不放回地摸取并且每次只摸一个.
(4)在上述抽样过程中,某一包饼干第一次被抽到与第二次被抽到的机会相等吗?
提示:相等.
2.简单随机抽样的方法
(1)某班要从班内50人中选派5人去参加某项活动,为了体现选派的公平性,你有
什么办法确定具体人选?
提示:利用抽签法.
(2)当总体中个数较多时,怎样抽取较有代表性的样本?
提示:利用随机数法.
3.思考:什么是总体均值?如何估计总体均值?
提示:总体均值就是总体平均数.可以通过抽取样本,求出样本平均值来估计总体均值.
【知识生成】
1.调查的有关概念
(1)全面调查:对_______调查对象都进行调查的方法,又叫_____.
(2)总体:在一个调查中,调查对象的_____.
(3)个体:组成总体的_______调查对象.
(4)抽样调查:根据一定目的,从总体中抽取___________进行调查,并以此为依
据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
(5)样本:从总体中抽取的那部分个体.
(6)样本量:样本中包含的_______.
每一个
普查
全体
每一个
一部分个体
个体数
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样的定义
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中_________n(1≤n作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的_____
_______,我们把这样的抽样方法叫做_________________;如果抽取是不放回的,
且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的___________,我们把这样
的抽样方法叫做___________________.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽
样统称为简单随机抽样.
逐个抽取
概率
都相等
放回简单随机抽样
概率都相等
不放回简单随机抽样
(2)抽样的必要性
第一,要考查的总体中个体数往往_____,而且在时刻变化,逐一调查不可能.第
二,考查往往具有_______,所以逐一调查也不可取.这就需要抽查一部分,以此
来估计_____.
(3)简单随机抽样的两种常用方法:_______和_________.
很多
破坏性
总体
抽签法
随机数法
3.总体均值(平均数)与样本均值(平均数)
一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称
为总体均值(population
mean),又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中
Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式
如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称
为样本均值(sample
mean),又称样本平均数.
关键能力探究
探究点一 简单随机抽样的概念
【典例1】(1)下列关于简单随机抽样的叙述不正确的是
( )
A.可以放回抽取,也可以不放回抽取
B.它是一种最简单、最基本的抽样方法
C.总体中的个数必须是有限的
D.先被抽取的个体被抽到的可能性要大
(2)某校为了了解高一年级学生的视力情况,特别是近视率的问题,抽测了其中300名同学的视力情况.在这个过程中,300名同学的视力情况(数据)是( )
A.总体
B.个体
C.总体的一个样本
D.样本容量
(3)下列问题中,最适合用简单随机抽样方法的是
( )
A.从10台高清电视机中抽取3台进行质量检査
B.某学术报告厅有32排座位,每排有40个座位,座位号是1～40,有一次报告会
坐满了听众,报告会结束后为听取意见,要留下32名听众进行座谈
C.某单位有在编人员200人,其中行政人员25人、普通职工175人,为了解该单
位的工资情况,要从中抽取一个容量为20的样本
D.某乡镇农田有山地8
000亩、丘陵12
000亩、平地24
000亩、洼地4
000亩,
现抽取农田480亩估计全镇农田平均产量
【思维导引】根据简单随机抽样的概念与特点进行判断.
【解析】(1)选D.由简单随机抽样的特点可以判断A,B,C都正确,并且在抽样过
程中,每个个体被抽到的可能性都相等,不分先后.
(2)选C.300名学生的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的
集合,所以是总体的一个样本.
(3)选A.B项中,由于各排人员对报告的看法差异较大,不宜采用简单随机抽样,
C,D项中,各部分之间差异明显,不宜采用简单随机抽样.
【类题通法】
简单随机抽样必须具备下列特点
(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.
(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.
如果三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样.
【定向训练】
下列几个抽样中,简单随机抽样的个数是
( )
①从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
②仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;
③某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴某地参加抗震救
灾工作;
④一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中逐个无放回地抽
出6个号签.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为
简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②是简单随机抽样.
“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性.③不是简单随机
抽样.因为50名官兵是从中挑出来的,是最优秀的,每个个体被抽到的可能性不
同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.④是简单随机抽样.因为总
体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能
的抽样.综上,只有②④是简单随机抽样.
探究点二 抽签法及其应用
【典例2】某卫生单位为了支援抗震救灾,要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作,请用抽签法设计抽样方案.
【思维导引】根据抽签法步骤设计方案.
【解析】方案如下:第一步,将18名志愿者编号,号码为1,2,3,…,18.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀.
第四步,从盒子中依次取出6个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员.
【类题通法】
抽签法的步骤
(1)将总体中的N个个体编号.
(2)把号码写在号签上.
(3)将号签放在一个容器中,并搅拌均匀.
(4)从容器中每次抽取一个号签,连续抽取n次.
(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.
【知识延拓】
1.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是个体之间
差异不明显.
2.应用抽签法时应注意以下几点:
(1)编号时,如果已有编号可不必重新编号;
(2)号签要求大小、形状完全相同;
(3)号签要均匀搅拌;
(4)要逐一不放回抽取.
【定向训练】
从20架钢琴中抽取5架进行质量检查,请用抽签法确定这5架钢琴.
【解析】第一步,将20架钢琴编号,号码是1,2,…,20.
第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签.
第三步,将得到的号签放入一个不透明的袋子中,并充分搅匀.
第四步,从袋子中逐个不放回地抽取5个号签,并记录上面的编号.
第五步,与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象.
【补偿训练】
(1)用抽签法进行抽样有以下几个步骤:①制签;②抽签;③将签摇匀;④编号;
⑤将抽取的号码对应的个体取出,组成样本.这些步骤的正确顺序为_______.?
(2)某市环保局有各县报送的空气质量材料15份,为了了解全市的空气质量,要
从中抽取一个容量为5的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施操作.
【解析】(1)根据抽签法的步骤:编号,制签,摇匀,抽签,取出样本.
答案:④①③②⑤
(2)总体容量小,样本容量也小,可用抽签法.
步骤如下:
①将15份材料用随机方式编号,号码是1,2,3,…,15;
②将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上,揉成小球,制成号签;
③把号签放入一个不透明的容器中,充分搅拌均匀;
④从容器中不放回地逐个抽取5个号签,并记录上面的号码;
⑤找出和所抽号码对应的5份材料,组成样本.
探究点三 随机数法及其应用
【典例3】假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数法抽取样本时,应如何操作?
【思维导引】利用随机数法抽取样本的步骤进行抽取.
【解析】第一步,将800袋牛奶编号为0～799.
第二步,用随机数工具产生0～799范围内的整数随机数,使与编号对应的牛奶进入样本.
第三步,重复上述过程,如果生成重复随机数,剔除后重新产生随机数,直到得到一个容量为60的样本.
【类题通法】
利用随机数法抽样的步骤
(1)编号;
(2)产生编号内随机数;
(3)重复过程,产生样本.(剔除相同随机数)
【定向训练】
现有一批零件,其编号为600,601,602,…,999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查,若用随机数法,怎样设计方案?
【解析】第一步,利用原有的编号.
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把
它们放入一个不透明的袋子中.
第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1、2、3次摸到
球的数字分别作为百位、十位、个位,这样就生成了一个三位随机数.如果这
个数在600～999之间,就记录下来,否则舍弃,如果有重复舍去,直到得到10个
不同编号.
第四步,与这10个编号对应的零件组成样本.
探究点四 用样本均值估计总体均值
【典例4】某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中随机抽查了20只灯泡,它
们的使用寿命变量值(单位:h)如下所示:
624 847 1205 698 1845 2457 618 1325 1908 2426 2018 2248
2465 2576 987 737 1628 1998 2543 2007
则由这些样本观测数据,估计这批灯泡的平均使用寿命是多少?
【思维导引】计算出样本平均数进行估计.
【解析】抽出的20只灯泡的使用寿命组成一个样本,可以用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命.
根据题中数据,可得样本均值为1658
h.
因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1658
h.
【类题通法】用样本的平均数估计总体的平均数,体现了重要的统计思想.
【定向训练】
为了解一批轮胎的性能,汽车制造厂从这批轮胎中随机抽取了8个进行测试,每
个轮胎行驶的最远里程数(单位:1000
km)为:96,112,97,108,100,103,86,98.
则估计这批轮胎行驶的最远里程数的平均数为
( )
A.100 B.99 C.98 D.97
【解析】选A.用样本平均数估计总体平均数,得这批轮胎行驶的最远里程数的
平均数约为
【课堂小结】
课堂素养达标
1.若对某校1
200名学生的耐力进行调查,抽取其中120名学生,测试他们
1
500
m跑步的成绩,得出相应的数值,在这项调查中,样本是指
( )
A.120名学生
B.1
200名学生
C.120名学生的成绩
D.1
200名学生的成绩
【解析】选C.研究对象是某校1
200名学生的耐力,在这个过程中,1
200名学
生的成绩是总体,样本是抽取的120名学生的成绩.
2.(多选题)下列抽样方法是简单随机抽样的是
( )
A.从100个学生家长中一次性随机抽取10人做家访
B.从38本教辅参考资料中选取内容讲解较好的3本作为教学参考
C.从自然数集中一次性抽取20个进行奇偶性分析
D.某参会人员从最后一排20个座位中随机选择一个坐下
【解析】选AD.A是简单随机抽样,因为“一次性”抽取和逐个不放回抽取是等价的;B不是简单随机抽样,因为每个个体被抽到的可能性不相等;C不是简单随机抽样,因为“总体容量无限”.D是简单随机抽样.
3.从52名学生中选取5名学生参加“希望杯”全国数学邀请赛,若采用简单随机
抽样抽取,则每人入选的可能性
( )
A.都相等,且为
B.都相等,且为
C.都相等,且为
D.都不相等
【解析】选C.对于简单随机抽样,在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都
相等(随机抽样的等可能性).若样本容量为n,总体的个体数为N,则用简单随
机抽样时,每一个个体被抽到的可能性都是
,体现了这种抽样方法的客观
性和公平性.因此每人入选的可能性都相等,且为
.
4.要从高一年级全体学生450人中随机抽出20人作为校运动会志愿者,请用随机数法抽出人选,写出抽取过程.
【解析】第一步,先将450人编号,可以编为1,2,…,450;
第二步,准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把
它们放入一个不透明的袋子中.
第三步,从袋子中有放回摸取3次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2,3次摸到球
的数字分别作为百位、十位、个位,这样就生成了一个三位随机数.如果这个
数在1～450之间,就记录下来,否则舍弃,如果有重复舍去,直到得到20个不同
编号.
第四步,与这20个编号对应的学生组成样本.
5.为了调查某班学生每天完成家庭作业所需的时间,在该班随机抽查了8名学
生,他们每天完成家庭作业所需时间(单位:分钟)分别为
60,55,75,55,55,43,65,40.
(1)求这组样本观测数据的平均数;
(2)估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间,按照学校要求,学生每天完成
家庭作业所需的平均时间不能超过60分钟,该班学生每天完成家庭作业的平均
时间是否符合学校的要求?
【解析】(1)这组样本观测数据的平均数为
×(60+55+75+55+55+43+65+40)
=56.
(2)由样本平均数,估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间为56分钟.
因为56<60,
所以该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求.(共24张PPT)
9.1.2 分层随机抽样
【情境探究】
1.分层随机抽样的使用条件与抽取方法
假设某地区有高中生2
400人,初中生10
900人,小学生11
000人,此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因,要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查.据此回答下列问题:
必备知识生成
(1)对于上述问题中,高中生、初中生、小学生的视力是否有明显的差异?
提示:有明显的差异.
(2)你认为如何从高中生、初中生、小学生中抽样更具有代表性?
提示:按照1∶100的比例,分别从高中生、初中生、小学生中抽取相应数量的个
体.
2.分层随机抽样与简单随机抽样有什么优势?
提示:分层随机抽样使得样本更具有代表性,更能准确地反映总体的特征.
【知识生成】
分层随机抽样
(1)定义:一般地,按___________变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属
于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行_____________,再把所有
子总体中抽取的样本合在一起作为总样本的抽样方法.
(2)层:每一个_______.
(3)比例分配:每层样本量都与层的大小成比例.
一个或多个
简单随机抽样
子总体
关键能力探究
探究点一 分层随机抽样的概念
【典例1】(1)下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是
( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.一次数学竞赛中,某班有10人在100分以上,40人在90～100分,12人低于90分,
现从中抽取12人了解有关情况
C.从1
000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上,抽取样本检查产品质量
(2)分层随机抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取
若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样必须进行
( )
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
【思维导引】当总体由差异明显的几部分组成时,该样本的抽取适合用分层随
机抽样,结合(1)中的四个选项及分层随机抽样的特点可对(1)(2)作出判断.
【解析】(1)选B.A中总体个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样;C
和D中总体个体无明显差异且个数较多,不适合用分层随机抽样;B中总体个体
差异明显,适合用分层随机抽样.
(2)选C.保证每个个体等可能地被抽取是三种基本抽样方式的共同特征,为了
保证这一点,分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
【类题通法】
1.使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别,而层
内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即
遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机
抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
【定向训练】
下列试验中最适合用分层随机抽样法抽样的是
( )
A.从一箱3
000个零件中抽取5个入样
B.从一箱3
000个零件中抽取600个入样
C.从一箱30个零件中抽取5个入样
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【解析】选D.D中总体有明显差异,故用分层随机抽样.
探究点二 分层随机抽样的方案实施
【典例2】一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人,为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?
【思维导引】
【解析】因为职工年龄与这项指标有关,故采用分层随机抽样.步骤如下:
(1)分层.按年龄将职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及
50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为
=
,则在不到35岁的职工中抽
125×
=25(人);
在35岁至49岁的职工中抽280×
=56(人);
在50岁及50岁以上的职工中抽95×
=19(人).
(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
(4)综合每层抽样,组成样本.
【类题通法】
利用比例分配的分层随机抽样抽取样本的操作步骤
【定向训练】
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查,参加调查的总人
数为12
000人,其中持各种态度的人数如表所示:
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见,打算从中再抽取60人进行更为
详细的调查,应怎样进行抽样?
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2
435
4
567
3
926
1
072
【解析】采用比例分配的分层随机抽样的方法,抽样比为
=
.
“很喜爱”的有2
435人,应抽取2
435×
≈12(人);
“喜爱”的有4
567人,应抽取4
567×
≈23(人);
“一般”的有3
926人,应抽取3
926×
≈20(人);
“不喜爱”的有1
072人,应抽取1
072×
≈5(人).
因此,采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的
人中应分别抽取12人、23人、20人、5人.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层
随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取
了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为
( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【解析】选B.设在高二年级的学生中抽取x人,则有
=
,解得x=8.
2.某校高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康状况,从
男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( )
A.简单随机抽样
B.抽签法
C.随机数法
D.分层随机抽样
【解析】选D.从男生500人中抽取25人,从女生400人中抽取20人,抽取的比例
相同,因此用的是分层随机抽样,且样本量的分配方式为比例分配.
3.甲校有3
600名学生,乙校有5
400名学生,丙校有1
800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生
( )
A.30人,30人,30人
B.30人,45人,15人
C.20人,30人,10人
D.30人,50人,10人
【解析】选B.先求抽样比
再各层按抽样比分别抽
取,则甲校抽取
(人),乙校抽取
(人),丙校抽取
(人),故选B.
4.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽
样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级
抽取______名学生.?
【解析】高二年级学生人数占总数的
,样本容量为50,则50×
=15(名).
答案:15
5.某校500名学生中,O型血有200人,A型血有125人,B型血有125人,AB型血有50人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本.按照比例分配的分层随机抽样方法抽取样本,各种血型的人分别抽多少?
【解析】用分层随机抽样方法抽样.因为
所以
故O型血抽8人,A型血抽5人,B型血抽5人,AB型血抽2人.
