第八章
立体几何初步
8.1基本立体图形((提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（
）
A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱
B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面
C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
2．下列关于棱柱的说法正确的个数是（
）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．
B．
C．
D．
3．下列说法中不正确的是（
）
A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形
B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．棱锥的侧面均为三角形
D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形
4．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（
）
A．21尺
B．25尺
C．29尺
D．33尺
5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法中不正确的是（
）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
7．下列说法正确的是（
）
A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形底边上中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
8．下列说法不正确的是（
）
A．直四棱柱是正四棱柱
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D．以直角三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成曲面所围成几何体叫做圆锥
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．给出下列几个命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是_______．
10．如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．
11．已知圆锥的母线长为4
cm,圆锥的底面圆半径为1
cm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为 cm.?
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指出它的底面与侧面.
13．已知球O与棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱相切,点M是球面上一点,点N是△ABC的外接圆上一点,求线段MN的取值范围.
14．如图,棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,点M,N,E分别为棱AA1,AB,AD的中点,以A为圆心,1为半径,分别在面ABB1A1和面ABCD内作弧和弧,并将两弧各五等分,分点依次为P1,P2,P3,P4以及Q1,Q2,Q3,Q4.一只蚂蚁欲从点P1出发,沿正方体的表面爬行至Q4,求其爬行的最短距离.
(参考数据:cos
9°≈0.987
7;cos
18°≈0.951
1;cos
27°≈0.891
0)第八章
立体几何初步
8.1基本立体图形((提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．下面关于空间几何体的定义或结构特征叙述错误的是（
）
A．空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱
B．有两个侧面都是矩形的三棱柱，它的侧棱垂直于底面
C．以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
【答案】D
【解析】对于选项A，由四棱柱的定义：空间中把一个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体是四棱柱，故A正确；
对于选项B，根据直线与平面的判定定理，得到这两个侧面的交线垂直于底面，是真命题，故B正确；
对于选项C，由圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆锥，故C正确；
对于选项D，底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心，故D错误．故选：D．
2．下列关于棱柱的说法正确的个数是（
）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体可能侧棱不平行，故②不正确；
由棱柱的定义可得③正确；
底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．故选:A．
3．下列说法中不正确的是（
）
A．将圆柱的侧面沿一条母线剪开，展开图是一个矩形
B．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．棱锥的侧面均为三角形
D．棱台的上下底面是平行且相似的多边形
【答案】B
【解析】由圆柱的性质知其侧面展开图是矩形，棱锥的侧面都是三角形，棱台的上下底面是平行且梘的多边形，ACD均正确，
由旋转体的概念可知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，当以斜边所在直线旋转一周时所形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，B错．故选：B．
4．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（
）
A．21尺
B．25尺
C．29尺
D．33尺
【答案】C
【解析】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，
由题意得2丈=20尺，圆周长BE=3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为尺，故选：C.
5.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，，
则是等边三角形，，侧面中，，
，即．故选A.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列说法中不正确的是（
）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
【答案】ABD
【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；
直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；
C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．故选：ABD．
7．下列说法正确的是（
）
A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形
D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径
【答案】BCD
【解析】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；
B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；
D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）．
故选：BCD．
8．下列说法不正确的是（
）
A．直四棱柱是正四棱柱
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥
【答案】ABD
【解析】对于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正确；
对于，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故不正确；
对于，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故正确；
对于，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故不正确．故选：ABD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．给出下列几个命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点．
其中正确命题的序号是_______．
【答案】BCD
【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知．
故答案为：BCD
10．如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是________________．
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是__________．
【答案】A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1
两个三棱台(或一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体)
【解析】（1）如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1．
（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台，也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示，也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示．
11．已知圆锥的母线长为4
cm,圆锥的底面圆半径为1
cm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为 cm.?
【答案】
【解析】 由题意得,底面圆的直径为2
cm,故底面圆的周长为2π
cm.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°.
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得2π=,解得n=90,
所以展开图中扇形的圆心角为90°,
所以蚂蚁爬行的最短路程是=
cm.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指出它的底面与侧面.
【答案】几何体A1EF-ABC是三棱台.
其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.
【解析】∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,
∴===.
∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.
又面A1B1C1与面ABC平行,
∴几何体A1EF-ABC是三棱台.
其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.
13．已知球O与棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱相切,点M是球面上一点,点N是△ABC的外接圆上一点,求线段MN的取值范围.
【答案】
【解析】易知与正方体的各棱都相切的球的半径r=2,正方体的外接球的半径R=.
因为点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动,点N在△ABC的外接圆上运动,
所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各棱都相切的球的半径,MN长度的最大值是正方体的外接球的半径加上与正方体的各棱都相切的球的半径.
由此可得线段MN的取值范围是
14．如图,棱长为2的正方体A1B1C1D1-ABCD中,点M,N,E分别为棱AA1,AB,AD的中点,以A为圆心,1为半径,分别在面ABB1A1和面ABCD内作弧和弧,并将两弧各五等分,分点依次为P1,P2,P3,P4以及Q1,Q2,Q3,Q4.一只蚂蚁欲从点P1出发,沿正方体的表面爬行至Q4,求其爬行的最短距离.
(参考数据:cos
9°≈0.987
7;cos
18°≈0.951
1;cos
27°≈0.891
0)
【答案】1.782
0
【解析】将平面ABCD绕AB旋转至与平面ABB1A1共面的位置,如图1所示:
图1
则∠P1AQ4=×8=144°,
所以|P1Q4|=2sin
72°.
将平面ABCD绕AD旋转至与平面ADD1A1共面的位置,将ABB1A1绕AA1旋转至与平面ADD1A1共面的位置,如图2所示:
图2
则∠P1AQ4=×2+90°=126°,所以|P1Q4|=2sin
63°.因为sin
63°72°,且由诱导公式可得sin
63°=cos
27°,所以最短距离为2sin
63°≈2×0.891
0=1.782
0.
