(共34张PPT)
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
【情境探究】
1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:
设向量
=(a,b),
=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,
其中,a,b,c,d∈R,则
+
=
__________,z1+z2=
_____________.
2.向量的加法运算法则是什么?是否适合复数的加法运算法则?
提示:平行四边形法则,由于复数与平面向量是一一对应的,所以向量加法的平
行四边形法则适合复数的加法运算法则.
必备知识生成
(a+c,b+d)
(a+c)+(b+d)i
3.复数的减法法则:设向量
=(a,b),
=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,
其中,a,b,c,d∈R,则
-
=
__________,z1-z2=
_____________.
4.复数的减法运算与加法运算有什么联系?
(a-c,b-d)
(a-c)+(b-d)i
提示:复数的减法运算与加法运算互为逆运算,可以由复数的加法运算法则得到
减法运算法则,
即z1-z2=z?z1=z+z2.
设复数a+bi减去复数c+di的差为x+yi,其中a,b,c,d,x,y∈R,
即x+yi=(a+bi)-(c+di),
等价于(c+di)+(x+yi)=a+bi,
通过相等复数解方程得x=a-c,y=b-d,
于是直接可得复数的减法运算法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
5.如何推导计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式?
提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数
z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,所以
【知识生成】
1.复数的加减运算
已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)
(1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
_____________.
(2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
_____________.
与多项式加(减)法类似,复数的加(减)运算就是把复数的实部与实部,虚部与虚
部分别相加(减),结果仍然是一个复数.
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
2.复数加法的运算律
复数的加法运算满足交换律、结合律.
(1)加法交换律:z1+z2=_____.
(2)加法结合律:(z1+z2)+z3=
__________.
z2+z1
z1+(z2+z3)
3.复数加法与减法运算的几何意义
设z1=a+bi,z2=c+di对应向量
=(a,b),
=(c,d),
(a,b,c,d∈R),其中,
与
不共线
加法
减法
运算法则
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1-z2=(a-c)+(b-d)i
几何
意义
平行四边形法则
三角形法则
关键能力探究
探究点一 复数的加减运算
【典例1】1.复平面内,若复数z满足z+i-1=2-i,则
对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.计算:(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3).
【思维导引】1.利用复数的加减运算和共轭复数判断.
2.利用复数的加减运算法则以及运算律进行计算.
【解析】1.选A.由z+i-1=2-i,
得z=(2-i)-(i-1)=3-2i,则
=3+2i,
对应的点在第一象限.
2.(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3)
=[(1+2i)-(2-3i)]+[(4-3i)-(i-3)]
=(-1+5i)+(7-4i)=6+i.
【类题通法】复数加减运算的注意事项
(1)复数的加减运算法则:分别对复数的实部和虚部相加减.
(2)分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合
运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.
提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=
+i,则|z1-z2|=
__________.?
【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cos
θ+2sin
θ·i,z2=2cos
α+
2sin
α·i,所以z1+z2=2(cos
θ+cos
α)+2(sin
θ+sin
α)·i=
+i,
所以
，两式平方作和得:
4(2+2cos
θcos
α+2sin
θsin
α)=4,
化简得cos
θcos
α+sin
θsin
α=-
,
所以|z1-z2|=|2(cos
θ-cos
α)+2(sin
θ-sin
α)·i|
答案:2
2.已知复数z1=1+i,z2=2-3i,则
=______.?
【解析】由复数z1=1+i,z2=2-3i,得z1+z2=3-2i,其共轭复数为
=3+2i.
答案:3+2i
3.计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-2
019i)+(2
019-2
020i).
【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-2
019i)+(2
019
-2
020i)=(1-2+3-4+…-2
018+2
019)+(-2+3-4+5-…+2
019-2
020)i
=(-1
009+2
019)+(1
009-2
020)i=1
010-1
011i.
方法二:因为(1-2i)-(2-3i)=-1+i,
(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……,
(2
017-2
018i)-(2
018-2
019i)=-1+i,
所以将以上1
009个等式累加得(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…-(2
018-
2
019i)=-1
009+1
009i.
所以原式=-1
009+1
009i+(2
019-2
020i)=1
010-1
011i.
探究点二 复数加减运算的几何意义
【典例2】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)
表示的复数;
(2)对角线
表示的复数;
(3)对角线
表示的复数.
【思维导引】利用复数与平面向量的一一对应关系,转化为复数进行加减运算.
【解析】(1)因为
所以
表示的复数为-3-2i.
(2)因为
所以
表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为
所以
表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
【类题通法】复数与向量加减运算的对应关系的两个关注点
(1)应用数形结合思想将向量表示为复数.
(2)注意位置向量
与普通向量
的异同.
【定向训练】
已知复平面上,复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i对应的点是一个正方形的三个
顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【解析】设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应
的复数为x+yi(x,y∈R).
方法一:
(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;
(-1-2i)-
(-2+i)=1-3i.
因为
即(x-1)+(y-2)i=1-3i,
所以
解得
故点D对应的复数为2-i.
方法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,于是(-2+i)
+(x+yi)=0,
所以x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.
探究点三 两点间的距离与轨迹问题
【典例3】1.若复数z满足
=1,则复数z对应的点的轨迹为
( )
A.点
B.射线
C.直线
D.圆
2.若复数z满足
=1,求
的取值范围.
【思维导引】1.由复平面内两点之间的距离及其几何意义判断.
2.利用复数减法以及复数的模的几何意义转化为两点间的距离问题求取值范
围.
【解析】1.选D.由
=1,得复数z对应的动点Z与复数z1=i对应的定点Z1(0,1)
之间的距离为1,由圆的定义得,复数z对应的点的轨迹为圆,其中圆心为Z1(0,1),
半径为1.
2.由
=1,得复数z对应的动点Z的轨迹是圆心为Z1(0,1),半径为1的圆,如图.
的几何意义是复数z对应的动点Z到复数z2=2+i对应的定点Z2(2,1)之间
的距离,由于|Z1Z2|=2,r=1,所以2-r≤
≤2+r,即
的取值范围是
[1,3].
【类题通法】
复数的减法与复数的模及其几何意义
从两个方面理解复数及其模的几何意义:
(1)复数z、复平面上的点Z及向量
相互联系,即
z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?
.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=
,实际上就是指复平面上的点Z到原点
O的距离.|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.
【定向训练】
1.如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么|z+1+i|的最小值是
( )
A.1
B.
C.2
D.
2.若复数z满足|z+
+i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
【解题指南】1.先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对应的轨迹,再依据|z+1+i|
的几何意义求最小值.
2.明确满足条件|z+
+i|≤1的复数z的几何意义为:圆心为(-
,-1),半径为
1的圆内区域,包括边界,|z|则表示圆面上一点到原点的距离.
【解析】1.选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的
距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距
离.数形结合,得最小距离为1.
2.如图所示:
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
核心素养
易错提醒
方法总结
核心
知识
1.复数的加法法则
2.加法的几何意义
3.复数的减法法则
4.减法的几何意义
1.复数代数形式的加、减法运算：将实部与实部，虚部与虚部分别相加减之后分别作为结果的实部与虚部
2.复数加、减运算几何意义：复数的加减运算可转化为向量的坐标运算．利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.
(1)
实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立
(2)复数的加、减运算结果仍是复数
1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;
2.数学运算：复数加、减运算及其几何意义求相关问题;
3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.
课堂素养达标
1.已知复数z1=2-i,z2=1+2i,则z1+z2=
( )
A.3+i
B.3-i
C.1+3i
D.1-3i
【解析】选A.由z1=2-i,z2=1+2i,得z1+z2=2-i+1+2i=3+i.
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量
、
对应的复数
分别是3+i、-1+3i,则
对应的复数是
( )
A.2+4i
B.-2+4i
C.-4+2i
D.4-2i
【解析】选D.依题意有
而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即
对应的
复数为4-2i.
3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为
4.在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i.以AB,AC为邻边
作平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
【解析】如图,由复数加减法的几何意义,知
所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),
所以z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,
所以|
|=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2
.(共35张PPT)
7.2.2 复数的乘、除运算
【情境探究】
1.回顾二项式乘法运算,类比复数的乘法运算:
(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2=
_________________.
(2)z1
=_____.
(3)
=__________.
必备知识生成
(ac-bd)+(ad+bc)i
a2+b2
a2-b2+2abi
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的
除法运算?
提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算法则得到
除法运算法则,即
=z?z1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,即
x+yi=
,等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,即(xc-yd)
+(xd+yc)i=a+bi,所以
消去y,解得x=
，同理消去x,解得
y=
.所以
=
+
i(c+di≠0).
【知识生成】
1.复数代数形式的乘法法则
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.
2.复数乘法的运算律
运算律
恒等式
交换律
z1z2=____
结合律
(z1z2)z3=
________
分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
(ac-bd)+(ad+bc)i
z2z1
z1(z2z3)
3.复数的除法运算(分母实数化)
=
=
+
i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
关键能力探究
探究点一 复数的乘法运算
【典例1】1.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z=
的实部是
________.?
2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).
【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.
2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.z=
=3+i,则实部为3.
答案:3
2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5×(3-4i)=15-20i.
【类题通法】复数乘法运算的注意事项
(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.
(2)多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两
个共轭复数的积是实数.
提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”解析复数乘法计算.
复数的减法不满足交换律和结合律.
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=
( )
A.-2 B.-
C.
D.2
【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.计算:
【解析】方法一:
方法二:
探究点二 复数的除法运算
【典例2】1.(2019·全国卷Ⅰ)设z=
,则|z|=
( )
A.2
B.
C.
D.1
2.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].
【思维导引】1.通过复数的除法运算化简结果再计算复数的模.
2.先对括号内的复数进行计算,再进行复数乘法运算.
【解析】1.选C.因为z=
所以z=
=
-
i,
所以|z|=
故选C.
2.方法一:因为
所以所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)÷
=
=
=2-i.
方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷
=(1+i)×
=2-i.
【类题通法】复数除法运算的注意事项
(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共
轭复数”计算.
(2)多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序
进行计算.
提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】
1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)
=
( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
【解析】选D.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数
的虚部是
( )
【解析】选D.因为
所以复数
的虚部为
探究点三 复数乘方运算以及周期性
【典例3】计算i+i2+i3+…+i2
020=________.?
【思维导引】计算in,n∈N
的值,明确周期性计算.
【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,
i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…
所以i+i2+i3+…+i2
020=505×0=0.
答案:0
【类题通法】
in(n∈N
)的周期性
计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,
i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N
,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,
同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,
这就是说,如果n∈N
,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N
)具有周期性,且最小正周期是4.
(2)n可推广到整数集.
(3)4k(k∈Z)是in(n∈N
)的周期.
显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N
).
因为in(n∈N
)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i
的计算.一般地,有(1±i)2=±2i,
=i,
=-i.
【定向训练】
已知w=
求证:w3=-1.
【证明】方法一:由w=
得w2=
=
所以w3=w2w=
=-
-
=-1.
方法二:由于w=
要证w3=-1,只需证w3+1=0,
即证(w+1)(w2-w+1)=0,即证w2-w+1=0,
即证w2-w=w(w-1)=-1,
因为w(w-1)=
=
i2
-
=-1,所以得证.
探究点四 实系数一元二次方程的求根公式
【典例4】已知关于x的方程
其中a、b为实数.
(1)若x=1-
i是该方程的根,求a、b的值;
(2)当a>0且
时,证明该方程没有实数根.
【思维导引】(1)将x=1-
i代入方程,利用复数相等的充要条件求解.
(2)将方程转化为有理式,用判别式判断.
【解析】(1)将
代入
化简得
所以
解得a=b=2.
(2)原方程化为x2-ax+ab=0,假设原方程有实数解,那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即
a2≥4ab.
因为a>0,所以
≤
,这与题设
>
相矛盾.故原方程无实数根.
【类题通法】实系数一元二次方程的求根公式
(1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,
①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=
,若这两个根为二次根
式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);
②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1,2=-
;
③当Δ<0时,方程有两个不相等的虚数根x1,2=
,这两个虚根互为共
轭虚数.
(2)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为
x1,x2,根与系数的关系(即韦达定理)仍然成立:x1+x2=-
,x1x2=
.
【定向训练】
1.解方程x2+2x+3=0.
【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为x1,2=
=-1±
i.
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R且a≠0的一个根是1+2i,求a的值以及
另一个根.
【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,
则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.
方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2=
=1±2i,所以方程另一个根为1-2i.
方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根为
1-2i,
由根与系数的关系,得x1+x2=a,即a=2.
1.
复数的乘法运算
2.
复数乘法的运算律
3.
复数的除法法则
复数的乘除运算
1.
复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项
式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.
2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
方法总结
易错提醒
核心知识
课堂素养达标
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则
=
( )
A.2-3i
B.2+3i
C.3+2i
D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以
=2-3i.
2.在复平面内与复数z=
所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复
数为
( )
A.1+2i
B.1-2i
C.-2+i
D.2+i
【解析】选C.复数z=
=i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是
(2,1),该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.设复数z(2-3i)=6+4i(其中i是虚数单位),则z的模为________.?
【解析】由z(2-3i)=6+4i,得
所以|z|=2.
答案:2
4.计算:
【解析】
