第八章
立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为(
)
A．
B．
C．
D．
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(
)
A．8
B．12
C．16
D．20
3.已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5.已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（
）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到的最短距离为
7．四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是
( )
A.
B.
C.
D.
8．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是
( )
A.直三棱柱的侧面积是
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE+EC1的最小值为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为________________
10．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为_________
11．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
13.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
14．如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则求四棱锥的体积.第八章
立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.
2．一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的全面积为(
)
A．8
B．12
C．16
D．20
【答案】B
【解析】由题得侧面三角形的斜高为，
所以该四棱锥的全面积为.
故选:B
3.已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为×22=,所以正三棱锥的体积为××3=.故选:A.
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为
.
故选：A.
5.已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，
如图：
则此三棱锥的表面积为：
,
故选：A
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（
）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到的最短距离为
【答案】BC
【解析】长方体的表面积为，A错误.长方体的体积为，B正确.如图（1）所示，长方体中，，，.求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示，将侧面和侧面展开，
则有，即经过侧面和侧面时的最短距离是；如图（3）所示，将侧面和底面展开，则有，即经过侧面和底面时的最短距离是；如图（4）所示，将侧面和底面展开，
则有，即经过侧面和底面时的最短距离是.因为，所以沿长方体表面由A到的最短距离是，C正确，D不正确.
7．四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】BC 由题意得,面PBC是边长为1的正三角形,所以S△PBC=.设三棱锥A-PBC的高为h,则VP-ABC=VA-PBC=S△PBC·h=××h=h.
又h∈(0,1],所以该四面体的体积V∈,
故选:BC.
8．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是
( )
A.直三棱柱的侧面积是
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE+EC1的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+×2=,故A正确;
直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B错误;
∵点E是侧棱BB1上的一个动点,∴以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又=××2=,∴=××=,故C正确;
将面BB1C1C展开至与面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,即E为BB1的中点,此时AE+EC1的值最小,为,故D正确.故选:ACD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为________________
【答案】
【解析】如图:
正四棱锥的高PO，斜高PE，
底面边心距OE组成直角△POE．
∵OE=2cm，∠OPE=30°，
∴斜高h′=PE=，
∴S正棱锥侧=
故答案为：32
10．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为_________
【答案】
【解析】设，，，
则长方体的体积，
又，且三棱锥的高为，
∴，
则剩余部分的几何体体积，
则，故答案为：
11．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．
【答案】20
【解析】由图形观察可知，几何体的面共有个，
该几何体的直观图如图所示，
该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.
两个四棱柱的体积和为.
交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍.
在等腰中，边上的高为2，则
由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形为边长为的菱形.
设的中点为，连接易证即为四棱锥的高，
在中，
又
所以
因为，
所以，
所以求体积为
故答案为：20；
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
【答案】，
【解析】如图，，在中，．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
13.如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
14．如图正四棱柱的体积为27，点E，F分别为棱上的点（异于端点）且，则求四棱锥的体积.
【答案】9
【解析】连接，
∵正四棱柱的体积为27，
点E，F分别为棱上的点（异于端点），且，
，
，
∴四棱锥的体积．
