复数
7.3.2
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．（
）
A．
B．
C．
D．
2．（
）
A．
B．
C．
D．
3．复数是方程的一个根，那么的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（
）
A．
B．
C．
D．
5.将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（
）
A．2i
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知i为虚数单位，，，则的三角形式不为下列选项的有（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列各角是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角分别是（
）
A．，
B．
C．
D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．=______________.（用代数形式表示）.
10．__________
11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
13．设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．
14．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，
并证明S△AOB＝|α|2.复数
7.3.2
复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C.
2．（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,
故选：C.
3．复数是方程的一个根，那么的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得，，故选:B.
4．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，
-i的立方根为（其中），
当时，得；当时，得；
当时，得，故选:D．
5.将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是（
）
A．2i
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】复数的三角形式是，向量对应的复数
,故选:B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知i为虚数单位，，，则的三角形式不为下列选项的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】，
.
故选：ABC.
7．下列各角是复数的辐角的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】∵6，
∴辐角主值，故可以作为复数的辐角的是，.
∴当时，；
当时，；
当时，；
故选：ABD．
8．把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角分别是（
）
A．，
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由题可知，
则，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故可以作为复数的辐角的是，.当时，；故选：BD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．=______________.（用代数形式表示）.
【答案】
【解析】
.
故答案为:
10．__________
【答案】
【解析】
.
故答案为:
11．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.
【答案】
【解析】由题意得.
故答案为:
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
【答案】（1）-4，几何解释见解析
（2），几何解释见解析
（3），几何解释见解析
（4），几何解释见解析
【解析】（1）原式.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长
为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的
向量，则即为积所对应的向量.
（2）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短
为原来的，得到一个长度为、辐角为
的
向量，则即为积所对应的向量.
（3）原式
.
几何解释：设，作与对应的向量，
然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度
缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
（4）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，
得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
13．设复数z＝cosθ＋isinθ，θ∈(π，2π)，求复数z2＋z的模和辐角．
【答案】模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)
【解析】z2＋z＝(cosθ＋isinθ)2＋cosθ＋isinθ
＝cos2θ＋isin2θ＋cosθ＋isinθ
＝(cos2θ＋cosθ)＋i(sin2θ＋sinθ)
＝2coscos＋i(2sincos)
＝2cos(cosθ＋isinθ)
＝－2cos
.
∵θ∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴－2cos>0，
所以复数z2＋z的模为－2cos，辐角为(2k－1)π＋(k∈Z)．
14．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，判断△AOB形状，
并证明S△AOB＝|α|2.
【答案】△AOB为等腰直角三角形,证明见解析
【解析】证明：∵α≠0，∴β＝(1＋i)α，
∴＝1＋i＝(cos＋isin)，∴∠AOB＝；
∵，分别表示复数α，β－α，
由β－α＝αi，得＝i＝cos＋isin，
∴∠OAB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形．
∴S△AOB＝|OA|2＝|α|2.
