第十五章 　整式的乘除与因式分解 (全章学案)

课　　题：15.1.1同底数幂的乘法 第1课时
学习目标：1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
重　点： 正确理解同底数幂的乘法法则
难　点： 正确理解和应用同底数 ( http: / / www.xkb1.com )幂的乘法法则
学习方法：归纳、概括
一．提出问题，创设情境
复习的意义：
表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
提出问题：
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
二．导入新课
1．做一做
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
2．议一议
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
“同底数幂相乘，底数__________，指数____________”．
3．练习
（1）x2·x5
（2）a·a6
（3）2×24×23
（4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
三．随堂练习
1．课本P170练习
四．反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．1．2幂的乘方
学习目标：1．会进行幂的乘方的运算。．
2．了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．
重　点： 会进行幂的乘方的运算
难　点： 幂的乘方法则的总结及运用
学习方法：归纳、概括
一．提出问题，创设情境
计算（1）（x+y）2·（x+y）3
（2）x2·x2·x+x4·x
（3）（0.75a）3·（a）4
（4）x3·xn-1－xn-2·x4
二．导入新课
1．做一做
表示_________个___________相乘.
表示_________个___________相乘.
在这个练习中，要引导学生观察，推测(62)4与(a2)3的底数、指数。并用乘方的概念解答问题。
=________×_________×_______×________
=__________(根据an·am=anm)
=__________
=_______×_________×_______
=__________(根据an·am=anm)
=__________
2．议一议
（am）n=________×________×…×_______×_______
=__________(根据an·am=anm)
=__________
即 （am）n= ______________(其中m、n都是正整数)
通过上面的探索活动,发现了什么
幂的乘方,底数__________,指数__________.
3．练习
计算下列各题：
（1）（103）3 （2）[（）3]4 （3）[（－6）3]4
（4）（x2）5 （5）－（a2）7 （6）－（as）3
（7）（x3）4·x2 （8） 2（x2）n－（xn）2
（9）[（x2）3]7
三．反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．1．3 积的乘方
学习目标：1．会进行积的乘方的运算。．
2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
重　点： 积的乘方运算法则及其应用．
难　点： 幂的运算法则的灵活运用
学习方法：归纳、概括
一．提出问题，创设情境
若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
二．导入新课
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )
（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
2．把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
3．解决前面提到的正方体体积计算问题．
4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
三、 随堂练习
（1）（2a）3
（2）（-5b）3=
（3）（xy2）2
（4）（-2x3）4
四．反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．1．4 整式的乘法
学习目标：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
重　点： 单项式与单项式、单项式与多项式和多项式与多项式相乘的法则
难　点： 多项式与多项式相乘
学习方法：归纳、概括、总结
第一课时：
（一）知识回顾：回忆幂的运算性质：
am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn (m，n都是正整数)
（二）创设情境，引入新课
1．问题：光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗
2．分析解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107
3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
（三）自己动手，得到新知
1．类似地，请你试着计算：
(1)2c5·5c2；
(2)(-5a2b3)·(-4b2c)
2．得出结论：单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别_______________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的__________作为积的一个因式．
（四）巩固结论，加强练习
例：计算： （-5a2b）·（-3a） （2x）3·（-5xy2）
练习：P145 练习1，2
附加练习：
1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米
2．
(-10xy3)(2xy4z) (-2xy2)(-3x2y3)(xy)
3. 3(x-y)2·[(y-x)3][ (x-y)4]
4.判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式（ ）
两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（ ）
两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（ ）
两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（ ）
5.计算：0.4x2y·（xy）2-（-2x）3·xy3
（四）．反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
第二课时：
知识回顾：
单项式乘以单项式的运算法则
创设情境，提出问题
1．问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是a,b,c。你能用不同方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
2．学生分析：【1】
3. 得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，
即总收入为：________________
另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和
即总收入为：________________
所以：m(a+b+c)= ma+mb+mc
4．提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？
总结结论【2】
单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相_____。
即：m(a+b+c)= _________________
巩固练习
例： 2a2·(3a2-5b) ) (-4x2) ·(3x+1);
练习：P146 练习1，2
（五）附加练习
1．若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，则m-n的值为______
2．计算：(a3b)2(a2b)3
3. 计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)
4. 计算：
5．计算：
6．已知求的值
7．解不等式：
8．若与的和中不含项，求的值，并说明不论取何值，它的值总是正数
（六）．反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
第三课时：
回顾旧知识
单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则
创设情境，感知新知
1．问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？
2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系
3．学生分析得出结果
学生动手，推导结论
1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘 ，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
2．学生动手得到结论：
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的_________乘另一个多项式的_________，再把所得的积_________．
巩固练习
例：
练习：
例：先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中a=-8,b=-6
练习：化简求值：，其中x=
一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少
深入研究
计算：①(x+2)(x+3)； ②(x-1)(x+2)；
③(x+2)(x-2)； ④(x-5)(x-6)；
⑤(x+5)(x+5)； ⑥(x-5)(x-5)；
3. 计算：(x+2y-1)2
4. 已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
（六）．反思归纳x kb1.c om
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．2．1 平方差公式
学习目标：1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
重　点： 平方差公式的推导和应用
难　点： 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
学习方法：归纳、概括、总结
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
Ⅱ．导入新课
计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）
（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）
（4）（x+5y）（x-5y）
结论：两个数的和与这两个数的__________的积，等于这两个数的___________．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
例2：计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
Ⅲ．随堂练习
计算：
（1）（a+b）（-b+a）
（2）（-a-b）（a-b）
（3）（3a+2b）（3a-2b）
（4）（a5-b2）（a5+b2）
（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）
（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．3．2．1 完全平方公式（一）
学习目标：1．完全平方公式的推导及其应用．
2．完全平方公式的几何解释．
重　点： 完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用
难　点： 理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算
学习方法：归纳、概括、总结
Ⅰ．提出问题，创设情境
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
Ⅱ．导入新课
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；
（2）（m+2）2=_______；
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；
（4）（m-2）2=________；
（5）（a+b）2=________；
（6）（a-b）2=________．
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）____________的2倍．
（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=a2-2ab+b2
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
应用举例：
[例1]应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 （2）（y-）2
（3）（-a-b）2 （4）（b-a）2
[例2]运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
Ⅲ．随堂练习
课本P181练习1、2．
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．2．2．2 完全平方公式（二）
学习目标：1．添括号法则．
2．利用添括号法则灵活应用完全平方公式
重　点： 理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用
难　点： 在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的．
学习方法：归纳、概括、总结
Ⅰ．提出问题，创设情境
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都_______________；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都_______________________．
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-=2a-（b-）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
Ⅱ． 例：运用乘法公式计算
（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（a+b+c）2
（3）（x+3）2-x2
（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
Ⅲ．随堂练习
课本练习
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．3．1 同底数幂的除法
学习目标：1．同底数幂的除法的运算法则及其应用．
2．同底数幂的除法的运算算理．
重　点： 准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
难　点： 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
学习方法：归纳、概括、总结
Ⅰ．提出问题，创设情境
1．叙述同底数幂的乘法运算法则．
2．问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M=210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？
Ⅱ．导入新课
请同学们做如下运算：
1．（1）28×28 （2）52×53
（3）102×105 （4）a3·a3
2．填空：
（1）（ ）·28=216 （2）（ ）·53=55
（3）（ ）·105=107 （4）（ ）·a3=a6
3.思考：
（1）216÷28=（ ） （2）55÷53=（ ）
（3）107÷105=（ ） （4）a6÷a3=（ ）
要求同学们理解着记忆同底数幂的除法的运算法则：
同底数幂相除，底数____________，指数____________
即：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）
例题讲解：（出示投影片）
1．计算：
（1）x8÷x2 （2）a4÷a （3）（ab）5÷（ab）2
2．先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an=am-n的方法计算，你能得出什么结论？
（1）32÷32=（ ）
（2）103÷103=（ ）
（3）am÷an=（ ）（a≠0）
1．解：（1）x8÷x2=x8-2=x6．
（2）a4÷a=a4-1=a3．
（3）（ab）5÷（ab）2=（ab）5-2=（ab）3=a3b3．
规定： a0=1（a≠0）
即：任何_______________的数的0次幂都等于1．
Ⅲ．随堂练习（课本）
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15．3．2 整式的除法
第一课时
学习目标：1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．
2．单项式除以单项式的运算算理．
重　点： 单项式除以单项式的运算法则及其应用
难　点： 探索单项式与单项式相除的运算法则的过程
学习方法：归纳、概括、总结
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
讨论：（1）计算（1.90×1024÷（5.98×1021）．说说你计算的根据是什么？
（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？
8a3÷2a；5x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2．
（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？
Ⅱ．导入新课
可以从两方面考虑：
1．从乘法与除法互为逆运算的角度．
5.98×1021·（0.318×103）=1.90×1024．
所以（1.90×1024）÷（5.98×1021）=________________
2．还可以从除法的意义去考虑．
12a3b2x3÷3ab2=·x3=4a2x3．
共同特征：
（1）都是________________除以单项式．
（2）运算结果都是把________、__________分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的__________一起作为商的一个因式．
（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．
例：计算
（1）28x4y2÷7x3y
（2）-5a5b3c÷15a4b
（3）（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3
（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2
Ⅲ．随堂练习（课本）
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
第二课时：
回顾单项式除以单项式法则
学生动手，探究新课
计算下列各式：
(1)(am+bm)÷m；
(2)(a2+ab)÷a；
(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．
提问：①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗
总结法则
多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以___________，再把所得的商______
本质：把多项式除以单项式转化成______________
解决问题
例：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
小结
1．单项式的除法法则
应用单项式除法法则应注意：
系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；
把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；
③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；
要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．
⑤多项式除以单项式法则
（五）．随堂练习（课本）
反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15.4.1提公因式法（一）
学习目标：让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式
重　点： 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来
难　点： 让学生识别多项式的公因式.
学习方法：归纳、概括、总结
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为________________,或__________________________
ma+mb+mc_______m（a+b+c）
由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做_____________
2.例题讲解
［例1］将下列各式分解因式：
（1）3x+6;
（2）7x2－21x;
（3）8a3b2－12ab3c+abc
（4）－24x3－12x2+28x.
3.议一议
通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.
首先找各项系数的____________________，如8和12的最大公约数是4.
其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最___________的.
4、课堂练习
（一）随堂练习
1.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb 2）4kx－8ky （3）5y3+20y2 （4）a2b－2ab2+ab
2.把下列各式分解因式
（1）8x－72 （2）a2b－5ab
（3）4m3－6m2 （4）a2b－5ab+9b
5、［例2］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
（3） a（x－3）+2b（x－3）分解因式.

反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法
课　　题：15.4.2 公式法（一）
学习目标：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式
重　点： 掌握运用平方差公式分解因式.
难　点： 将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；
学习方法：归纳、概括、总结
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
二、新课讲解
1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=___________________（2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的__________公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的____________公式.
2.公式讲解
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2
=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2; （2）9a2－ b2.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.
补充例题：判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.
三、课堂练习

反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法

课　　题：15.4.2 公式法（二）
学习目标：1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式
重　点： 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法
难　点： 让学生学会观察多项式特点，恰当安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式
学习方法：归纳、概括、总结
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2
二、讲授新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了____________.
用语言叙述为：两个数的_________，加上（或减去）这两数的________的2倍，等于这两个数的和（或差）的____________.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
练一练.下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+ b2; （4）a2－ab+b2;
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.
三、课堂练习
1.随堂练习见书本
2.补充练习：把下列各式分解因式：
（1）（x+y）2+6（x+y）+9;
（3）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;




反思归纳
1、本节课学习的内容
2、本节课的数学思想方法