(共57张PPT)
9.2
用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
9.2.2 总体百分位数的估计
【情境探究】
1.频率分布直方图
美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅
42岁;就任时年纪最大的是特朗普,他于2017年就任,当时70岁.下面按时间顺
序(从1789年的华盛顿到2017年的特朗普,共45任)给出了历届美国总统就任时
的年龄:
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,
47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,
48,70
必备知识生成
请根据上述材料回答下列问题:
(1)上述45个数据中最大值与最小值的差是多少?
提示:70-42=28.
(2)若将上述数据分成下列几组,[41.5,45.5),[45.5,49.5),[49.5,53.5),
[53.5,57.5),[57.5,61.5),[61.5,65.5),[65.5,69.5),[69.5,73.5],各组中数
据个数是多少?
提示:各组数据的个数依次为2,7,8,16,5,4,2,1.
(3)画频率分布直方图时,数据的分组,组数、组距和极差有何关系?组数一般如
何确定?
提示:组数k=
,如果k∈Z,则组数为k,否则组数为大于k的最小整数.取样
容量越大,分的组数越多.当样本容量不超过100时,常分为5～12组.
2.思考如何求一组数据的中位数?中位数在总体中百分位数是多少?
提示:将一组数据从小到大排列后,位于最中间的数(或者中间两数的平均数).中位数在总体中是50%分位数.
【知识生成】
1.频率分布表与频率分布直方图的特征
(1)频数指某组中包含的个体数,各组频数和=样本容量;频率=
,各组
频率和等于1.
(2)在频率分布直方图中,纵轴表示
,数据落在各小组内的频率用_______
_________来表示,各小长方形的面积的总和等于__.
小长方
形的面积
1
2.百分位数
(1)第p百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组
数据中至少有___的数据小于或等于这个值,且至少有_________的数据大于或
等于这个值.
(2)四分位数:在实际应用中,除了_______外,常用的分位数还有第25百分位数,
第______位数,这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成_______,因此
称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75
百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
p%
(100-p)%
中位数
75百分
四等份
关键能力探究
探究点一 频率分布直方图的画法
【典例1】调查某校高一年级男生的身高,随机抽取40名高一男生,实测身高数
据(单位:cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
【思维导引】找出最值,计算极差,确定组距与组数,列表、画图.
【解析】(1)最低身高151,最高身高180,它们的差是180-151=29,即极差为29;
确定组距为3,组数为10,列表如下:
分组
频数
频率
[150.5,153.5)
1
0.025
[153.5,156.5)
1
0.025
[156.5,159.5)
4
0.1
[159.5,162.5)
5
0.125
分组
频数
频率
[162.5,165.5)
8
0.20
[165.5,168.5)
11
0.275
[168.5,171.5)
6
0.150
[171.5,174.5)
2
0.050
[174.5,177.5)
1
0.025
[177.5,180.5]
1
0.025
合计
40
1.0
(2)频率分布直方图如图所示:
【类题通法】
绘制频率分布直方图的基本步骤
第一步,求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).
第二步,确定组距与组数.
组距是指每个小组的两个端点之间的距离.极差、组距、组数有如下关系:
①若
为整数,则
=组数;
②若
不为整数,则
+1=组数.([x]表示不大于x的最大整数).
第三步,分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.
第四步,统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.
第五步,画频率分布直方图:画图时,应以横轴表示分组,纵轴表示频率/组距.
其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积.
提醒:(1)解决此类问题的关键是绘制频率分布表,在绘制频率分布表时要体现
分组的合理性,针对具体问题具体分析,体会组数太多或太少对处理问题的影响.
(2)如果极差不利于分组(如不能被组数整除),可适当增大极差,如在左右两端
各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同).
【定向训练】
某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3),得到频数分布表
如表:
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
请作出使用了节水龙头50天的日用水量(单位:m3)数据的频率分布直方图:
【解析】频率分布直方图为:
探究点二 频率分布直方图的应用
【典例2】(1)(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:
mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),
[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落
在区间[5.43,5.47)内的个数为
( )
A.10
B.18
C.20
D.36
(2)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,
其频率分布直方图如图所示,其中支出在[40,50)元的同学有30人,则n的值为
________.?
【思维导引】(1)根据直方图确定直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率,然后结合样本总数计算其个数即可.
(2)先根据频率分布直方图求出,支出在[40,50)元的频率,再由频率计算公式求出n的值.
【解析】(1)选B.根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:
(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×0.225=18.
(2)由频率分布直方图可得,支出在[40,50)元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×
10=0.3.
根据题意得
=0.3,解得n=100.
答案:100
【类题通法】
1.由频率分布直方图进行相关计算时需掌握的两个关系式
(1)
×组距=频率.
(2)
=频率,此关系式的变形为
=样本容量,样本容量×频率=频数.
2.频率分布直方图的应用中常见的三种问题
(1)频数、频率及频率分布直方图:这类问题是高考考查的重点和热点问题.主
要考查频率分布(图)表的画法、识别和运用.
(2)填表、补图、估算:填表、补图、估算是频率分布估计总体分布的常考查
形式,读懂图表、直方图,活用公式:组距×
=频率;
=样本容量.
(3)开放性问题:要选择适当的数据特征进行分析,根据数据特征分析得出实际
问题的结论.
【定向训练】
2019年高考已经结束,山东省为了了解和掌握高考考生的实际答卷情况,随机地取
出了100名考生的数学成绩,数据如下(单位:分)
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110
92 102 109 104 112 105 124 87 131 97 102 123 104 104 128
109 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100
115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104
108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116
97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97
126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
【解析】100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.把100个
数据分成11组,这时组距=
=5.
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
分组
频数
频率
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
注:表中加上“
”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率
分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率
为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之
间的比例为60%(0.60=60%).
探究点三 统计图表的应用
【典例3】某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表,为了响应这一号召,某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么?(只写一项)”的问题,对在校学生进行了随机抽样调查,从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的柱形图.请结合柱形图回答下列问题:
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查?
(2)本次抽样调查中,最喜欢篮球活动的有多少人?占被调查人数的百分比是多少?
(3)若该校九年级共有200名学生,图2是根据各年级学生人数占全校学生总人
数的百分比绘制的扇形图,请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多
少?
【思维导引】弄清楚统计图中的各个数据的含义是解题关键.
【解析】(1)由题图1知4+8+10+18+10=50(名),所以该校对50名学生进行了抽
样调查.
(2)本次调查中,最喜欢篮球活动的有18人,占被调查人数的
×100%=36%.
(3)1-(30%+26%+24%)=20%,200÷20%=1
000(人),
×100%×1
000=160(人),
所以估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160.
【类题通法】(1)柱形图是用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少
画成高度不同的小矩形,然后把这些小矩形按照一定的顺序排列起来.其特点
是便于看出和比较各种数量的多少,即柱形图能清楚地表示出每个项目的具
体数目.
(2)扇形图是用整个圆面积表示总数(100%),用圆内的扇形面积表示各部分所
占总数的百分数.
总之,用统计图来表示数量关系更生动形象、具体,使人一目了然.
【定向训练】
如表给出了2018年A,B两地的降水量(单位:mm):
(1)根据统计表绘制折线图;
(2)根据折线图比较A,B两地的降水量,分析哪个地方的降水量较大?
1月
2月
3月
4月
5月
6月
A
9.2
4.9
5.4
18.6
38.0
106.3
B
41.4
53.3
178.8
273.5
384.9
432.4
7月
8月
9月
10月
11月
12月
A
54.4
128.9
62.9
73.6
26.2
10.6
B
67.5
228.5
201.4
147.3
28.0
19.1
【解析】(1)建立直角坐标系,用横坐标上的点表示月份,用纵坐标上的点表示
降水量,描出每个月份对应的点,然后用直线段顺次连接相邻的点,得到折线统
计图如图表示.
(2)观察折线图,从整体上看,B地降水量较大.
探究点四 总体百分位数的估计
【典例4】根据如表和图估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数.
分组
频数累计
频数
频率
[1.2,4.2)
23
0.23
[4.2,7.2)
32
0.32
[7.2,10.2)
13
0.13
[10.2,13.2)
9
0.09
[13.2,16.2)
9
0.09
[16.2,19.2)
正
5
0.05
[19.2,22.2)
3
0.03
[22.2,25.2)
4
0.04
[25.2,28.2]
2
0.02
合计
100
1.00
【思维导引】在某些情况下我们只能获得整理好的统计表或图,与原始数据相比,它们损失了一些信息,例如表中我们知道在[16.2,19.2)内有5个数据,但不知道这5个数据具体是多少,此时,我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.
【解析】由表可知月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为
23%+32%+13%+9%=77%,
16.2t以下的居民用户所占的比例为77%+9%=86%,
因此80%分位数一定位于[13.2,16.2)内,由
13.2+3×
=14.2,
可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2,
类似地,由22.2+3×
=22.95,
可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.
【类题通法】求第p百分位数的步骤
第1步:从小到大排列原始数据;
第2步:计算i=n×p%;
第3步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
【定向训练】
一个容量为30的样本数据,分组后组距与频数如下:(10,20],3;(20,30],4;
(30,40],6;(40,50],7;(50,60],6;(60,70],4.估计样本数据的70%分位数.
【解析】样本落在(0,50]上的频数为3+4+6+7=20,所以频率=
≈67%,样本落
在(0,60]上的频数为3+4+6+7+6=26,所以频率=
≈87%,又30×70%=21,
因此70%分位数一定位于(50,60]内,由50+10×
≈51.67,所以估计样本
数据的70%分位数约为51.67.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.下列四个图中,用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量(A,B,C,D,E,F为牛的
品种)最为合适的是
( )
【解析】选D.用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量,即从图中可以比较各种数量的多少,因此“最为合适”的统计图是条形统计图.注意B选项中的图不能称为统计图.
2.观察如图所示的统计图,下列结论正确的是
( )
A.甲校女生比乙校女生多
B.乙校男生比甲校男生少
C.乙校女生比甲校男生少
D.甲、乙两校女生人数无法比较
【解析】选D.图中数据只是百分比,甲、乙两个学校的学生总数不知道,因此男生与女生的具体人数也无法得知.
3.一个频率分布表(样本量为30)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在
[20,60)内的频率为0.8,则估计样本在[40,50),[50,60)内的数据个数共为
( )
A.14 B.15 C.16 D.17
【解析】选B.因为样本中数据在[20,60)内的频率为0.8,所以样本数据在
[20,60)内的频数为30×0.8=24,所以样本在[40,50),[50,60)内的数据个数共
为24-4-5=15.
4.容量为60的样本的频率分布直方图共有n(n>1)个小矩形,若其中一个小矩形
的面积等于其余n-1个小矩形面积和的
,则这个小矩形对应的频数是_____.?
【解析】设其余n-1个小矩形面积和为x,由题意得
x+x=1,所以x=
.所以这
个小矩形对应的频数为
×
×60=10.
答案:10
5.从高三参加数学竞赛的学生中抽取50名学生的成绩,成绩的分组及各组的频
数如下(单位:分):
[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例;
(4)估计成绩在80分以下的学生比例.
【解析】(1)频率分布表如表:
成绩分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
合计
50
1
(2)频率分布直方图如图所示.
(3)样本中成绩在[60,90)分的学生比例为(0.2+0.3+0.24)×100%=0.74×100%
=74%.由样本估计总体,成绩在[60,90)分的学生约占74%.
(4)样本中成绩在80分以下学生比例为[1-(0.24+0.16)]×100%=60%.由样本估
计总体,成绩在80分以下的学生约占60%.(共39张PPT)
9.2.3 总体集中趋势的估计
9.2.4 总体离散程度的估计
【情境探究】
1.回顾初中学习的众数、中位数、平均数,思考下列问题:
(1)众数是一组数据中出现次数最多的数,在频率分布直方图中,众数应出现在
哪个位置?
提示:在频率分布直方图中,众数应该出现在
最大的那一组中,它是最高
的矩形的中点.
必备知识生成
(2)在频率分布直方图中,中位数应出现在哪个位置?
提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边直方图的面积应该相等.
(3)在频率分布直方图中,平均数是如何估计的?
提示:在频率分布直方图中,平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
2.通过预习教材,回答下列问题:
(1)如何考查样本数据的分散程度?
提示:最常用的统计量是样本数据的方差与标准差.
(2)样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值?
提示:样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离.
【知识生成】
1.刻画“中心位置”的量
(1)众数:在一组数据中,出现次数_____的数据叫做这一组数据的众数.
(2)中位数:将一组数据按_____依次排列,把处在_______位置的一个数据(或两
个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数:假设样本数据是x1,x2,…,xn,
表示这组数据的平均数,则
最多
大小
最中间
2.刻画离散程度的量
(1)极差:一组数据中___________值的差.
(2)方差与标准差:
假设一组数据x1,x2,……,xn,用
表示这组数据的平均数,则
称为这组数据的方差;
称为这组数据的标准差.
最大、最小
关键能力探究
探究点一 众数、中位数、平均数的应用
【典例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下
(单位:岁):
甲群
13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群
54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反
映甲群市民的年龄特征?
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好反
映乙群市民的年龄特征?
【思维导引】结合平均数、中位数和众数的概念计算分析.
【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为
(岁),
中位数为15岁,众数为15岁.
平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数为
(岁),
中位数为5.5岁,众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄
特征,而平均数的可靠性较差.
【类题通法】中位数的求法
(1)当数据个数为奇数时,中位数是按大小顺序排列的中间那个数.
(2)当数据个数为偶数时,中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数.
【定向训练】
下面是某快餐店所有工作人员一月的收入表:
①计算所有人员的月平均收入.
②这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗?为什么?
③去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的月收入的一般水
平吗?
老板
大厨
二厨
采购员
杂工
服务生
会计
30
000元
4
500元
3
500元
4
000元
3
200元
3
200元
4
100元
【解析】①月平均收入
=
(30
000+4
500+3
500+4
000+3
200+3
200+
4
100)=7
500(元).
②这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平,可以看出打工人员的收入都
低于平均收入,但是老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大
的影响,并且他不是打工人员.
③去掉老板的收入后的月平均收入
=
(4
500+3
500+4
000+3
200+3
200
+4
100)=3
750(元).
这能代表打工人员的月收入的一般水平.
【补偿训练】
10名工人某天生产同一零件,生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,
设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有
( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.c>b>a
【解析】选D.将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,则平
均数a=
(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,
中位数b=15,众数c=17,显然a探究点二 数据方差、标准差的应用
【典例2】某大学有甲、乙两位航模运动员参加了国家队集训,现分别从他们
在集训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82
81
79
78
95
88
93
84 乙:92
95
80
75
83
80
90
85
现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪位
学生参加合适?请说明理由.
【思维导引】分别求出甲、乙两人的平均值与方差,比较大小,再选出合适人选.
【解析】派甲参加比较合适,理由如下:
=
(70×2+80×4+90×2+9+8+8+4+2+1+5+3)=85,
=
(70×1+80×4+90×3+5+3+5+2+5)=85,
=
[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(95-
85)2+(93-85)2]=35.5,
=
[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-
85)2+(95-85)2]=41.
因为
=
,
<
,
所以甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适.
【类题通法】计算标准差的步骤
第一步:算出样本数据的平均数
;
第二步:算出每个样本数据与样本平均数的差xi-
(i=1,2,…,n);
第三步:算出(xi-
)2(i=1,2,…,n);
第四步:算出(xi-
)2(i=1,2,…,n)这n个数的平均数,即为样本方差s2;
第五步:算出方差的算术平方根,即为样本标准差s.
【知识延拓】
方差的两种化简形式
方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.
在应用时注意其公式
的两个简化形式:
其中
a是接近原数据平均数的一个常数.
【定向训练】
从甲、乙两种玉米中各抽10株,分别测得它们的株高如下:
甲:25、41、40、37、22、14、19、39、21、42;
乙:27、16、44、27、44、16、40、40、16、40.
(1)分别计算两组数据的平均数与方差;
(2)由(1)的结果分析哪种玉米的苗长得高?哪种玉米的苗长得齐?
【解析】
由方差公式得:
同理
(2)由(1)知
,故乙种玉米的苗长得高,又
,故甲种玉米的苗长得齐.
探究点三 利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数
【典例3】从高三抽出50名学生参加数学竞赛,由成绩得到如图的频率分布直
方图.
由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求:
(1)这50名学生成绩的众数与中位数;
(2)这50名学生的平均成绩.
【思维导引】明确众数、中位数、平均数的概念及它们与频率分布直方图的
关系.
【解析】(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最
高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方图中体现的是中位数的
左右两边频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频
率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交
点的横坐标所对应的成绩即为所求.
因为0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3,
所以前三个小矩形面积的和为0.3.
而第四个小矩形面积为0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5,
所以中位数应位于第四个小矩形内.
设其底边为x,高为0.03,所以令0.03x=0.2,得x≈6.7,
故中位数应约为70+6.7=76.7.
(2)样本平均值应是所有数据的平均值,即每个小矩形底边的中点的横坐标乘
以每个小矩形的面积求和即可.所以平均成绩为45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85×
(0.024×10)+95×(0.016×10)=76.2.
【类题通法】
频率分布直方图的数字特征
(1)众数:众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来显示,即在样本
数据的频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标;
(2)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等;
(3)平均数:平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.
【定向训练】
为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20名工人某天生产该产品
的数量得到频率分布直方图如图,则:
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是______;?
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________;?
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.?
【解析】(1)在[55,75)的人数为(0.040×10+0.025×10)×20=13.
(2)设中位数为x,则0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5.
(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64.
答案:(1)13 (2)62.5 (3)64
【课堂小结】
课堂素养达标
1.某学习小组在一次数学测验中,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2
人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位
数分别是
( )
A.85分、85分、85分 B.87分、85分、86分
C.87分、85分、85分
D.87分、85分、90分
【解析】选C.从小到大列出所有数学成绩(单位:分):75,80,85,85,85,85,90,
90,95,100,观察知众数和中位数均为85分,计算得平均数为87分.
2.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数
及其方差s2如表所
示,则选送决赛的最佳人选应是
( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选B.因为
且
所以应选择乙进入决赛.
项目
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
3.如图是一次考试结果的统计图,根据该统计图可估计,这次考试的平均分数
约为
( )
A.46 B.36 C.56 D.60
【解析】选A.根据题中统计图,可知有4人成绩在[0,20)之间,其考试分数之
和约为4×10=40;有8人成绩在[20,40)之间,其考试分数之和约为8×30=240;
有10人成绩在[40,60)之间,其考试分数之和约为10×50=500;有6人成绩在
[60,80)之间,其考试分数之和约为6×70=420;有2人成绩在[80,100]之间,其
考试分数之和约为2×90=180,由此可知,考生总人数为4+8+10+6+2=30,考试
总成绩约为40+240+500+420+180=1
380,平均分数约为
=46.
【补偿训练】
某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手五次射击的成绩的方差是
( )
A.0.127
B.0.016
C.0.08
D.0.216
【解析】选B.
=
×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,
所以s2=
×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]
=0.016.
4.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为
,则xy=________.
?
【解析】由平均数得9+10+11+x+y=50,所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2
+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=(
)2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,(x+y)2
-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.
答案:96
5.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和(1)中的计算结果,对两人的训练成绩作出评价.
【解析】(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:10,13,12,14,16;乙:13,14,12,12,14.
(2)由
可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙
的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
