第5讲
方程与方程的解
知识精要
方程的概念
１、用字母x，y,...等表示所要求的未知数的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程。在方程中，所含的未知数又称元。
列方程的方法：
列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。
列方程可以分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数；第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。
方程的解
如果未知数的所取的某个值能使方程的左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
名师精讲
兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远？
解：设从家到学校为x米。
(X+180)/90=(x-180)/60
（X+180）×60/90=x-180
2x+360/3=X-180
2x+360=（x-180）×3
2x+360=3x-540
360+540=3x-2X
900=x
答：他们家离学校900米。
兄妹两人，哥哥90m/分，妹妹60m/分，妹妹先离家走了10分后，跟哥哥同时到达校门，问学
校到家距离?
解：
全长为x米。
(
x-60×10)/60=x/90
x-600=2x/3
3×600=2x-x
2x-x=1800
X=1800
答：学校到家的距离为1800m。
备选例题
例1、甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量？
【分析】设每人可免费携带X千克行李．一方面，三人可免费携带3X
千克行李，三人携带150千克行李超重(150-3X)千克，超重行李共付4元行李费；另一方面，一人携带150千克行李超重
(150-X)千克，超重行李需付行李费8元．根据超重行李每千克应付的钱数相同，可列方程：
所以每人可免费携带的行李重量为30千克．
例２、某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？
解：设男生x人，女生(42-x)人。
3x-2(42-x)=56
3x+2x-84=56
x=28
42-x=14
答：男生28人，女生14人
例３、Ａ、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达A地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米?
解：
设乙走了Ｘ米。
方程为(10000-200)÷4+X=10000
Ｘ=7550
例４、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
解： 先画图如下：
解：设甲的速度是x米/分钟
那么有(x-50)×26=(x+50)×6
解得x=80
所以两地距离为(80+50)×6=780米
例5、甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出方程．
解：设乙数为x，则甲数为2x+17．
10x=3（2x＋17）+45
10x=6x＋51+45
x＝24
2x+17=2×24+17=65．答：甲数是65，乙数是24
巩固练习
一、列方程并求解：
一个数的4倍减去8，差是10，求这个数？
2．一个数的6倍加上4乘0.7的积，和是11.8，求这个数？
答案：1、4x-8=10
x=4.5
2、6
x+4
0.7=11.8
x=1.5
二、计算．
1．当x等于什么数时，4x－6的值等于18？
2．当x等于什么数时，4x－6的值大于18？
答案：１.4x-6=18
x=6
2．4x-6>18
x>6
三、应用题：
１、粮站有大米64吨，要求一次运往某地，大卡车每辆装5吨，小卡车每辆装3吨，现有大卡车8辆，还需要小卡车几辆？
解：大卡车运送的总吨数+小卡车运送的总吨数=粮站大米的总吨数
设：还需要小卡车X辆。
5×8＋3X＝64
X＝8
答：还需要小卡车8辆。
2、学校买一台电脑和一台彩电共用去8862元，已知一台电脑的价格是彩电的2倍，一台电脑和一台彩电各是多少元？
解：买电脑用去的钱数+买彩电用去的钱数=学校一共用去的钱数
设：一台彩电的价格为X元，那么根据题意（一台电脑的价格是彩电的2倍），一台电脑的价格为2X
元。
X＋2X＝8862
X＝2954
那么，电脑的价格就是2X＝2×2954＝5908元。
答：一台电脑5908元，一台彩电2954元。
3、王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长比宽多80米，这个养鸡场的长和宽各是多少米？
解：（栅栏的长+栅栏的宽）×2=栅栏的长度
设：栅栏宽X米，那么根据题意（长比宽多80米），栅栏的长为X＋80米。
[(X＋80)＋X]×2＝400
X＝60
那么，栅栏的长就是X＋80＝60＋80＝140米。
答：这个养鸡场的长是140米，宽是60米。
4、小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？
解：小东走的路程+小英走的路程=两人相距的路程
设：经过X分钟，两人相距285米。那么小东走了50X米，小英走了45X米。
（公式：路程=速度×时间）
50X＋45X＝285
.
X＝3
答：经过3分钟，两人相距285米。
热身练习
一、填空题：
1．使方程左右两边相等的（
等式
），叫做方程的解．
被减数＝差○减数，
除数＝（
）○（
）
答案：+ 被除数/除数
3．求（ 方程的解
）的过程叫做解方程．
4．小明买5支钢笔，每支a
元；买4支铅笔，每支b
元．一共付出（5a+4b
）元．
二、判断题：
1．含有未知数的式子叫做方程．（
）
2．4x+5
、6x=8
都是方程．（
）
3．18x=6
的解是x＝3．（
）
等式不一定是方程，方程一定是等式．（
）
答案：╳╳╳√
三、选择题：
1．下面的式子中，（?
?
）是方程．
Ａ、25x
?
B、15－3＝12?
C、6x＋1＝6?
D、4x＋7＜9
2．方程9.5－x
=9.5的解是（?
?
）．
A、x＝9.5?
B、x＝19?
C、x＝0
3．x
＝3.7是下面方程（??
）的解．
A、6x
＋9＝15?
B、3x
＝4.5?
C、14.8÷x
＝4
答案：1、C
2、C
3、C
四、列方程：
1、少先队员在果园，上午摘了18筐苹果，比下午少摘了100千克
，下午摘了22筐，平均每筐苹果重多少千克？
解：设平均每框重x千克
22x-18x=100
一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了12.6元。钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
解：设圆珠笔单价是x元，则钢笔单价是4x元
5x+4x=12.6
两地相距660千米，甲车每小时行32千米，乙车每小时行34千米，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？
解：设经过x小时相遇
32x+34x=660
某校六年级有两个班，上学期级数学平均成绩是85分。已知六（1）班40人，平均成绩为87.1
分；六（2）班有42人，平均成绩是多少分？
解：设40
87.1+42x=85
（40+42）
5、5个足球比5个排球贵62.5元，已知每个排球52.5元，每个足球多少元
解：设每个足球x元
52．5
5+62.5=5x
自我检测
解方程：
(1)
４+
6x
=
40
(2)４x
+
6x
=
40
答案：
x
=
6
答案：
x
=
4
（３）3.5X＋1.8＝12.3
（４）3.6X÷2＝2.16
答案：X＝3
答案：
X＝1.2
（５）X＋X＝ （６）Χ－＝
答案： X＝ 答案： x=0.7
（７）2Χ＋7Χ＝
（８）Χ＝
答案：X=0.1 答案：
x=0.8
列方程解应用题：
用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？
分析：
法1：设井深是x厘米，则有：2x+60×2=3x-40×3
，井深x=240（厘米），绳长600厘米；
法2：设绳长是y厘米，则有：
2、小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100
.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
分析：设动物园有x只猩猩，依题意有：（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+
x×x+1=100，亦即
x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．
3、如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底是下底长的。那么余下的阴影部分的面积是多少？
分析：设上底为，那么下底为，则上下两个三角形的高分别为，
，梯形的高是，其面积为，阴影部分面积为。
三、列方程不解方程
1、运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能运完？
解：设x次能运完
2.5x+4
3=29.5
2、某车间计划四月份生产零件5480个。已生产了9天，再生产908个就能完成生产计划，这9天中平均每天生产多少个？
解：设9天中平均每天生产x个
908+9
x=5480
3、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？
解：设乙每小时行x千米
45
3+3x=272-17第5讲
方程与方程的解
知识精要
方程的概念
１、用字母x，y,...等表示所要求的未知数的数量，这些字母称为未知数。含有未知数的等式叫做方程。在方程中，所含的未知数又称元。
列方程的方法：
列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。
列方程可以分两步进行：第一步先根据题设条件设未知数；第二步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。
方程的解
如果未知数的所取的某个值能使方程的左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
名师精讲
兄妹两人同时离家去上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校多远？
从家到学校有1820m，哥哥20分钟可到，妹妹比哥哥晚了5分钟到，问妹妹的速度。
兄妹两人，哥哥90m/分，妹妹60m/分，妹妹先离家走了10分后，跟哥哥同时到达校门，问学校到家距离。
备选例题
例1、甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克．如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元．求每人可免费携带的行李重量？
例２、某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生多种56棵，男、女生各有多少人？
例３、Ａ、B两地相距10000米，甲骑自行车，乙步行，同时从A地去B地。甲的速度是乙的4倍，途中甲的自行车发生故障，修车耽误了一段时间，这样乙到达占地时，甲离B地还有200米。甲修车的时间内，乙走了多少米?
例４、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离。
例5、甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．
巩固练习
一、列方程并求解：
一个数的4倍减去8，差是10，求这个数？
2．一个数的6倍加上4乘0.7的积，和是11.8，求这个数？
二、计算．
1．当x等于什么数时，4x－6的值等于18？
2．当x等于什么数时，4x－6的值大于18？
三、应用题：
１、粮站有大米64吨，要求一次运往某地，大卡车每辆装5吨，小卡车每辆装3吨，现有大卡车8辆，还需要小卡车几辆？
2、学校买一台电脑和一台彩电共用去8862元，已知一台电脑的价格是彩电的2倍，一台电脑和一台彩电各是多少元？
3、王大爷准备用400米长的栅栏围一个长方形养鸡场，如果长比宽多80米，这个养鸡场的长和宽各是多少米？
4、小东、小英同时从某地相背而行，小东每分钟走50米，小英每分钟走45米，经过多少分钟两人相距285米？
热身练习
一、填空题：
1．使方程左右两边相等的（
），叫做方程的解．
被减数＝差○减数，
除数＝（
）○（
）
3．求（
）的过程叫做解方程．
4．小明买5支钢笔，每支a
元；买4支铅笔，每支b
元．一共付出（
）元．
二、判断题：
1．含有未知数的式子叫做方程．（ ）
2．4x+5
、6x=8
都是方程．（ ）
3．18x=6
的解是x＝3．（ ）
等式不一定是方程，方程一定是等式．（ ）
三、选择题：
1．下面的式子中，（??
）是方程．
Ａ、25x
?
B、15－3＝12?
C、6x＋1＝6?
D、4x＋7＜9
2．方程9.5－x
=9.5的解是（??
）．
A、x＝9.5?
B、x＝19?
C、x＝0
3．x
＝3.7是下面方程（??
）的解．
A、6x
＋9＝15?
B、3x
＝4.5?
C、14.8÷x
＝4
四、列方程：
1、少先队员在果园，上午摘了18筐苹果，比下午少摘了100千克
，下午摘了22筐，平均每筐苹果重多少千克？
一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了12.6元。钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？
两地相距660千米，甲车每小时行32千米，乙车每小时行34千米，两车分别从两地同时出发相向而行，经过几小时相遇？
某校六年级有两个班，上学期级数学平均成绩是85分。已知六（1）班40人，平均成绩为87.1
分；六（2）班有42人，平均成绩是多少分？
5、5个足球比5个排球贵62.5元，已知每个排球52.5元，每个足球多少元
自我检测
解方程：
(1)
４+
6x
=
40
(2)４x
+
6x
=
40
（３）3.5X＋1.8＝12.3
（４）3.6X÷2＝2.16
（５）X＋X＝ （６）Χ－＝
（７）2Χ＋7Χ＝
（８）Χ＝
二、列方程解应用题：
1、用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？
2、小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100
.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
3、如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10和12，已知梯形的上底是下底长的。那么余下的阴影部分的面积是多少？
三、列方程不解方程
1、运送29.5吨煤，先用一辆载重4吨的汽车运3次，剩下的用一辆载重为2.5吨的货车运。还要运几次才能运完？
2、某车间计划四月份生产零件5480个。已生产了9天，再生产908个就能完成生产计划，这9天中平均每天生产多少个？
3、甲乙两车从相距272千米的两地同时相向而行，3小时后两车还相隔17千米。甲每小时行45千米，乙每小时行多少千米？
