2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念素养课件新人教A版必修第二册35张PPT

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第六章
平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念　
【情境探究】
　　阅读下面的物理现象,思考下面的问题:
a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.
b.汽车向东北方向行驶了60
km,行驶速度的大小为120
km/h,方向是东北.
c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.
必备知识生成
1.上述三个实例中涉及哪些物理量?
提示:位移、速度、力.
2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别?
提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活中的面积、质量只有大小而没有方向.
3.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来?
提示:利用有向线段来表示.
【知识生成】
1.向量的概念和表示方法
(1)概念:既有_____,又有_____的量称为向量.(也称为_____)
(2)向量的表示:
几何表示:用_________来表示向量,有向线段的长度表示向量的_____,箭头所指
的方向表示向量的_____.
字母表示:用小写字母a,b,c,…表示,手写时必须加箭头.
大小
方向
矢量
有向线段
大小
方向
2.向量的长度(或称模)与特殊向量
(1)向量的长度定义:向量的_____叫做向量的长度.
(2)向量的长度表示:向量
,a的长度分别记作:|
|,|a|.
(3)特殊向量:
①________的向量称为零向量,记作__,方向不确定;
②________的向量,叫做单位向量.
大小
长度为0
0
模等于1
3.向量间的关系
(1)相等向量:长度_____且方向_____的向量,叫做相等向量,记作:a=b.
(2)平行向量:方向___________的非零向量,也叫_________;a平行于b,记作
_____;规定零向量与任意向量_____.
相等
相同
相同或相反
共线向量
a∥b
平行
关键能力探究
探究点一　向量的有关概念
【典例1】下列说法中正确的是
(　　)
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
【思维导引】从向量的基本概念出发思考.
【解析】选D.不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故A,B不正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故D正确.
【类题通法】
解决向量有关概念问题的方法
(1)掌握一些常见物理量是否为向量.
(2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.
【定向训练】
1.下列说法正确的是
(　　)
A.平行向量就是向量所在直线平行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D错.
2.下列命题中不正确的命题个数为
(　　)
①若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;
②若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;
③对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;
④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故①不正确.②不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,并不能判断方向.③正确.因为|a|=|b|,且a与b同向.由两向量相等的条件可得a=b.④不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量,则其方向不确定.
探究点二　向量的几何表示
【典例2】一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30
n
mile,这时接到求救信号,在巡
逻艇的正东方向40
n
mile处有一艘渔船抛锚需救助.已知sin
53°≈
,试求:
(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程;
(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.
【思维导引】区分路程与位移的概念,路程无方向而位移既有大小又有方向.
【解析】(1)如图,由于路程不是向量,与方向无关,所以总的路程为巡逻艇两次路
程的和,即为AB+BC=70(n
mile).
(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量,不仅有大小而且有方向,
因而大小为
=50(n
mile),由于sin∠BAC=
,故方向为北偏东53°.
【类题通法】
向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度
确定向量的终点.
(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c,…表示,为了联系平面几何中的
图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如
等.
【定向训练】
某次军事演习中,红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围,先从A处出发向西
迂回了100
km到达B地,然后又改变方向向北偏西40°走了200
km到达C地,最后又
改变方向,向东突进100
km到达D处,完成了对蓝军的包围.
(1)作出向量
(2)求|
|.
【解析】(1)向量
,如图所示.
(2)由题意,易知
方向相反,故
共线.
又
,所以在四边形ABCD中,AB∥CD,所以四边
形ABCD为平行四边形.
所以
=200
km.
探究点三　相等向量与共线向量
【典例3】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?
(2)与a共线的向量有哪些?
(3)请一
一列出与a,b,c相等的向量.
【思维导引】熟记并区分共线向量及相等向量的概念.
【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有
(2)与a共线的向量有
(3)与a相等的向量有
;与b相等的向量有
;与c相等的向量有
　【延伸探究】
　　
1.[变问法]本例条件不变,试写出与向量
相等的向量.
【解析】与向量
相等的向量有
2.[变条件,变问法]在本例中,若|a|=1,则正六边形的边长如何?
【解析】由正六边形性质知,△FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.
　【类题通法】
寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
　【补偿训练】
　　　如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的
处相交的两个全等的等边三角
形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为
的若干个向量,则
(1)与向量
相等的向量有________;?
(2)与向量
共线,且模相等的向量有________;?
(3)与向量
共线,且模相等的向量有________.?
【解析】向量相等?向量方向相同且模相等.
向量共线?表示有向线段所在的直线平行或重合.
答案:
【定向训练】
如图所示,已知点O为正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.
(1)与
相等的向量有________,与
相等的向量有________;?
(2)与
共线的向量有________;?
(3)与
的模相等的向量有________.?
【解析】
(1)根据相等向量定义可知
(2)根据共线向量的定义可知,与
共线的向量为
(3)易知
答案:(1)
　
　【补偿训练】
如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过
点P,且EF∥AB,则
(　　)　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选D.由平面几何知识知,
方向不同,故
;
方向不
同,故
;
的模相等而方向相反,故
;
的模相等且方
向相同,所以
平面向量的概念
1.向量及向量的有关概念、表示方法.
2
.零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
3.平行向量（共线向量）和相等向量
.
1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的
向量，再确定哪些是同向共线的向量．
2.寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线
的线段，再构造同向与反向的向量．
1.与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.
2.判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素.
3.向量与向量之间不能比较大小.
4.零向量与任何向量都平行.
1.数学抽象：平面向量的概念.
2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量.
3.直观想象：向量的几何表示.
核心知识
方法总结
核心素养
易错提醒
课堂素养达标
1.若a为任一非零向量,b为单位向量,则下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;
④|b|=±1;⑤
=b.其中正确的是
(　　)
A.①④⑤　　B.③　　　　C.①②③⑤　　D.②③⑤
【解析】选B.|a|不一定大于1,|b|=1,所以①④不正确;a与b不一定平行,故②不
正确.
是a方向上的单位向量,不一定等于b,故⑤不正确.
2.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O,则图中与
相等的向量是
(　　)
【解析】选D.
方向相同且长度相等,则
3.如图,在圆O中,向量
是
(　　)
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
【解析】选C.由图可知,三向量方向不同,但长度相等.
4.在平面上将所有模相等的向量的起点放在同一点,则它们的终点组成________.?
【解析】在平面上将模相等的向量的起点放在同一点上,则各终点到该点的距离相等,所以各终点应在同一个圆上.
答案:一个圆
5.如图,四边形ABCD和BCED都是平行四边形,在每两点所确定的向量中:
(1)写出与
相等的向量;
(2)写出与
共线的向量.
【解析】(1)因为四边形ABCD和BCED都是平行四边形,所以BC∥AD∥DE,BC=AD=DE,所以
.故与
相等的向量为
(2)与
共线的向量共有7个,分别是