(共40张PPT)
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
【情境探究】
1.某地“36选7”中国福利彩票的投注方法是,从36个号码中选择7个号码为1注,每注金额为人民币2元.中奖号码由6个基本号码和1个特别号码组成,投注者根据当期彩票上的投注号码与中奖号码相符的个数多少(顺序不限),确定相应的中奖资格.
请计算:如果买一注彩票,能够中奖的概率(可能性)有多大?能够中一等奖的概率有多大?
必备知识生成
2.两位同学在相同的条件下,都抛掷一枚硬币100次,得到正面向上的频率一定
相同吗?
继续探究:
(1)同一个随机事件在相同条件下在每次试验中发生的概率都一样吗?
提示:概率是从数量上反映随机事件在一次试验中发生可能性的大小的一个量,
是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;同一个随机事件在相同条件
下在每次试验中发生的概率都是一样的.
(2)连续掷硬币100次,结果100次全部是正面朝上,出现这样的结果,你会怎么
想?原因何在?
提示:出现这样的情况,我们可以认为该硬币的质地是不均匀的,如果抛硬币试
验中,该硬币是质地均匀的,则出现正面朝上和出现反面朝上的概率是一样的,
即出现正面向上与出现反面向上的次数不会相差太大.
【知识生成】
用频率估计概率
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
关键能力探究
探究点一 频率与概率的关系及求法
【典例1】(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电
影的概率.
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率.
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评
率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影
的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与
样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
【思维导引】(1)分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(2)计算没有获得好评的电影部数,代入公式可得概率;(3)根据每部电影获得好评的部数做出合理建议.
【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=
2
000,
获得好评的第四类电影部数为200×0.25=50,
所以所求概率为
=0.025.
(2)方法一:记“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件A,
由表知,没有获得好评的电影部数为140×(1-0.4)+50×(1-0.2)+300×(1-0.15)+200×(1-0.25)+800×(1-0.2)+510×(1-0.1)=1
628,所以P(A)=
=0.814,
即所求概率为0.814.
方法二:记“随机选取的1部电影获得好评”为事件A,则“随机选取的1部电影没有获得好评”为事件
,
由表知,获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372,
所以P(A)=
=0.186,
所以P(
)=1-P(A)=0.814,
即所求概率为0.814.
(3)由表及已知,第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,符合要求.
【类题通法】
1.根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式fn(A)=
,计算出频率值.
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
2.求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率,可直接观察频率稳定在哪个常数附近,
用它来估计概率值,也可在坐标系内描出各点(横坐标为次数,纵坐标为频率),
观察频率值在哪个常数附近波动,则这个常数就可作为概率的近似值.
【定向训练】
为了确定某类种子的发芽率,从一大批种子中抽出若干做发芽试验,其结果如下:
种子粒数
25
70
130
700
2
000
3
000
发芽粒数
24
60
116
639
1
806
2
713
发芽率
(1)求出表中种子发芽的各个频率(发芽率).
(2)判断种子的发芽概率大约为多少?
【解析】(1)0.96,0.857,0.892,0.913,0.903,0.904.
(2)发芽的概率大约为0.9.
【补偿训练】
下面是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数
45
92
194
470
954
1
902
优等品出
现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率.
(2)估计该批乒乓球优等品的概率是多少?
(3)若抽取乒乓球的数量为1
700只,则优等品的数量大约为多少?
【解析】(1)如下表所示:
抽取球数
50
100
200
500
1
000
2
000
优等品数
45
92
194
470
954
1
902
优等品出
现的频率
0.9
0.92
0.97
0.94
0.954
0.951
(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率是0.95.
(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1
700只乒乓球时,优等品数量为1
700
×0.95=1
615.
探究点二 游戏公平性的判断
【典例2】某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码,声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多,它是一个幸运号码,人们应该买这一号码;也有人说,若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少,由于每个号码出现的机会相等,应该买这一号码,你认为他们的说法对吗?
【思维导引】从游戏规则的公平性来判断两种说法的正误.
【解析】标有36个号码的36个球大小、重量是一致的,严格地说,为了保证公平,每次用的36个球,应该只允许用一次,除非能保证用过一次后,球没有磨损、变形.因此,当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时,不难看出,以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响,上述两种说法都是错的.
【类题通法】判断游戏规则公平性的关键及步骤
(1)关键:一种游戏对每个人来说是否公平,关键是看在这一游戏规则下,每个人获胜的概率是否相等.
(2)步骤:
①先借助概率计算公式,计算每个人获胜的概率;
②根据计算的结果判断.
【定向训练】
某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?
【解题指南】1.列举出所有可能情况.
2.考虑如何判断是否公平.
【解析】该方案是公平的,理由如下:
各种情况如表所示:
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1=
=
,(2)班代表获胜的概率P2=
=
,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
游戏公平性的判断：对游戏的双方来说，获胜的概率是否相等
频率是随机的数，概率是确定的数
数据分析：通过实例分析频率稳定性
数学抽象：通过实例了解频率与概率的区别与联系
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
频率的稳定性
课堂素养达标
1.气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”,对预测的正确理解是
( )
A.本市明天将有90%的地区降雨
B.本市明天将有90%的时间降雨
C.明天出行不带雨具肯定会淋雨
D.明天出行不带雨具可能会淋雨
【解析】选D.“本市明天降雨的概率是90%”即为“本市明天降雨的可能性为90%”.
2.下列说法正确的是
( )
A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率是
B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次正面向上
C.某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报
D.大量试验后,可以用频率近似估计概率
【解析】选D.注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键.A的结果是频率,不是概率;B,C两项都没有正确理解概率的含义,D正确.
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如表:
则取到号码为奇数的频率是
( )
A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37
卡片
号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的
次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
【解析】选A.取到的卡片号码为奇数的频数为10+8+6+18+11=53,则所求的频率为
=0.53.故选A.
4.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,然后由甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应制定哪种猜数方案?为什么?
(3)请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.
【解析】(1)如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为
=0.5;
方案B中“不是4的整数倍数”的概率为
,
“是4的整数倍数”的概率为
=0.2;
方案C中“是大于4的数”的概率为
=0.6,“不是大于4的数”的概率为
=0.4.乙为了尽可能获胜,应选方案B,猜“不是4的整数倍数”.
(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
(3)可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”,此方案也可以保证游戏的公平性.(共18张PPT)
10.3.2 随
机
模
拟
【情境探究】
1.对于某个指定范围内的整数,每次从中有放回地随机取出的一个数都称为随机数.那么你有什么办法产生1～20之间的随机数?
2.若抛掷一枚质地均匀的骰子30次,如果没有骰子,你有什么办法得到试验的结果?
必备知识生成
继续探究:
(1)随机数表中的数是0～9之间的随机数,你有什么办法得到随机数表?
提示:我们可以利用计算器或计算机产生随机数.
(2)一般地,如果一个试验的基本事件总数为n,在没有试验条件的情况下,你有
什么办法进行m次试验,并得到相应的试验结果?
提示:将n个基本事件编号为1,2,…,n,由计算器或计算机产生m个1～n之间的随
机数.
【知识生成】
蒙特卡洛方法
利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法.
关键能力探究
探究点 用随机模拟法估计古典概型的概率
【典例】已知某运动员每次投篮命中的概率约为40%,现采用随机模拟的方法
估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数
值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机
数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为
( )
A.0.35
B.0.25
C.0.20
D.0.15
【思维导引】应用随机模拟法估计古典概型的概率.
【解析】选B.由题意知模拟三次投篮的结果,经随机模拟产生了20组随机数,在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,271,932,812,393,共5组随机数,所以所求概率为
=
=0.25.
【类题通法】利用随机模拟法估计概率关注的三点
用随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不
同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑:
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随
机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字
个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此
时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
【定向训练】
种植某种树苗,成活率是0.9.若种植该种树苗5棵,用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率.
【解析】利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0代表
不成活,1至9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵,所以
每5个随机数作为一组,可产生30组随机数,如下所示:
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验,在这些数组中,如果恰有一个0,则表示恰有4棵成活,
共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似
为
=0.3.
随机模拟
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
随机模拟试验时，一定要注意每组随机数字能否重复
数学抽象：了解随机数的意义，
利用随机模拟估计概率的关注点
(1)当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数
数学建模：利用随机模拟估计概率
产生随机数的方法
计算器或
计算机软件
构建模拟试验
课堂素养达标
1.下列不能产生随机数的是
( )
A.抛掷骰子试验
B.抛硬币
C.利用计算器
D.正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5,抛掷该正方体
【解析】选D.D项中,出现2的概率为
,出现1,3,4,5的概率均是
,故不能产生随机数.
2.随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数
( )
A.不是等可能的
B.0出现的机会少
C.1出现的机会少
D.是均匀分布的
【解析】选D.用随机模拟法产生的区间[0,1]上的实数是均匀分布的,每一个数产生的机会是均等的.
3.袋子中有四个小球,分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,有放回地从中任取一个小球,取到“快”就停止,用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率:先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数,且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字,以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
据此估计,直到第二次就停止的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由随机模拟产生的随机数可知,直到第二次停止的有13,43,23,13,13,共5个基本事件,故所求的概率为P=
=
.
4.在用随机数(整数)模拟求“有4个男生和5个女生,从中选4个,求选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1～9的随机整数,并用1～4代表男生,用5～9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是________.?
【解析】用1～4代表男生,5～9代表女生,4678表示一男三女.
答案:选出的4个人中,只有1个男生
