第7讲
不等式及其性质与解法
知识精要
1、不等式的基本性质一：
不等式的两边都 加上 或（减去）同一个 数或式子 ，不等号的方向不变。
可用符号表示为：
若＞，则
>
2、不等式的基本性质二：
不等式的两边都 乘以 或（ 除以 ）同一个 正数
，不等号的方向
不变
。
可用符号表示为：
若＞，＞0，则
>
，或
>
3、不等式的基本性质三：不等式的两边都 乘以 或（ 除以 ）同一个 负数
，不等号的方向
改变
。可用符号表示为：
若＞，＜0，则
<
，或
<
不等式的其他性质
性质1:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(不等式的加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac
(不等式的乘法法则）
性质3
:如果a>b,那么a+c>b+c
(不等式的可加性).
性质4:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(不等式的可乘性)
性质5:
如果a>b,b>c,那么a>c
(不等式的传递性).
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0(不等式的乘方法则)
性质7:如果a≥b
c>b
那么c大于等于a
不等式的解集
（1）不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集。
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做不等式的解集。
（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向。大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆。
注：方程的解是的个数是有限的，而不等式的解是无限，因此用解集来表示不等式的解得全体。
一元一次不等式
一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.
一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成或的形式（其中）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
【典型例题】
类型一、不等式
1.用适当的符号语言表达下列关系.。
（1）a与5的和是正数.
（2）b与-5的差不是正数.
（3）x的2倍大于x.
（4）2x与1的和小于零.
（5）a的2倍与4的差不少于5.
【答案与解析】
解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0；
（3）2x>x；
（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5.
【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于……
举一反三：
【变式】用适当的符号语言表达下列关系：
（1）y的与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9.
【答案】（1）；
（2）；（3）。
2.用适当的符号填空：
（1）如果a7a__7b；-2a__-2b.
（2）如果a【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3．
【答案】（1）＜；
＜；＞．
（2）＜；＜；＜．
【解析】
（1）在不等式a在不等式a在不等式a（2）在不等式a在a在a【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
（1）7a+6__7a-6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则a
b．
【答案】（1）>；（2）＜．
【变式2】判断
（1）如果，那么；
（2）如果，那么.
【答案】（1）×；（2）√．
类型二、一元一次不等式的概念
1．下列不等式是一元一次不等式的有哪些?
(1)3x+5＝0
(2)2x+3＞5
(3)
(4)≥2
(5)2x+y≤8
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1)是等式；(4)不等式的左边不是整式；(5)含有两个未知数．
【答案与解析】
解：(2)、(3)是一元一次不等式．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
类型三、解一元一次不等式
2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．
【答案与解析】
解：去括号，得：
移项、合并同类项，得：
系数化1得：
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．
举一反三：
【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为
(
)
【答案】C
3.解不等式：,并把它的解集在数轴上表示出来．
【思路点拨】按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．．
【答案与解析】
解：
去分母，得2（2x-1）≤6-3（2x+1）
去括号，得4x-2≤6-6x-3
移项， 得4x+6x≤6-3+2
合并同类项，得10x≤5
系数化为1，得x≤
这个不等式的解集在数轴上表示如图：
【总结升华】去分母时，不要漏乘没有分母的项．
举一反三：
【变式】若,,问x取何值时，．
【答案】
解：∵,,
若，
则有
即
∴当时，．
4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________．
【思路点拨】首先把a作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤-1即可得到关于a的方程，解方程即可求解．
【答案】－１
【解析】由已知得：，由，得．
【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．
举一反三：
【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________．
【答案】
【变式2】已知关于x的方程的解是非负数，m是正整数，求m的值．
【答案】
解：由，得x＝，
因为x为非负数，所以≥0，即m≤2，
又m是正整数，
所以m的值为1或2．
巩固练习
1、如果，那么
[
C
]．
A、
B、
C、
D、
2、据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是（
D
）
A、t＜17
B、t＞25
C、t=21
D、17≤t≤25
3、如果关于x的不等式
(a+1)
x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是（
D
）
A、
a>0
B、a<0
C、
a>-1
D、
a<-1
4、如果a＜0，ab＜0，则︱b－a＋4︱－︱a－b－6︱化简的结果为 （ C ）
A、2
B、－10
C、－2
D、2b－2a－2
5、某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是
[
B
]．
A．
B．
C．
D．
6、关于x的方程的解是负数，则k的值为(
B
)
A、k>
B、k<
C、k=
D、以上解答都不是
7、若︱2a＋1︱＞2a＋1，则a的取值范围是_________。
8、用“<”或“>”填空：
（1）若x＞y，则－；
（2）若x＋2＞y＋2，则－x___<___－y；
（3）若a＞b，则1－a
____<____
1－b；（4）已知x－5＜y－5，则x
__<_
y.
9、若a＜－2，则关于x的不等式2x＞9－ax的解集是________。
10、如果不等式的解集为x
>5，则m值为____2_______。
11、关于的不等式的解是任意有理数，那么m的值是__________。
12、能够使不等式成立的的取值范围是_________。
13、
14、求满足2x＋3≥3（x＋2）与的整数.
解：整数解
一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2．求x的取值范围
参考答案：
16、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
参考答案：商店做多降价60元出售商品。
热身练习
1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（
×
）
如果a＞b，那么3－2a＞3－2b.（
×
）
如果a＜b，那么a2＜b2.（
×
）
如果a为有理数，则a＞－a.（
×
）
如果a＞b，那么ac2＞bc2.（
×
）
如果－x＞８，那么x＞－8.（
×
）
若a＜b，则a＋c＜b＋c.（
√
）
2、若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为（
A
）。
A、a＞０
B、ａ＜０
C、ａ≥0
D、a≤0
3、有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b恒成立，则a得取值范围是（
C
）。
A、小于或等于3的有理数
B、小于3的有理数
C、小于或等于－3的有理数
D、小于－3的有理数
4、若，则下列各式中一定成立的是（
B
）
A、
B、
C、
D、
5、如果t>0,那么a+t与a的大小关系是
(
A
).
A、a+t>a
B、a+tC、a+t≥a
D、不能确定
6、同时满足不等式和的整数是
（
B
）．
A、1，2，3
B、0，1，2，3
C、1，2，3，4
D、0，1，2，3，4
7、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（
B
）
A．3组
B．4组
C．5组
D．6组
8、若a＜0，则－__<__－
11．设a＜b，用“＞”或“＜”填空：
a－1__<__b－1，
a＋3__<__b＋3，
－2a__>__－2b，
__<__
12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
a－b__<__0，
a＋b__<__0，ab__>__0，a2__>__b2，__>__，︱a︱__>__︱b︱
13．若a＜b＜0，则（b－a）_>___0
14、不等式2(x
+
1)
-
的解集为_____________。
15、同时满足不等式7x
+
4≥5x-8和的整解为_-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3___。
16、（1）≥
（2）
解：
解：
17、某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件.如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，可获得大于12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x＝14（元）是否使不等式成立？
解：由题意可知
成本为，则根据利润公式可列不等式，
当时不能使等式成立。
自我测试
1．下列关系不正确的是（
D
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2．已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（
C
）
A．
B．
C．
D．
3．下列判断不正确的是（
D
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
4．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（
C
）
A、a≥0
B、a≤0
C、a＞0
D、a＜0
5、关于的方程的解在2与10之间，则的取值范围是
（
C
）
A、
B、
C、
D、或
6、不等式≥的正整数解是
1,2,3
。
7、当时，用“＞”或“＜”填空：①，②。
8、若∣m－3∣＝3－m，则m的取值范围是__________。
9、若6－5a＞6－6b，则a与b的大小关系是____________。
10、不等式的解集为
且
。
11、已知a,b和c满足a≤2,b≤2,c≤2,且a
+
b
+
c
=
6，则abc=_____8_________。
12．已知a,b是实数，若不等式(2a
-
b)x
+
3a
–
4b
<0的解是，则不等式(a
–
4b)x
+
2a
–
3b
>0的解是___当，；当，_______。
13、
解：
解：
14、解关于x的不等式
解：
15、解关于x的不等式。
解：2-a>0，即a<2时，
2-a<0，即a>2时，
2-a=0，即a=2时，不等式即
0x<3
，不等式有任意解
16、若不等式是同解不等式，求m的值。
解：
另解：因为方程3x-5=0的解是x=
所以方程m(x-2)=x+1的解是x=
将x=代入，解得m=-8第7讲
不等式及其性质与解法
知识精要
1、不等式的基本性质一：
不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向不变。
可用符号表示为：
若＞，则
2、不等式的基本性质二：
不等式的两边都 或（ ）同一个
，不等号的方向
。
可用符号表示为：
若＞，＞0，则
，或
3、不等式的基本性质三：不等式的两边都 或（ ）同一个
，不等号的方向
。可用符号表示为：
若＞，＜0，则
，或
不等式的其他性质
性质1:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(不等式的加法法则)
性质2:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac(不等式的乘法法则）
性质3
:如果a>b,那么a+c>b+c
(不等式的可加性).
性质4:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(不等式的可乘性)
性质5:
如果a>b,b>c,那么a>c
(不等式的传递性).
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.当0(不等式的乘方法则)
性质7:如果a≥b
c>b
那么c大于等于a
不等式的解集
（1）不等式的解：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解集：不等式的解的全体叫做不等式的解集。
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做不等式的解集。
（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向。大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆。
注：方程的解是的个数是有限的，而不等式的解是无限，因此用解集来表示不等式的解得全体。
一元一次不等式
一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.
一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成或的形式（其中）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
【典型例题】
类型一、不等式
1.用适当的符号语言表达下列关系.。
（1）a与5的和是正数.
（2）b与-5的差不是正数.
（3）x的2倍大于x.
（4）2x与1的和小于零.
（5）a的2倍与4的差不少于5.
举一反三：
【变式】用适当的符号语言表达下列关系：
（1）y的与3的差是负数.（2）x的与3的差大于2.（3）b的与c的和不大于9.
2.用适当的符号填空：
（1）如果a7a__7b；-2a__-2b.
（2）如果a举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
（1）7a+6__7a-6；（2）若ac＞bc，且c＜0，则a
b．
【变式2】判断
（1）如果，那么；
（2）如果，那么.
类型二、一元一次不等式的概念
1．下列不等式是一元一次不等式的有哪些?
(1)3x+5＝0
(2)2x+3＞5
(3)
(4)≥2
(5)2x+y≤8
类型三、解一元一次不等式
2.解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
举一反三：
【变式】不等式2(x+1)＜3x+1的解集在数轴上表示出来应为
(
)
3.解不等式：,并把它的解集在数轴上表示出来．
举一反三：
【变式】若,,问x取何值时，．
4.关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1，则a的值是_________．
举一反三：
【变式1】如果关于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，则a的取值范围是________．
【变式2】已知关于x的方程的解是非负数，m是正整数，求m的值．
巩固练习
1、如果，那么
[
]．
A、
B、
C、
D、
2、据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是
A、t＜17
B、t＞25
C、t=21
D、17≤t≤25
3、如果关于x的不等式
(a+1)
x>a+1的解集为x<1，那么a的取值范围是
A、
a>0
B、a<0
C、
a>-1
D、
a<-1
4、如果a＜0，ab＜0，则︱b－a＋4︱－︱a－b－6︱化简的结果为 （ ）
A、2
B、－10
C、－2
D、2b－2a－2
5、某数的2倍加上5不大于这个数的3倍减去4，那么该数的范围是
[
]．
A．
B．
C．
D．
6、关于x的方程的解是负数，则k的值为(
)
A、k>
B、k<
C、k=
D、以上解答都不是
7、若︱2a＋1︱＞2a＋1，则a的取值范围是_________。
8、用“<”或“>”填空：
（1）若x＞y，则－；
（2）若x＋2＞y＋2，则－x______－y；
（3）若a＞b，则1－a
________
1－b；（4）已知x－5＜y－5，则x
___
y.
9、若a＜－2，则关于x的不等式2x＞9－ax的解集是________。
10、如果不等式的解集为x
>5，则m值为___________。
11、关于的不等式的解是任何有理数，那么m的值是__________。
12、能够使不等式成立的的取值范围是_________。
13、
14、求满足2x＋3≥3（x＋2）与的整数.
一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2．求x的取值范围
16、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
热身练习
1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（
）
如果a＞b，那么3－2a＞3－2b.（
）
如果a＜b，那么a2＜b2.（
）
如果a为有理数，则a＞－a.（
）
如果a＞b，那么ac2＞bc2.（
）
如果－x＞８，那么x＞－8.（
）
若a＜b，则a＋c＜b＋c.（
）
2、若x＞ｙ，则ax＞ay，那么a一定为（
）。
A、a＞０
B、ａ＜０
C、ａ≥0
D、a≤0
3、有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b恒成立，则a得取值范围是（
）。
A、小于或等于3的有理数
B、小于3的有理数
C、小于或等于－3的有理数
D、小于－3的有理数
4、若，则下列各式中一定成立的是（
）
A、
B、
C、
D、
5、如果t>0,那么a+t与a的大小关系是
(
).
A、a+t>a
B、a+tC、a+t≥a
D、不能确定
6、同时满足不等式和的整数是
（
）．
A、1，2，3
B、0，1，2，3
C、1，2，3，4
D、0，1，2，3，4
7、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（
）
A．3组
B．4组
C．5组
D．6组
8、若a＜0，则－____－
11．设a＜b，用“＞”或“＜”填空：
a－1____b－1，
a＋3____b＋3，
－2a____－2b，
____
12．实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
a－b____0，
a＋b____0，ab____0，a2____b2，____，︱a︱____︱b︱
13．若a＜b＜0，则（b－a）____0
14、不等式2(x
+
1)
-
的解集为_____________。
15、同时满足不等式7x
+
4≥5x-8和的整解为______________。
16、（1）≥
（2）
17、某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件.如果商店销售这些商品时，每件定价为x元，可获得大于12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x＝14（元）是否使不等式成立？
自我测试
1．下列关系不正确的是（
）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
2．已知且，为任意有理数，下列式子中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列判断不正确的是（
）
A．若，，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
4．若不等式ax＞b的解集是x＞，则a的范围是（
）
A、a≥0
B、a≤0
C、a＞0
D、a＜0
5、关于的方程的解在2与10之间，则的取值范围是
（
）
A、
B、
C、
D、或
6、不等式≥的正整数解是
。
7、当时，用“＞”或“＜”填空：①，②。
8、若∣m－3∣＝3－m，则m的取值范围是__________。
9、若6－5a＞6－6b，则a与b的大小关系是____________。
10、不等式的解集为
。
11、已知a,b和c满足a≤2,b≤2,c≤2,且a
+
b
+
c
=
6，则abc=______________。
12．已知a,b是实数，若不等式(2a
-
b)x
+
3a
–
4b
<0的解是，则不等式(a
–
4b)x
+
2a
–
3b
>0的解是__________。
13、
14、解关于x的不等式
解关于x的不等式。
16、若不等式是同解不等式，求m的值。