第6讲
一元一次方程的解法及应用
知识精要
一、一元一次方程定义及解法：
1、一元一次方程的有关概念
：
（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的标准形式是：
。
（3)一元一次方程的最简形式:
。
注意：
①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误。
②方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成。
2、等式的基本性质：
（1）等式的两边同时加上（或减去）
或
，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边同时乘以
或除以
，所得结果仍是等式。
3、解一元一次方程的基本步骤：
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的
。
注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号。
（2）去括号：一般地，先去
，再去
，最后去
。
注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号。
（3）移项：把含有
的项都移到方程的一边，
移到方程的另一边。
注意：①移项要变号；②不要丢项。
（4）化为最简形式：把方程化成
的形式。
注意：字母和其指数不变。
（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。
注意：不要把分子、分母搞颠倒。
一元一次方程的应用：
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系；
（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；
（3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
（1)和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
（2）数字问题
一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。
十位数可表示为，
百位数可表示为。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
（3）市场经济问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价
②商品利润率＝×100%
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。
（4）行程问题
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
①相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
②追及问题：
快行距－慢行距＝原距
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。
(5)工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
(6)储蓄问题
利润＝×100%
利息＝本金×利率×期数
名师精讲
类型一、解较简单的一元一次方程
1．解下列方程
(1)
(2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是(
)．
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由，得x＝-1
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
类型二、去括号解一元一次方程
2．解方程：
举一反三：
【变式】解方程：
5(x-5)+2x＝-4．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程：．
举一反三：
【变式】
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程：
5.
解方程：
举一反三：
【变式】
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0
类型六、和差倍分问题
1．2014年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?
举一反三：
【变式】学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．
25台
B．
50台
C．
75台
D．
100台
类型七、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
2.相遇问题（相向问题）
3．
A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
举一反三：
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
4.航行问题（顺逆流问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
类型八、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
类型九、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
7．某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ ）
A．
22+x=2×26
B．
22+x=2（26﹣x）
C．
2（22+x）=26﹣x
D．
22=2（26﹣x）
举一反三：
【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
巩固练习
1、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么，方程的右边是什么？并且判断它是否是一元一次方程？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）．
2、若方程3x－5＝1与方程有相同的解，则的值等于
．
3、已知
．
4、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元，则这10斤鸡蛋的原价是
元．
5、某商品标价1375元，打8折（按标价的80%）售出，仍可获利10%，则该商品的造价是
元．
6、某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两地距离为2千米，则A、B两地之间的距离是
．
7、某人从A地出发，先上山，再下山到B地共走0.4千米，再由B地顺原路返回，已知上山速度为千米/时，下山速度为千米/时，那么从A地到B地再回到A地所用时间是
小时．
8、下列方程是一元一次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
9、解方程(x-1)=3,下列变形中，较简捷的是 （ ）
A．方程两边都乘以4，得3（x-1）=12
B．去括号，得x-=3
C．两边同除以，得x-1=4
D．整理，得
10、是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则（
）
A．
B．
C．
D．
11、若互为相反数（），则的根是（
）.
A.1
B.－1
C.1或－1
D.任意数
12、甲、乙、丙三人共捐款611元支援山区，甲比乙多25元，比丙少36元，则丙捐款数为 （ ）
A．200元 B．175元 C．236元 D．218元
13、为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1－500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1－250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，……，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是 （ ）
A.48
B.250
C.256
D.500
14、解方程
（1）
（2）．
15、某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？
16、如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？
热身练习
1、下列方程中，一元一次方程一共有(
).
①；②；③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、给出下面四个方程及其变形：
①；②；
③；④；
其中变形正确的是(
)
A．①③④ B．①②④
C．②③④
D．①②③
3、代数式的值等于1时，的值是（
）.
A、3
B、1
C、－3
D、－1
3、下列方程以零为解的是(
).
A．0.3x-4＝5.7x+1.
B．
C．＝0.
D．1-｛3x-〔(4x+2)-3
〕｝＝0.
4、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于（
）.
A.－
B.－
C.
D.
5、根据下列条件，能列出方程的是（
）.
A.一个数的2倍比小3
B.与1的差的
C.甲数的3倍与乙数的的和
D.与的和的
6、一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（
）.
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
7、某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（
）.
A.不赔不赚
B.赚9元
C.赔18元
D.赚18元
8、哥哥有存款300元，弟弟有存款120元，若从下月起哥哥每月存款100元，要想在5个月后两人的存款数相等，那么弟弟每月应存款（ ）.
A．100元
B．160元
C．136元
D．125元
9、已知是关于的一元一次方程，那么_______.
10、方程的标准形式为_______________.
11、当______时，的值等于－的倒数.
12、方程与方程的解一样，则________.
13、某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打____折出售此商品.
14、某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费.
如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米
.
15、解方程：
（1）；
（2）.
一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度？
自我检测
1、在方程，，，,
，中，是一元一次方程的有（
）个．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
2、
方程1-去分母得 （ ）
A．1-2(2x-4)=-(x-7) B．6-2(2x-4)=-x-7
C．6-2(2x-4)=-(x-7) D．以上答案均不对
3、方程
是一元一次方程，则等于（
）．
A．
B．
C．
D．
4、若关于的方程是一元一次方程，则、的取值是（
）．
A．
B．
C．
D．
5、x=1是方程（
）的解.
A．-
B．
C．2{3[4(5x-1)-8]-2}=8
D．4x+=6x+
6、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（
）
A.
106元
B.105元
C.118元
D.108元
7、一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为(
)
A．x－1=5(1．5x)?????B．3x+1=50(1．5x)
C．3x－1=
(1．5x)????
D．180x+1=150(1．5x)
8、一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合做了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为
A．1－（1
+
)m???????????????????????????????
B．5－
m
C．m??????????????????????????????????????D．以上都不对
9、若2（3-a）x-4=5是关于x的一元一次方程，则a≠
.
10、关于x的方程ax=3的解是自然数，则整数a的值为：
.
11、已知方程是一元一次方程，则
；
．
12、当m=
时，方程的解为0.
13、已知a≠0.则关于x的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x的解为
.
14、假定每人的工作效率都相同，如果个人天做个玩具熊，那么个人做个玩具熊需要______天．
15、甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．
(1)当两人同时同地背向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇；
(2)两人同时同地同向而行时，经过__________秒钟两人首次相遇．
16、解下列方程
（1）
（2）[()-4]=x+2;
17、甲、乙两人骑车分别从A，B两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离？一元一次方程的解法及应用
知识精要
一、一元一次方程定义及解法：
1、一元一次方程的有关概念
：
（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的标准形式是：
。
（3)一元一次方程的最简形式:
。
注意：
①任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误。
②方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成。
2、等式的基本性质：
（1）等式的两边同时加上（或减去）
或
，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边同时乘以
或除以
，所得结果仍是等式。
3、解一元一次方程的基本步骤：
（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的
。
注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号。
（2）去括号：一般地，先去
，再去
，最后去
。
注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号。
（3）移项：把含有
的项都移到方程的一边，
移到方程的另一边。
注意：①移项要变号；②不要丢项。
（4）化为最简形式：把方程化成
的形式。
注意：字母和其指数不变。
（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解。
注意：不要把分子、分母搞颠倒。
一元一次方程的应用：
1、列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系；
（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子；
（3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系；
（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；
（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。
2、一元一次方程的应用中常碰到的几个问题:
（1)和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率
现在量＝原有量＋增长量
（2）数字问题
一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。
十位数可表示为，
百位数可表示为。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
（3）市场经济问题
①商品利润＝商品售价－商品成本价
②商品利润率＝×100%
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量
④商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
⑤商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。
（4）行程问题
路程＝速度×时间
时间＝路程÷速度
速度＝路程÷时间
①相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
②追及问题：
快行距－慢行距＝原距
③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。
(5)工程问题
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
(6)储蓄问题
利润＝×100%
利息＝本金×利率×期数
名师精讲
类型一、解较简单的一元一次方程
1．解下列方程
(1)
(2)-5x+6+7x＝1+2x-3+8x
【答案与解析】
解：(1)移项，得．合并，得．系数化为1，得m＝-10．
(2)移项，得-5x+7x-2x-8x＝1-3-6．合并，得-8x＝-8．系数化为1，得x＝1．
【点评】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：
(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．
(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．
(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．
举一反三：
【变式】下列方程变形正确的是(
)．
A．由2x-3＝-x-4，得2x+x＝-4-3
B．由x+3＝2-4x，得5x＝5
C．由，得x＝-1
D．由3＝x-2，得-x＝-2-3
【答案】D．
类型二、去括号解一元一次方程
2．解方程：
【思路点拨】方程中含有括号，应先去括号再移项、合并、系数化为1，从而解出方程．
【答案与解析】（1）去括号得：
移项合并得：
解得：
（2）去括号得：
移项合并得：
解得：
【点评】去括号时，要注意括号前面的符号，括号前面是“+”号，不变号；括号前面是“-”，各项均变号．
举一反三：
【变式】解方程：
5(x-5)+2x＝-4．
【答案】解：
去括号得：5x-25+2x＝-4
移项合并得：
7x＝21
解得：
x＝3．
类型三、解含分母的一元一次方程
3．解方程：．
【答案与解析】
解法1：去分母，得(4x+3)+3(4x+3)+2(4x+3)＝6，
去括号，得4x+3+12x+9+8x+6＝6．
移项合并，得24x＝-12，
系数化为1，得．
解法2：将“4x+3”看作整体，直接合并，得6(4x+3)＝6，即4x+3＝1，
移项，得4x＝-2，
系数化为1，得．
【点评】对于解法l：(1)去分母时，“1”不要漏乘分母的最小公倍数“6”；(2)注意适时添括号3(4x+3)防止3×4x+3．对于解法2：先将“4x+3”看作一个整体来解，最后求x．
举一反三：
【变式】
【答案】解：去分母得：
去括号得：
合并同类项，得：
系数化为1，得．
类型四、解较复杂的一元一次方程
4．解方程：
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．
【答案与解析】原方程可以化成：．
去分母，得：30x-7(17-20x)＝21．
去括号、移项、合并同类项，得：170x＝140．
系数化成1，得：．
【点评】解此题的第一步是利用分数基本性质把分母、分子同时扩大相同的倍数，以使分母化整，与去分母方程两边都乘以分母的最小公倍数，要区分开．
5.
解方程：
【答案与解析】
解法1：先去小括号得：
再去中括号得：
移项，合并得：
系数化为1，得：
解法2：两边均乘以2，去中括号得：
去小括号，并移项合并得：，解得：
解法3：原方程可化为：
去中括号，得
移项、合并，得
解得
【点评】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由里到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．
举一反三：
【变式】
【答案】
解：去中括号得：
去小括号，移项合并得：，解得x＝-8
类型五、解含绝对值的方程
6．解方程|x|-2＝0
【答案与解析】
解：原方程可化为：
当x≥0时，得x=2，
当x＜0时，得-x=2，即，x＝-2．
所以原方程的解是x＝2或x＝-2．
【点评】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据的正负分类讨论，注意不要漏解．
类型六、和差倍分问题
1．2014年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?
【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米．
依题意，得5.8-x＝3x+0.6
解得x＝1.3
5.8-x＝5.8-1.3＝4.5（亿立方米）
答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水4.5亿立方米．
【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x，另外一个用含x的式子表示．本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米．
举一反三：
【变式】学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ ）
A．
25台
B．
50台
C．
75台
D．
100台
【答案】C．
解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，
根据题意可得：x=3（100﹣x），
解得：x=75．
类型七、行程问题
1.一般问题
2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?
【答案与解析】
解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．
所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．
答：学校到县城的距离是12.5千米．
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．
【答案】
解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为小时，下坡行驶的时间为小时．依题意，得：，
化简得：
．
显然a≠0，解得．
答：汽车的平均速度为千米/时．
2.相遇问题（相向问题）
3．
A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得：．
解得，x=2.75．
答：甲经过2.75小时与乙相遇．
【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三：
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
【答案】
解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：
．
解得：．
（千米）
答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米
3.追及问题（同向问题）
4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?
【答案与解析】
解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，则根据题意，
得．
得：，
小时=10分钟．
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍．
【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．
4.航行问题（顺逆流问题）
5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
【答案与解析】
解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）．
答：两码头之间的距离为60千米．
解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：．
答：两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．
类型八、工程问题
6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?
【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的，甲管单独注水每小时注水池的，合注7小时注水池的，乙管每小时注水池的．
【答案与解析】
解：设乙管还需x小时才能注满水池．
由题意得方程：．
解此方程得：x＝9．
答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池．
【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”
．
举一反三：
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
【答案】
解：设乙中途离开x天，由题意得：
．
解得：．
答：乙中途离开了3天．
类型九、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
7．某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人．现第一组在植树中遇到困难，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ ）
A．
22+x=2×26
B．
22+x=2（26﹣x）
C．
2（22+x）=26﹣x
D．
22=2（26﹣x）
【思路点拨】设抽调x人，则调后一组有（2+x）人，第二组有（26﹣x）人，根据关键语句：使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．
【答案】B．
【解析】
解：设抽调x人，由题意得：
（22+x）=2（26﹣x），
【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，表示出调后两个组的人数．
举一反三：
【变式】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得，
．
解得，x=12.
答：需要从甲队调出
12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的
.
巩固练习
1、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么，方程的右边是什么？并且判断它是否是一元一次方程？
（1）；（是）
（2）；
（不是）
（3）；（不是）
（4）；（不是）
（5）；
（是）
（6）；（是）
（7）．（是）
2、若方程3x－5＝1与方程有相同的解，则的值等于
2
．
3、已知
-1
．
4、一次买10斤鸡蛋打八折比打九折少花2元，则这10斤鸡蛋的原价是
20
元．
5、某商品标价1375元，打8折（按标价的80%）售出，仍可获利10%，则该商品的造价是
1000
元．
6、某人乘船由A地顺流而下到B地，然后又逆流而上到C地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A、C两地距离为2千米，则A、B两地之间的距离是
12.5千米
．
7、某人从A地出发，先上山，再下山到B地共走0.4千米，再由B地顺原路返回，已知上山速度为千米/时，下山速度为千米/时，那么从A地到B地再回到A地所用时间是
小时．
8、下列方程是一元一次方程的是（
C
）
A．
B．
C．
D．
9、解方程(x-1)=3,下列变形中，较简捷的是 （ B ）
A．方程两边都乘以4，得3（x-1）=12
B．去括号，得x-=3
C．两边同除以，得x-1=4
D．整理，得
10、是关于的一元一次方程，且该方程有惟一解，则（
C
）
A．
B．
C．
D．
11、若互为相反数（），则的根是（
A
）.
A.1
B.－1
C.1或－1
D.任意数
12、甲、乙、丙三人共捐款611元支援山区，甲比乙多25元，比丙少36元，则丙捐款数为 （ C ）
A．200元 B．175元 C．236元 D．218元
13、为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1－500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1－250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）。又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，……，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是 （ C ）
A.48
B.250
C.256
D.500
14、解方程
（1）
（2）．
解：
解：
15、某体育场的环形跑道长400米，甲、乙二人在跑道上练习，甲平均每分钟跑250米，乙平均每分钟跑290米，现在两人同时从同地同向出发，经过多长时间两从才能再次相遇？
解：设经过分钟后相遇，
解得
答：略
16、
如图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？
分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。
解：设追上甲时乙走了x分。依题意，甲在乙前方
3×90=270（米），
故有
72x＝65x+270。
由于正方形边长为90米，共四条边，故由
可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
热身练习
1、下列方程中，一元一次方程一共有(
A
).
①；②；③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、给出下面四个方程及其变形：
①；②；
③；④；
其中变形正确的是(
D
)
A．①③④ B．①②④
C．②③④
D．①②③
3、代数式的值等于1时，的值是（
B
）.
A、3
B、1
C、－3
D、－1
3、下列方程以零为解的是(
D
).
A．0.3x-4＝5.7x+1.
B．
C．＝0.
D．1-｛3x-〔(4x+2)-3
〕｝＝0.
4、已知代数式与的值互为相反数，那么的值等于（
D
）.
A.－
B.－
C.
D.
5、根据下列条件，能列出方程的是（
B
）.
A.一个数的2倍比小3
B.与1的差的
C.甲数的3倍与乙数的的和
D.与的和的
6、一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（
C
）.
A.17道
B.18道
C.19道
D.20道
7、某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（
C
）.
A.不赔不赚
B.赚9元
C.赔18元
D.赚18元
8、哥哥有存款300元，弟弟有存款120元，若从下月起哥哥每月存款100元，要想在5个月后两人的存款数相等，那么弟弟每月应存款（ C ）
A．100元
B．160元
C．136元
D．125元
9、已知是关于的一元一次方程，那么___1____.
10、方程的标准形式为_________.
11、当______时，的值等于－的倒数.
12、方程与方程的解一样，则____-21____.
13、某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打__七__折出售此商品.
14、某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费.
如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为____12____立方米
.
15、解方程：
（1）；
（2）.
解：
解：
16、一艘船从A港到B港顺流行驶，用了5小时；从B港返回A港逆流而行，用了7.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度
解：设静水中的船速度为千米/小时。则可列方程
解得
答：略
自我检测
1、在方程，，，,
，中，是一元一次方程的有（
B
）个．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
2、
方程1-去分母得 （ C ）
A．1-2(2x-4)=-(x-7) B．6-2(2x-4)=-x-7
C．6-2(2x-4)=-(x-7) D．以上答案均不对
3、方程
是一元一次方程，则等于（
A
）．
A．
B．
C．
D．
4、若关于的方程是一元一次方程，则、的取值是（
B
）．
A．
B．
C．
D．
5、x=1是方程（
D
）的解.
A．-
B．
C．2{3[4(5x-1)-8]-2}=8
D．4x+=6x+
6、一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（
D
）.
A.106元
B.105元
C.118元
D.108元
7、一条山路，某人从山下往山顶走3小时还有1千米才到山顶，若从山顶走到山下只用150分钟，已知下山速度是上山速度的1．5倍，求山下到山顶的路程．设上山速度为x千米/分钟，则所列方程为(
D
)
A．x－1=5(1．5x)????????????????????B．3x+1=150(1.5x)
C．3x－1=
(1．5x)????????????????????D．180x+1=150(1.5x)
8、一项工程甲独做10天完成，乙的工作效率是甲的2倍，两人合做了m天未完成，剩下的工作量由乙完成，还需的天数为(
D
)
A．1－（1
+
)m???????????????????B．5－
m
C．
m????????????????????????D．以上都不对
9、若2（3-a）x-4=5是关于x的一元一次方程，则a≠
3.
10、关于x的方程ax=3的解是自然数，则整数a的值为：
.
11、已知方程是一元一次方程，则
-2
；
1
．
12、当m=
时，方程的解为0.
13、已知a≠0.则关于x的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x的解为
.
14、假定每人的工作效率都相同，如果个人天做个玩具熊，那么个人做个玩具熊需要______天．
15、甲、乙二人在长为400米的圆形跑道上跑步，已知甲每秒钟跑9米，乙每秒钟跑7米．
(1)当两人同时同地背向而行时，经过____25______秒钟两人首次相遇；
(2)两人同时同地同向而行时，经过_____200_____秒钟两人首次相遇．
16、解下列方程
（1）
（2）[()-4]=x+2;
解：
解：
17、甲、乙两人骑车分别从A，B两地相向而行，已知甲、乙两人的速度比是2∶3，甲比乙早出发15分钟，再经过1小时45分钟遇见乙，此时甲比乙少走6千米，求甲、乙两人骑车的速度和A、B两地的距离？
解：设甲的速度为，则乙的速度为，则可列方程
解得
所以A、B两地距离为
千米
答：略
