第八章
立体几何初步
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知圆锥的高，体积，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图设圆锥底面半径为，母线长为，所以圆锥的体积为，所以，
又，所以该圆锥的侧面积为.故选：B
2．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，
故球的表面积为，而正方体的表面积为，
故正方体与这个球的表面积之比为．故选：C．
3．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（ ）
A．V1＝2V2
B．V1＝V2
C．V2＝2V1
D．V1＝V2
【答案】A
【解析】如图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，
则圆锥的水面圆的直径为，
由,
所以,故选：B
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（
）
A．18
B．6
C．3
D．2
【答案】C
【解析】因为“牟合方盖”的体积为18，所以该正方体的内切球的体积为，
设正方体的棱长为，则该正方体的内切球半径为，
所以，解得.故选：C.
5.把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正方体棱长为，所以正方体底面正方形的内切圆半径为，面积为，以此内切圆为底、高为的圆柱是可切出的最大圆柱.且该圆柱的体积为.
故选：C
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，
所以球的体积：.故选：AB
7．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的值可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
圆锥的底面半径为2，高为4，
设内接圆柱的底面半径为，则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，
因此，内接圆柱的高；
圆柱的侧面积为，
令，当时，；
所以当时，，
即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.故选：ABD.
8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=-πR2,所以V=πR3+πR2h=πR3+（-）R=-R3+R≤πR3,
解得R≥.
又h>0,所以-πR2>0,解得R<.
所以≤R<.故选：AC.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
【答案】
【解析】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为，
故答案为：
10．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于________厘米（精确到厘米）．
【答案】
【解析】使用卷纸的过程中，卷纸的高不变，
用之前卷纸的底面积，
设用后纸的半径为厘米，
当小明用掉的纸后卷纸的底面积，
解得厘米，
所以剩下的这卷纸的直径为厘米，最接近于厘米.
故答案为：
11．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______________,此时=___________.
【答案】
1
【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为，圆柱的底面半径为
，则由，可得，所以圆柱的侧面积，
所以时，该圆柱的侧面职取最大值.
故答案为：
1．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;
（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）
（2）如图所示，设圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为，表面积为,
则
易知
，即
13．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积
【答案】
【解析】设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：
则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，
所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，
该球的表面积为.
14．如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）
（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；
（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？
【答案】（1）；（2）25cm；（3）2cm.
【解析】（1）作出圆锥的轴截面和沿剪开的侧面展开图，如下图
由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，AB的长为10
cm，可得：
cm，
所以，圆锥的高为：＝，小圆锥的高为．
因此圆台的体积为：，
侧面积为：．
（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为，
所以，侧面展开图的圆心角为，
在直角三角形中，可得，所以最短时候，绳长为25cm
（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是到直线的距离减OB长：．第八章
立体几何初步
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．已知圆锥的高，体积，则该圆锥的侧面积为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则（ ）
A．V1＝2V2
B．V1＝V2
C．V2＝2V1
D．V1＝V2
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（
）
A．18
B．6
C．3
D．2
5.把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
7．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的值可能是（
）A．
B．
C．
D．
8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值可能为( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10．小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径12厘米，轴的直径为4厘米．当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于________厘米（精确到厘米）．
11．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______________,此时=___________.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12.已知一个圆锥的底面半径为，母线长为.
（1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角;
（2）若圆锥中内接一个高为的圆柱.求圆柱的表面积.
13．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积
14．如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．（提示：本题的数据有长度单位）
（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；
（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？
