(共30张PPT)
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
【情境探究】
1.回顾勾股定理及其逆定理:
(1)在Rt
△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是________.?
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为________.?
提示:(1)c2=a2+b2 (2)90°
必备知识生成
2.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果a=3,b=4,C=60°,如何计算
c的值?
提示:方法一:如图,作AH⊥CB,垂足为H,在Rt
△ACH中,
AC=4,C=60°,∠CAH=30°,得CH=2,HB=1,AH=2
,在△ABH中,由勾股定理,得
c=AB=
.
方法二:在△ABC中,
,
所以
,得
=
=
+
-2|
||
|cos
60°
=9+16-2×3×4×
=13,所以c=
.
【知识生成】
1.余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦
的积的两倍.即
a2=_____________;?
b2=_____________;(第一种形式)?
c2=_____________.
b2+c2-2bccosA
a2+c2-2accosB
a2+b2-2abcosC
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
cos
A=_____________;
cos
B=_____________;(第二种形式)
cos
C=_____________.
2.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的_____.已知三
角形的几个_____求其他_____的过程叫做解三角形.
元素
元素
元素
关键能力探究
探究点一 已知两边及一角解三角形
【典例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos
,BC=1,AC=5,则AB=
( )
A.4
B.
C.
D.2
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=
,c=2,cos
A=
,则b=
( )
A.
B.
C.2
D.3
【思路导引】(1)由题中条件求出cos
C,再由余弦定理求AB.
(2)由余弦定理得到关于b的一元二次方程,求解即可.
【解析】(1)选A.cos
C=2cos2
-1=2×
-1=-
,在△ABC中,由余弦定理
AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos
C,
所以AB2=25+1-2×5×1×
=32,所以AB=4
.
(2)选D.由余弦定理得5=22+b2-2×2bcos
A,因为cos
A=
,所以3b2-8b-3=0,
所以b=3
【互动探究】将本例(2)中的条件“a=
,c=2,cos
A=
”改为
“a=2,c=2
,cos
A=
”,则b为何值?
【解析】由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos
A,
所以22=b2+(2
)2-2×b×2
×
,
即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4.
【类题通法】解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤
(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长.
(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
【定向训练】
在△ABC中,a=2
,c=
+
,B=45°,解这个三角形.
【解析】根据余弦定理得,b2=a2+c2-2accos
B=(2
)2+(
+
)2-2×2
×(
+
)×cos
45°=8,
所以b=2
.
又因为cos
A=
所以A=60°,C=180°-(A+B)=75°.
探究点二 已知三边(三边关系)解三角形
【典例2】(1)在△ABC中,已知a=3,b=5,c=
,则最大角与最小角的和为
( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
(2)在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),则A等于
( )
A.90°
B.60°
C.120°
D.150°
【思路导引】(1)确定△ABC中的最大角和最小角是关键;
(2)由已知进行化简,再结合余弦定理求解.
【解析】(1)选B.在△ABC中,因为a=3,b=5,c=
,
所以最大角为B,最小角为A,
所以cos
C=
又因为0°
A+B=120°,所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.
(2)选B.因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以b2+c2-a2=bc,所以cos
A=
=
.因为0°【类题通法】
已知三角形的三边解三角形的方法
先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
提醒:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【定向训练】
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2-c2+
ac,则角B的大小
是
( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
【解析】选A.由已知得a2+c2-b2=
ac,所以cos
B=
又0°2.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶
∶(
+1),求△ABC的最大内角的余弦值.
【解析】因为a∶b∶c=2∶
∶(
+1),
不妨设a=2k,b=
k,c=(
+1)k,
显然a所以△ABC的最大内角为C,
则cos
C=
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到
=1,且c为最大的边,通过不等式的性
质转化为
>1,再利用余弦定理的变形公式确定角C的取值范围判断.
【解析】选A.依题意知,c边最大.因为a3+b3=c3,
所以
=1,
所以0<
<1,0<
<1,
所以
<1,
所以
,
,
所以
即a2+b2-c2>0,cos
C=
>0,
所以0,所以△ABC为锐角三角形.
【类题通法】由余弦定理判断三角形形状的方法技巧
(1)由三角形三边的关系式判断三角形的形状,通常利用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再确定角的大小或取值范围.
(2)结合三角形的边长和角,判断三角形的形状,注意区分等腰三角形和等边三角形、等腰直角三角形与等腰或直角三角形等概念的异同.
【定向训练】
在△ABC中,若C=60°,c2=ab,则三角形的形状为
( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
【解析】选D.因为在△ABC中,C=60°,c2=ab,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos
C=a2+b2-ab=ab,
得(a-b)2=0,a=b,所以a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形.
【补偿训练】
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c若b=2ccos
A,c=2bcos
A,则△ABC的形状为
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.由b=2ccos
A,得b=2c·
,
得b2=b2+c2-a2,c2=a2,所以c=a;
又因为c=2bcos
A,同理得a=b;
所以a=b=c,△ABC为等边三角形.
余弦定理
方法总结
核心知识
易错提醒
核心素养
1.余弦定理
2.推论：
3.利用余弦定理解三角形
(1)已知三角形三边求角，直接利用余弦定理.
(2)若已知三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，
从而转化为已知三边求角．
(3)已知三角形的任意两边及它们的夹角可以先求出第三边，
然后再求解其他量.
注意“大边对大角、大角对大边”．
数学抽象：余弦定理及其推论.
逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用.
数学运算：解三角形.
课堂素养达标
1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,cos
C=
,则c的值
为
( )
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选B.因为c2=a2+b2-2abcos
C=22+32-2×2×3×
=9,所以c=3.
2.若a,b,c为△ABC的三边,B=120°,则a2+c2+ac-b2的值
( )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不确定
【解析】选C.由B=120°,得cos
B=
所以a2+c2-b2=-ac,即a2+c2+ac-b2=0.
3.已知三角形的三边长度分别为6,
,则三角形的最大内角的度数为
( )
A.90°
B.120°
C.135°
D.150°
【解析】选C.因为三角形的三边长度分别为6,
,3
是最大的边,则三
角形的最大内角θ满足cos
θ=
又0°<θ<180°,
所以θ=135°.
4.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则
ab=________.?
【解析】因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos
60°,
即c2=a2+b2-ab.①
又因为(a+b)2-c2=4,
所以c2=a2+b2+2ab-4.②
由①②知-ab=2ab-4,所以ab=
.
答案:
5.在△ABC中,acos
A+bcos
B=ccos
C,试判断△ABC的形状.
【解析】由余弦定理的推论知cos
A=
,cos
B=
,
cos
C=
,代入已知条件得a·
+b·
+c·
=0,
通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,
展开整理得(a2-b2)2=c4.
所以a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.
所以△ABC是直角三角形.(共41张PPT)
第2课时 正弦定理
【情境探究】
1.回顾直角三角形中,边与角的关系:
是否为定值并说出理由?
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有
2R(定值).
必备知识生成
=
2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:
是否为定值
并说出理由?
提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以
=CD=2R,
同理
=2R,
=2R.
得
=2R(定值),
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
【知识生成】
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即______
=
______
=
______
=2R.(R为三角形外接圆的半径)
2.正弦定理的变形公式
由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
(1)边化角公式:a=2Rsin
A;b=2Rsin
B;c=2Rsin
C.
(2)角化边公式:
关键能力探究
探究点一 利用正弦定理解三角形
【典例1】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,A=60°,a=4
,b=4,
则B=
( )
A.B=30°或B=150°
B.B=150°
C.B=30°
D.B=60°
(2)已知△ABC中,c=6
cm,A=45°,C=30°,解三角形.
【思维导引】(1)由正弦定理求得sin
B=
,根据a>b,由三角形中大边对大角
可得B<60°,即可求得B.
(2)由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】(1)选C.因为A=60°,a=4
,b=4,
由正弦定理,得sin
B=
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.故选C.
(2)由三角形内角和定理,得B=180°-(A+C)=105°,
sin
105°=sin
75°=sin(30°+45°)
=sin
30°cos
45°+cos
30°sin
45°=
.
根据正弦定理
得a=
【类题通法】利用正弦定理解三角形的注意事项
(1)如果已知三角形的两角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.
(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.
提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.
【定向训练】
1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b=
( )
【解析】选C.由三角形内角和定理,得A=180°-(B+C)=45°,
根据正弦定理
,
得b=
2.已知△ABC中,a=2
,c=2
,A=45°,解三角形.求B,C,b.
【解析】因为a=2
,c=2
,A=45°,
所以由正弦定理
得sinC=
又0°当C=60°时,B=75°,sin
75°=
b=
当C=120°时,B=15°,sin
15°=
b=
探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状
【典例2】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=2bcos
C,则△ABC的形状为
( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰或直角三角形
【思维导引】利用正弦定理,转化为三角形的内角的三角函数关系判断,也可以用余弦定理的变形公式转化为三边关系判断.
【解析】选A.方法一:在△ABC中,a=2bcos
C,
由正弦定理,得2Rsin
A=4Rsin
Bcos
C,
又sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C,
得sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0,
所以sin(B-C)=0,得B-C=0,B=C,所以b=c,
所以△ABC为等腰三角形.
方法二:在△ABC中,由余弦定理,
得cos
C=
所以a=2bcos
C=2b·
得a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以△ABC为等腰三角形.
【类题通法】判断三角形形状的常用方法及步骤
(1)方法:化边为角或化角为边.
(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边,
第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【定向训练】
若
则△ABC是
( )
A.等腰直角三角形
B.有一内角是30°的直角三角形
C.
等边三角形
D.
有一内角是30°的等腰三角形
【解析】选A.在△ABC中,
则由正弦定理,
得a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C,可得
即tan
B=tan
C=1,所以B=C=45°,A=90°,故△ABC为等腰直角三角形.
探究点三 正弦、余弦定理的综合应用
【典例3】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设
(sin
B-sin
C)2=sin2A-sin
Bsin
C.
(1)求A;
(2)若
a+b=2c,求sin
C.
【思维导引】(1)利用角化边,建立三角形的三边关系,再用余弦定理求cos
A,最后求A.
(2)利用边化角,转化为三角恒等变换求sin
C,也可以先求出C角,再求sin
C.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin
Bsin
C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos
A=
因为0°(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得
sin
A+sin(120°-C)=2sin
C,
即
cos
C+
sin
C=2sin
C,可得cos(C+60°)=-
.
由于0°,
故sin
C=sin(C+60°-60°)
=sin(C+60°)cos
60°-cos(C+60°)sin
60°=
方法二:因为
a+b=2c,由正弦定理得
sin
A+sin
B=2sin
C,
又sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C,A=
,
所以
cos
C+
sin
C=2sin
C,
整理可得3sin
C-
cos
C,
即3sin
C-
所以
因为A=
且A+C<π,所以C=
,
所以sin
C=sin
=sin
【类题通法】
利用正、余弦定理解决三角形综合问题的常用思想方法
(1)正弦定理和余弦定理从不同的方面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正弦、余弦定理的结合,可相互渗透,相互促进,它们是解决三角形问题的主要依据.
(2)解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思想来解决问题.
【定向训练】
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的长;
(2)求sin
2C的值.
【解题指南】(1)利用余弦定理可求得BC的长.
(2)先利用正弦定理求出sin
C的值,再利用余弦定理求出cos
C的值,最后由二倍角的正弦公式即可求得sin
2C的值.
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理可知,
BC2
=
AC2
+
AB2-2AC·AB·cos
A
,
即BC2=32+22-2×3×2×cos
60°,解得BC=
.
(2)由正弦定理
由余弦定理得,
cos
C=
所以sin
2C=2sin
Ccos
C=
【补偿训练】
若在△ABC中,AC=
,A=45°,C=75°,求BC,AB及B.
【解析】在△ABC中,由A+B+C=180°
得B=180°-A-C=60°,
在△ABC中,由正弦定理得
故BC=
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.正弦定理
2
推论.
3.利用正弦定理解三角形.
已知两角及一边解三角形
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.
已知两边及一边的对角解三角形
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由正弦值可求锐角即为另一边所对的角．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，要分类讨论．
已知两边和其中一边所对角解三角形时可能会出现无解、一解、两解的情况.
注意“大边对大角、大角对大边”．
1.数学抽象：正弦定理及其变形、三角形面积公式.
2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题.
3.数学运算：解三角形.
课堂素养达标
1.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos
C=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由正弦定理,得
即
解得sin
C=
.因为ABC=
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c
=
( )
A.1∶2∶3
B.3∶2∶1
C.2∶
∶1
D.1∶
∶2
【解析】选D.在△ABC中,因为A∶B∶C=1∶2∶3,所以B=2A,C=3A,又
A+B+C=180°,所以A=30°,B=60°,C=90°,所以a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶
sin
C=sin
30°∶sin
60°∶sin
90°=1∶
∶2.
3.在△ABC中,a=bsin
A,则△ABC一定是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.在△ABC中,a=bsin
A,由正弦定理,得
则sin
B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.
【补偿训练】
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos
C+ccos
B=asinA,则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.由正弦定理可得sin
Bcos
C+sin
Ccos
B=sin2A,故sin(B+C)=sin2
A,即sin
A=sin2
A.
因为A∈(0,π),故sin
A≠0,所以sin
A=1.
因为A∈(0,π),故A=
,所以△ABC为直角三角形.
4.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos
A=
,cos
B=
,b=3,则
c=________.?
【解析】由已知条件可得sin
A=
,sin
B=
,
而sin
C=sin(A+B)=sin
Acos
B+cos
Asin
B=
,
根据正弦定理
得c=
.
答案:
5.在△ABC中,已知a=5
,c=10,A=30°,则B=________.?
【解析】根据正弦定理
得
所以C=45°或135°,
当C=45°时,B=105°;当C=135°时,B=15°.
答案:105°或15°(共45张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
【知识生成】
实际测量问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫_____,在水平线下方的
角叫_____(如图(1)).
(2)方位角
指从正北方向___时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图
(2)).
必备知识生成
仰角
俯角
顺
(3)方向角:相对于某正方向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等.
(4)坡角与坡度:
坡面与_______所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与_________之比叫坡
度
如图.
水平面
水平宽度
关键能力探究
探究点一 测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离
【典例1】如图,设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC=60
m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点的距离.
【思维导引】在三角形中由正弦定理计算距离.
【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,
所以由正弦定理得,
所以AB=
即A,B两点间的距离为20
m.
【类题通法】求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【定向训练】
如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:
km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为__________
km.?
【解析】在△ACD中,由余弦定理得
cos
D=
在△ABC中,由余弦定理得
cos
B=
又因为∠B与∠D互补,所以cos
B=-cos
D,
即
解得AC=7.
答案:7
探究点二 测量都不可到达的两个点之间的距离
【典例2】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,
30°,此时气球的高是60
m,则河流的宽度BC等于
( )
A.30(
+1)m
B.120(
-1)m
C.180(
-1)m
D.240(
-1)m
【解析】选B.方法一:记A点正下方地面上对应的点为O,由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,
由
=tan75°=tan(45°+30°)=
得到OB=
在Rt△AOC中,由
=tan30°=
得到OC=
=60
,
所以河流的宽度BC等于OC-OB=60
-60(2-
)
=120(
-1)m.
方法二:记A点正下方地面上对应的点为O,
由题意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,
在Rt△AOB中,sin
75°=sin(30°+45°)
=sin
30°cos
45°+cos
30°sin
45°=
所以AB=
在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理,
得
得BC=
【类题通法】解三角形的注意事项
(1)根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或
余弦定理计算.
(2)优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值能计算
sin
15°=
等.
【定向训练】
如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1
km试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间的距离相等,然后求B,D的距离.(计算结果用根号表示)
【解题指南】先求∠ADC与∠BCD,进而可发现CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.
【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,
所以CD=AC=0.1,
又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠ACB=60°,
故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,
在△ABC中,
即AB=
因此,BD=
.
故B,D的距离为
km.
【补偿训练】
如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处
观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再
往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A
在C处的北偏西60°方向,求A,B两处岛屿间的距离.
【解题指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定理求得AB.
【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,
由正弦定理可得:
解得AD=
在Rt△DCB中,∠BDC=45°,
所以BD=
CD=40
(海里).
在△ABD中,由余弦定理可得:
AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB
=800+3
200-2×20
×40
×
=2
400,
解得AB=20
(海里).
探究点三 有关距离的综合问题
【典例3】如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+
)海里的两个观测点,
现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B
点南偏西60°且与B点相距20
海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速
度为30海里/小时,该救援船到达D点至少需要多长时间?
【思维导引】已知速度,要求时间,只要求出路程,即CD的长即可.观察CD所在的三角形,有△ACD和△BCD,确定用△BCD来求CD.
【解析】由题意知AB=5(3+
)海里,
因为∠DAB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,
所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△ADB中,由正弦定理得
所以DB=
又因为∠DBC=180°-60°-60°=60°,
BC=20
海里,
所以在△BCD中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BCcos
∠DBC
=300+1
200-2×10
×20
×
=900,
所以CD=30(海里),
所以需要的时间t=
=1(小时),
即救援船到达D点至少需要1小时.
【类题通法】
航行问题的解题技巧
(1)在航行等问题中,通常是把方位角(方向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.
(2)几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性方面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.
【定向训练】
1.若本例条件不变,该救援船应沿东偏北多少度的方向去营救?
【解析】由本例解析知在△BCD中,DB=10
,BC=20
,CD=30,故DB2+CD2=BC2.
所以∠CDB=90°,
又因为∠CBD=60°.
所以∠DCB=30°.
过C作AB的平行线CE,
即∠BCE=∠CBA=30°,
所以∠DCE=60°.
故该救援船应沿东偏北60°的方向去营救.
2.本例中若不知救援船的速度,其他条件不变,要求救援船必须在40分钟内到
达,则救援船的最小速度为多少?
【解析】设救援船的速度为v海里/小时,由本例解析求得CD=30海里,由
得v≥45.
即救援船的最小速度为45海里/小时.
余弦定理、正弦定理应用举例
——距离问题
1.数学抽象：常用的测量相关术语；
2.逻辑推理：将实际问题转化为数学问题；
3.数学运算：利用余弦定理、正弦定理求距离；
4.数学模型：在适当的三角形中解距离。
核心知识
核心素养
方法总结
易错提醒
核心素养
1
解决应用题的思想方法
把实际问题转化为数学问题
2.求解三角形应用题的一般步骤
（1）审题（分析题意，根据题意，画出示意图）
（2）建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）
（3）求模（正确运用正、余弦定理求解）
（4）还原。
分析转化
实际问题
解三角形问题
数学结论
检验
数学问题
1.选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解
2.若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解
课堂素养达标
1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得
∠ACB=30°,则A,B间的距离应为
( )
A.6米 B.4
米 C.6
米 D.12
米
【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan
30°=
,得AB=
ACtan
30°=4
(米).
2.如图,已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB=3
km,B=45°,
C=30°,则A,C两地的距离为
( )
A.3
km
B.4
km
C.3
km
D.5
km
【解析】选C.根据题意,由正弦定理可得
代入数值得
解得AC=3
.
3.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处,此时得知,该渔船沿北偏东105°方向,以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速21海里,则舰艇到达渔船的最短时间是________.?
【解析】如图,设经过t小时渔船和舰艇同时到达B处,此即为舰艇到达渔船的最短时间.
在△ABC中,∠C=45°+75°=120°,CA=10,CB=9t,AB=21t.
由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2-2·10·9t·cos
120°,
即36t2-9t-10=0,解得t=
或-
(舍).
答案:40分钟
4.如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向北偏东
角方
向的OB.位于该市的某医院M与市中心O的距离OM=3
km,且∠AOM=β.新冠肺
炎疫情期间,为了更快地将患者送到医院救治,要修筑一条公路L,在OA上设一
中转站A,在OB上设一中转站B,公路在AB部分为直线段,且经过医院M.其中
tan
α=2,cos
β=
,AO=15
km.
(1)求医院M与中转站A的距离AM;
(2)求公路AB段的长度.
【解析】(1)在△AOM中,AO=15
km,∠AOM=β且cos
β=
,OM=3
km,
由余弦定理得,AM2=OA2+OM2-2OA·OM·cos∠AOM=152+(3
)2-2×15×3
×
=72.所以AM=6
km,即医院M与中转站A的距离AM为6
km.
(2)因为cos
β=
,且β为锐角,所以sin
β=
,在△AOM中,由正弦定理
得,
即
所以sin∠MAO=
,由题意知∠AOB>
,
所以∠MAO=
,所以∠ABO=α-
,
因为tan
α=2,所以sin
α=
,cos
α=
,
所以sin∠ABO=sin
=
,
在△AOB中,AO=15
km,由正弦定理得,
即
所以AB=30
km,
即公路AB段的长为30
km.(共24张PPT)
第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题
关键能力探究
探究点一 计算高度
【典例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路
北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山顶在西偏
北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.?
【思维导引】画出空间图形和平面图形,将空间几何问题转化为平面几何问题,解三角形.
【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600
m,
∠EBC=75°,∠CBD=30°,
在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,
由
得
在Rt△BCD中,
答案:100
【类题通法】
测量高度问题的解题思路
1.高度的测量主要是解决一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度
问题.常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之
间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.
2.这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间
构造三棱锥,再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形,从
而求出所需测量物体的高度.
【定向训练】
如图,要在山坡上A,B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高,由A,B两处测得塔顶C
的仰角分别为60°和45°,AB长为40
m,斜坡与水平面成30°角,则铁塔CD的高
为________m.?
【解析】延长CD交过A,B的水平线于点E,F,则∠CAE=60°,∠CBF=45°,
∠DBF=30°,
所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,
所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以AC=AB=40
m,
在△ACD中,由正弦定理得,
即
解得
答案:
探究点二 计算角度
【典例2】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小
艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30
海里/小时的航行速度向正东方向匀速行驶,经过t小时小艇与轮船相遇.假设
小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向
和航行速度的大小),使得小艇能以最短的时间与轮船相遇,并说明理由.
【思维导引】先画出简图,再对照图形理解题意,然后确定各个角度、各条边长(边长有已知的,有用字母表示的),并尝试用正、余弦定理,函数,不等式的知识解答.
【解析】设小艇航行速度的大小是v海里/小时,
如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由余弦定理得:
BO2=AO2+AB2-2AO·ABcos
A.
所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos
(90°-30°),
即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0①当0000+1
600(v2-900)
=1
600(v2-675),令Δ=0,
即1
600(v2-675)=0,
则v=15
,
1°当0时,两船不会相遇;
2°当15
≤v<30时,
当
时,
令
则x∈[0,15),
当且仅当x=0,即v=15
时,等号成立;
当
时,同理可得
所以当15
≤v<30时,t>
;
②当v=30时,可求得t=
;
综合①②可知,当v=30时,t取得最小值,且最小值是
,
此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可设计方案如下:
小艇的航行方向是北偏东30°,航行速度为30海里/小时,此时小艇能以最短的
时间与轮船相遇.
【类题通法】
解决测量角度问题的注意事项
(1)首先应明确“方位角”或“方向角”的含义,方位角大小的范围是[0,2π),
方向角大小的范围是(0,
].
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最
重要的一步.
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联
袂”使用.
【定向训练】
本例中若小艇无最高航行速度限制,其他条件不变.问:
(1)若希望相遇时小艇航行距离最小,则小艇航行速度为多少?
(2)若保证小艇在30分钟内(含30分钟)与轮船相遇,试求小艇航行速度的最小值.
【解析】(1)设相遇时小艇航行距离为S,则
故当t=
时航行距离最小为S=10
海里,
此时v=
=30
(海里/小时),
即小艇以30
海里/小时的速度航行,相遇时航行距离最小.
(2)设小艇航行速度的大小是v海里/小时,小艇与轮船在B处相遇如图,
由余弦定理OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos
∠OAB得,
(vt)2=202+(30t)2-2×20×30tcos
(90°-30°),化简得
由于0,所以
≥2,故当
=2时,v取最小值10
,
即小艇航行速度的最小值为10
海里/小时.
【课堂小结】
课堂素养达标
1.在某测量中,A在B的北偏东55°,则B在A的
( )
A.北偏西35°
B.北偏东55°
C.北偏东35°
D.南偏西55°
【解析】选D.根据题意和方向角的概念画出草图,如图所示,
α=55°,则β=α=55°,所以B在A的南偏西55°.
2.如图,要测出山上信号发射塔BC的高,从山脚A测得AC=30
m,塔顶B的仰角为
45°,塔底C的仰角为15°,则信号发射塔BC的高为
( )
A.15
m
B.15
m
C.30
m
D.30
m
【解析】选B.由题意可知,AC=30,∠BAD=45°,∠CAD=15°,得∠B=45°,
∠BAC=30°,由正弦定理可知,
解得BC=15
.
3.在200
m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶A与塔底B的俯角分别是30°,60°,
则塔高AB=
( )
A.200
m
B.
m
C.
m
D.100
m
【解析】选C.设AB=x
m,则(200-x)tan
60°=200tan
30°,解得x=
.(共32张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
【情境探究】
1.平面几何中的向量方法
(1)要判断AB⊥CD,从向量的角度如何证明?
提示:证明
,即
=0即可.
(2)怎样用向量的方法证明AB∥CD?
提示:要证明AB∥CD,证明
∥
即可,同时注意AB,CD是否共线.
必备知识生成
(3)如何利用向量方法求直线AB与CD所成角?
提示:根据数量积公式先求出
与
所成角,若是锐角或直角即为直线AB,CD
所成角,若是钝角,其补角即为直线AB,CD所成角.
(4)如何利用向量的方法求线段的长度?
提示:根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.
2.向量在物理中的应用
(1)物理中力的合成与分解体现了向量的哪种运算?
提示:物理中的力可以看成向量,力的合成与分解体现了向量的加法运算与减法运算.
(2)向量方法解决物理问题的步骤是什么?
提示:①把物理问题转化为数学问题.
②建立以向量为主的数学模型.
③求出数学模型的解.
④根据数学模型中的解,解释相关的物理现象.
【知识生成】
1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用_____表示问题中涉及的几何元素,将平面几
何问题转化为_____问题.
(2)通过_____运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把_________“翻译”成几何关系.
向量
向量
向量
运算结果
2.用向量方法解决平面几何中的常见问题
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ.
(1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_________、向量的___.
(2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条件:a⊥b
?_______?__________.
(3)线段平行或涉及共线问题,常用向量平行(共线)的等价条
件:a∥b?______?__________.
(4)求夹角问题,常利用向量的夹角公式:cos
θ=
=
.
线性运算
模
a·b=0
x1x2+y1y2=0
a=λb
x1y2-x2y1=0
3.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.
关键能力探究
探究点一 向量在几何中的应用
【典例1】(1)如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
(2)如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
【思路导引】(1)通过向量的线性运算或建立平面直角坐标系,利用向量的坐
标运算证明
=0,即
.
(2)利用向量的数量积运算求出|
|,即为AC的长.
【证明】(1)方法一:设
=a,
=b,
则|a|=|b|,a·b=0,
又
=-a+
b,
=b+
a,
所以
故
,即AF⊥DE.
方法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,
则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),
=(2,1),
=(1,-2).
因为
=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以
⊥
,即AF⊥DE.
(2)设
=a,
=b,则
=a-b,
=a+b,
而|
|=|a-b|
=2,
所以5-2a·b=4,所以a·b=
,又|
|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2a·b+4=6,所
以|
|=
,即AC=
.
【类题通法】用向量方法解决平面几何问题的步骤
【定向训练】
1.在四边形ABCD中,若
=-
,
·
=0,则四边形为
( )
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
【解析】选B.由
=-
知四边形ABCD是平行四边形,又
·
=0,
所以
⊥
,所以此四边形为矩形.
2.设O为△ABC内部的一点,且
=0,则△AOC的面积与△BOC的
面积之比为
( )
【解析】选C.设AC的中点为D,BC的中点为E,则(
+
)+(2
+2
)=
2
+4
=0,所以
=-2
,即O,D,E三点共线.所以S△OCD=2S△OCE,所以
S△AOC=2S△BOC.
探究点二 平面向量在物理中的应用
【典例2】(1)一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点
A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功等于________;?
(2)设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,
若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为
π,如图所示.
①求F3的大小;②求F2与F3的夹角.
【思维导引】
【解析】(1)因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),
=(-1,4),则F·
=-1×8-8×4=-40,
即三个力的合力所做的功为-40.
答案:-40
(2)①由题意|F3|=|F1+F2|,
因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为
π,所以|F3|=|F1+F2|
=
.
②设F2与F3的夹角为θ,因为F3=-(F1+F2),所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2,所
以
·2·cosθ=-1×2×
-4,所以cosθ=-
,所以θ=
π.
【类题通法】向量在物理中的应用
(1)求力向量,速度向量常用的方法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量方法解决物理问题的步骤:
①把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
③结果还原为物理问题.
【知识延拓】
向量的数量积与功有什么联系?
提示:物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.
【补偿训练】
在静水中划船速度的大小是每分钟40
m,水流速度的大小是每分钟20
m,如果一小船从岸边O处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,则小船的行进方向应指向哪里?
【解析】如图所示,设向量
的长度和方向表示水流速度的大小和方向,
向量
的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向,以
,
为邻边作
平行四边形OACB,连接OC.依题意OC⊥OA,BC=OA=20,OB=40,所以∠BOC=30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
【定向训练】1.若向量
=(1,1),
=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则
|F1+F2|为
( )
A.(5,0)
B.(-5,0)
C.
D.-
【解析】选C.因为
=(1,1),
=(-3,-2),
所以|F1+F2|=
.
2.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2
m/s,一艘小船以垂直于河岸方向
10
m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为________m/s.?
【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则
|v1|=2,|v|=10,v⊥v1,所以v2=v-v1,v·v1=0,所以|v2|=
=2
(m/s).
答案:2
【补偿训练】
一个物体受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8
m.已知|F1|=2N,方向为北偏东30°,|F2|=4N,方向为北偏东60°,|F3|=6N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F所做的功.
【解析】以三个力的作用点为原点,正东方向为x轴正半轴,正北方向为y轴正
半轴建立平面直角坐标系.由已知可得F1=(1,
),F2=(2
,2),
F3=(-3,3
).
所以F=F1+F2+F3=(2
-2,4
+2).
又位移s=(4
,4
),
所以F·s=(2
-2)×4
+(4
+2)×4
=24
(J).
故这三个力的合力F所做的功是24
J.
平面几何中的向量方法
向量在物理中的应用举例
1.向量方法解决平面几何问题“三步曲”.
2.
用向量法解决物理问题.
核心知识
方法总结
核心素养
1.数学抽象：平面几何图形的有关问题,用向量
的线性运算及数量积表示.
2.数学运算：向量的线性运算及数量积表示.
3.数学建模：数形结合，将物理问题向量化.
课堂素养达标
1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是
( )
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
【解析】选B.因为
=(8,0),
=(8,0),所以
=
,因为
=(4,-3),所以
|
|=5,而|
|=8,故为邻边不相等的平行四边形.
2.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4=
( )
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
【解析】选D.由物理知识知f1+f2+f3+f4=0,
故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).
3.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其
所用时间长短为________.?
【解析】设所用时间长短为t,则
=tv,即(3,6)=t(1,2),所以t=3.
答案:3
4.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.
求证:AD⊥CE.
【证明】以C为原点,CA所在直线为x轴,CB所在直线为y轴,建立平面直角坐标
系(图略).
设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D
,C(0,0),
E
因为
=
,
=
,
所以
所以
,即AD⊥CE.