第七章
复数
7.3.1复数的三角表示式((提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．复数表示成三角形式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各角不是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．复数，则把这种形式叫做复数的三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若一个复数的模为2，辐角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列复数不是三角形式的是（
）
A.；
B.；
C.；
D.；
7．下列各角是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（
）
A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．可能为实数
C．
D．的实部为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．复数，则_______
.
10．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第___________象限
11．若复数,则=_____________;若，则的三角形式为_____________，
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．(1)把下列复数的代数形式化成三角形式.
①；
②.
(2)把下列复数的三角形式化成代数形式.
①；
②.
13.求复数z＝1＋cos
θ＋isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．
14．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：
（1）判断复数在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
（2）若，求的值.第七章
复数
7.3.1复数的三角表示式((提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．复数表示成三角形式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，，，
又，∴，∴．故选：．
2．下列各角不是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，，，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；故选：C．
3．下列表示复数的三角形式中①；②；③；④；正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】∵，，，∴辐角主值为，
∴，
故①③的表示是正确的，②④的表示不正确，故选：B．
4．复数，则把这种形式叫做复数的三角形式，其中为复数的模，为复数的辐角.若一个复数的模为2，辐角为，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由复数的模为2，辐角为，可得.
所以.故选:D.
5.欧拉公式为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由欧拉公式，可得，
表示的复数位于复平面中的第三象限．故选：C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列复数不是三角形式的是（
）
A.；
B.；
C.；
D.；
【答案】ABC
【解析】A中间是“-“号，不是三角形式.
；
B括号前面是负数，不是三角形式，
C括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，；
D是三角形式．故选：ABC
7．下列各角是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】∵，，，∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.∴当时，；
当时，；当时，.故选：ABD
8．已知复数（其中为虚数单位）下列说法正确的是（
）
A．复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．可能为实数
C．
D．的实部为
【答案】BCD
【解析】，
．
，．
则复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限；
可能为实数；
；
，的实部为．故选：．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．复数，则_______
.
【答案】
【解析】
复数在复平面内，对应点的坐标为，点在轴上，所以，
故答案为：.
10．棣莫弗公式为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于第___________象限
【答案】二
【解析】由，
得，
，，，
复数在复平面内所对应的点位于第二象限．
故答案为：二．
11．若复数,则=_____________;若，则的三角形式为_____________，
【答案】
【解析】若,则,设，则，∴，
故答案为：
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．(1)把下列复数的代数形式化成三角形式.
①；
②.
(2)把下列复数的三角形式化成代数形式.
①；
②.
【答案】（1）①;②
(2)①;②.
【解析】（1）①∵，，，
又，∴，
∴；
②∵，，，
又，∴，
∴．
(2)①；
②.
13.求复数z＝1＋cos
θ＋isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值．
【答案】arg
z＝π＋
【解析】z＝1＋cos
θ＋isin
θ
＝2cos
2＋2i·sincos
＝2cos
(cos
＋isin) ①
∵
π<θ<2π∴<<π，∴cos<0.
∴①式＝－2cos(－cos－isin)
＝－2cos[cos(π＋)＋isin(π＋)]
∴r＝－2cos，
∵<<π∴π<π＋<2π，∴arg
z＝π＋.
14．欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：
（1）判断复数在复平面内对应的点位于第几象限，并说明理由；
（2）若，求的值.
【答案】(1)第二象限;(2)-1
【解析】（1）复数在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下：
在复平面内对应的点的坐标为，
由于，因此，，点在第二象限，
故复数在复平面内对应的点位于第二象限；
（2），为负实数（虚数无法比较大小）
，解得.
