第6讲
列方程（组）解应用题
知识精要
一、列方程（组）解应用题：列一元二次方程解决问题
列高次方程解决问题
列分式方程解决问题
列无理方程解决问题
列方程组解决问题
二、列方程（组）解应用题的一般步骤：
1、审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；
2、设元，选择适当的未知数，用字母（、或其它字母）表示；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
三、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作总量=工作效率×工作时间
（2）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
基本量之间的关系：路程=速度×时间
3、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；4、储蓄问题：
本息和=本金+利息—利息税；
利息=本金×期数×对应利率；
5、平均增长（降低）率公式：
【典型例题】
1.某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
【思路点拨】首先设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，由题意可知先遣队用的时间+0.5小时=大队用的时间．
【答案与解析】解：设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，
=+0.5，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
1.2x=1.2×5=6．
答：先遣队的速度是6千米/时，大队的速度是5千米/时．
【总结升华】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走15千米所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到0.5h列出方程解决问题．
举一反三：
【变式】某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？
【答案】
解：设甲组每天修桌凳x套，则乙组每天修桌凳为1.5x套.
由题意得，
解得，
x=16
经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.
1.5x=1.516=24
答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套.
2.
某块长方形田的面积是864平方米，长与宽的和是60米，则长与宽各是多少米？
【答案与解析】
设该块田的长是x米，宽是y米.由题意得，
，
解得，，
考虑到实际情况，长应该大于宽，所以符合实际.
答：长是36米，宽是24米.
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒后PQ的长为厘米？
【答案与解析】
解：设经过t（t＜6）秒后PQ的长为厘米.
根据题意，有，
两边平方，整理得，，
由求根公式求得，，所以，
经检验，都是原方程的根且符合实际，
答：经过秒或秒后PQ的长为厘米.
【总结升华】本题中设出时间t，就可以表示出PB=6-t，BQ=2t，从而可以根据勾股定理求出PQ=，再根据PQ的长为厘米列出方程.
热身练习
1、一样工作甲独做5小时可完成，若甲、乙合做3小时完成，则乙单独完成工作需7.5
小时。
2、甲、乙两人站在一条道路的两端同时出发相向而行，1.2小时相遇，若甲走完这条道路需2小时，则乙走完这条路需
3
小时。
3、A、B两地相距24千米，甲、乙两人同时从A地出发，步行到B地，甲比乙每小时少走1千米，结果比乙晚到2小时，设甲每小时步行千米，列方程得
+2=
。
4、甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作天完成，列方程得
+=
。?
5、已知一汽船在顺流中航行46千米和逆流中航行34千米，共用去的时间，正好等于它在静水中航行80千米用去的时间，且水流速度是2千米/时，求汽船在静水中的速度，若设汽船在静水中速度为x千米/时，则所列方程正确的是（
B
）
A.
+=
B.
+=
C.
=－
D.
=+
6、一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（
B
）
A.2天
B.3天
C.4天
D.5天
7、某文化用品商品出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔价格是多少？
解
设两面每支钢笔价格是x元，根据题意得：
－=6
整理
得：
x2+x－20=0
得
x1=4
x2=－5
经检验：x1=4
x2=－5都是原方程的根，但x2=－5不合题意应舍去。
∴x=4
答：略。
巩固练习
一、填空题
1、某煤矿一月份产煤a吨，如果按月平均增长10吨算那么三月份的煤产量用代数式表
2、某商品提价10%后，欲恢复原价，则应降价
。
3、某机关有A、B、C三个部门，分别有公务员84人、56人、60人，如果每部门按相同比例裁员，使机关仅留150名公务员，那么C部门留下公务员
45
人。
4、某电视机厂1999年向国家上缴利税400万元，2001年增加到484万元，则该厂两年上缴利税的平均增长率是
10%
。
5、某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了
天．
二、选择题
1、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价不变，使得利润率由m%，提高到(m+6)%（售出价=进货价（1+利润率）），则m的值为（
C
）
A.10
B.12
C.14
D.17
2、某个体商贩一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都是以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这项买卖中他（
C
）
A.不赔不赚
B.赚9元
C.赔18元
D.赚18元
3、有含盐75%的盐水500克，要使盐水含盐80%，还需加盐多少克，设还需加盐克，则所列方程为（
C
）
A.500×75%=(500+x)
×80%
B.(500+x)
×75%=500×80%
C.500(1-75%)=(500+x)(1-80%)
D.500×15%=(500+x)
×20%
4、为了搞活经济，商场将一种商品A按标价的9折出售，仍可获利润10%，若商品标价为33元，那么该商品进货价为（
D
）
A.31元
B.30.2元
C.29.7元
D.27元
5、某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金、利息之外，还盈余6.4万元，若经营期间资金增长的百分数相同，则这个百分数为（
A
）
A.20%
B.10%
C.22%
D.15%
三、解答题
1、一工厂生产总值在两年内由500万元增加到605万元，那么平均每年增长百分率是多少？
解：设平均每年增长百分率为
根据题意列方程，得
605＝500(1+x)2.
解得，x=0.1.
答：平均每年增长百分率为10％.
2、商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元，（每件商品的毛利润=每件商品的销售价格-每件商品的成本价格）五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量经四月份增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元，问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？
解：设调价前销售这种商品每件毛利润元，根据题意得：
－=500
解这个方程得x1=20
x2=－12
经检验：x=20
x2=-12都是原方程的解，但x2=-12不合题意舍去
∴只有x=20
3、某人驾车从A地到B地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。已知A、B两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度。
解：设原来的车速为x千米／小时，则修好车后的速度为1.6x千米／小时，前后两段的距离分别为2x千米，（100－2x）千米，依题意得
解得
x=30（检验、答省略，下同）
4、为打造抚河河岸风光带，现有一段长为180米的河岸整治任务由A、B两工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天。
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
5、一个分数，如果分母加1，则分数等于1／11，如果分子加1，则分数等于1／7，求这个分数。
解：设这个分数的分母为x，分子为y，依题意得
自我测试
1、方程的解是
2、方程的根是
3、当
时，方程无实数根。
4、方程的解是
5、若关于的方程无实根，则的值为
6、当
时，方程组是关于的二元二次方程组；当时，这个方程组的解为
7、解关于的方程：
解：当时，方程无解；
当时，
8、解分式方程：
解：
9、解方程：
解：
10、儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
设文具盒x元，则有：
(x+3x-6)(1-0.8)=13.2;
4x-6=66;
4x=72;
x=18;
所以文具盒18元，书包18×3-6=48
11、某装修公司为某新建小区的A、B两种户型(共300套)装修地板
类别
抛光地板砖
亚光地板砖
实木地板
强化木地板
平均费用(元/m2)
170
90
200
80
（1）若A种户型所需木地板、地板砖各为50m2、20m2，B种户型所需木地板、地板砖各为40m2、25m2．公司最多可提供木地板13000m2，最多可提供地板砖7010m2，在此条件下，则可能装修A、B两种户型各多少套？
（2）小王在该小区购买了一套A户型套房(地面总面积为70m2)．现有两种铺设地面的方案：①卧室铺实木地板，卧室以外铺亚光地板砖；②卧室铺强化木地板，卧室以外铺抛光地板砖．经预算，铺1m2地板的平均费用如下表．设卧室地面面积为am2，怎样选择所需费用
更低？
解：（1）设装修A、B两种户型各x、y套第6讲
列方程（组）解应用题
知识精要
一、列方程（组）解应用题：列一元二次方程解决问题
列高次方程解决问题
列分式方程解决问题
列无理方程解决问题
列方程组解决问题
二、列方程（组）解应用题的一般步骤：
1、审题，理解题意，弄清题中的已知量、未知量以及它们之间的关系；
2、设元，选择适当的未知数，用字母（、或其它字母）表示；
3、找出相等关系，列方程（组）；
4、解方程（组）；
5、检验，作答；
三、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作总量=工作效率×工作时间
（2）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
基本量之间的关系：路程=速度×时间
3、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；4、储蓄问题：
本息和=本金+利息—利息税；
利息=本金×期数×对应利率；
5、平均增长（降低）率公式：
【典型例题】
1.某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
举一反三：
【变式】某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？
2.
某块长方形田的面积是864平方米，长与宽的和是60米，则长与宽各是多少米？
3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒后PQ的长为厘米？
热身练习
1、一样工作甲独做5小时可完成，若甲、乙合做3小时完成，则乙单独完成工作需
小时。
2、甲、乙两人站在一条道路的两端同时出发相向而行，1.2小时相遇，若甲走完这条道路需2小时，则乙走完这条路需
小时。
3、A、B两地相距24千米，甲、乙两人同时从A地出发，步行到B地，甲比乙每小时少走1千米，结果比乙晚到2小时，设甲每小时步行千米，列方程
。
4、甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作天完成，列方程得
。?
5、已知一汽船在顺流中航行46千米和逆流中航行34千米，共用去的时间，正好等于它在静水中航行80千米用去的时间，且水流速度是2千米/时，求汽船在静水中的速度，若设汽船在静水中速度为x千米/时，则所列方程正确的是（
）
A.
+=
B.
+=
C.
=－
D.
=+
6、一项工程，甲、乙二人合做2天完成，已知乙单独完成此项工程比甲单独完成此项工程需多用3天，那么甲单独完成此项工程需（
）
A.2天
B.3天
C.4天
D.5天
7、某文化用品商品出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔价格是多少？
巩固练习
一、填空题
1、某煤矿一月份产煤a吨，如果按月平均增长10吨算那么三月份的煤产量用代数式表
2、某商品提价10%后，欲恢复原价，则应降价
。
3、某机关有A、B、C三个部门，分别有公务员84人、56人、60人，如果每部门按相同比例裁员，使机关仅留150名公务员，那么C部门留下公务员
人。
4、某电视机厂1999年向国家上缴利税400万元，2001年增加到484万元，则该厂两年上缴利税的平均增长率是
。
5、某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了
天．
二、选择题
1、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价不变，使得利润率由m%，提高到(m+6)%（售出价=进货价（1+利润率）），则m的值为（
）
A.10
B.12
C.14
D.17
2、某个体商贩一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都是以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这项买卖中他（
）
A.不赔不赚
B.赚9元
C.赔18元
D.赚18元
3、有含盐75%的盐水500克，要使盐水含盐80%，还需加盐多少克，设还需加盐克，则所列方程为（
）
A.500×75%=(500+x)
×80%
B.(500+x)
×75%=500×80%
C.500(1-75%)=(500+x)(1-80%)
D.500×15%=(500+x)
×20%
4、为了搞活经济，商场将一种商品A按标价的9折出售，仍可获利润10%，若商品标价为33元，那么该商品进货价为（
）
A.31元
B.30.2元
C.29.7元
D.27元
5、某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金、利息之外，还盈余6.4万元，若经营期间资金增长的百分数相同，则这个百分数为（
）
A.20%
B.10%
C.22%
D.15%
三、解答题
1、一工厂生产总值在两年内由500万元增加到605万元，那么平均每年增长百分率是多少？
2、商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元，（每件商品的毛利润=每件商品的销售价格-每件商品的成本价格）五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量经四月份增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元，问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？
3、某人驾车从A地到B地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。已知A、B两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度。
4、为打造抚河河岸风光带，现有一段长为180米的河岸整治任务由A、B两工程队先后接力完成，A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天。
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
依据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x
，y表示的含义然后在框中补全甲、乙两名同学所列的方程组
甲：x表示
，y表示
乙：x表示
，y表示
（2）A工程队治理河岸
米。
B工程队治理河岸
米
5、一个分数，如果分母加1，则分数等于1／11，如果分子加1，则分数等于1／7，求这个分数。
自我测试
1、方程的解是
2、方程的根是
3、当
时，方程无实数根。
4、方程的解是
5、若关于的方程无实根，则的值为
6、当
时，方程组是关于的二元二次方程组；当时，这个方程组的解为
7、解关于的方程：
8、解分式方程：
9、解方程：
10、儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
11、某装修公司为某新建小区的A、B两种户型(共300套)装修地板
（1）若A种户型所需木地板、地板砖各为50m2、20m2，B种户型所需木地板、地板砖各为40m2、25m2．公司最多可提供木地板13000m2，最多可提供地板砖7010m2，在此条件下，则可能装修A、B两种户型各多少套？
类别
抛光地板砖
亚光地板砖
实木地板
强化木地板
平均费用(元/m2)
170
90
200
80
（2）小王在该小区购买了一套A户型套房(地面总面积为70m2)．现有两种铺设地面的方案：①卧室铺实木地板，卧室以外铺亚光地板砖；②卧室铺强化木地板，卧室以外铺抛光地板砖．经预算，铺1m2地板的平均费用如下表．设卧室地面面积为am2，怎样选择所需费用更低？
