4.1.1 圆的标准方程

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§4.1.1 圆的标准方程
问题引入
我们知道,在平面直角坐标系中，两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线.
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢
思考
确定圆最基本的要素是圆心和半径。
已知不共线的三点A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8),试求线段AB及线段BC的垂直平分线所在的直线方程.
情景设置
1、在平面几何中，圆是怎样定义的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
2、如果给出圆心坐标A(a,b)和圆的半径r ，怎样建立圆的方程？
求圆心是A(a,b)，半径是r 的圆的方程
x
O
y
M
A
r
2、方程中含有三个待定系数a、b、r。
1、方程明确给出了圆心坐标(a,b)和半径r。
说明：
这是圆心为A(a,b)，半径为r 的圆的标准方程。
特别地，若圆心在原点则圆的方程为x2 + y2=r2
解：设M (x , y)是圆上任意一点，
由两点间的距离公式得
由题意可得
(x-3)2+(y-4)2=5
x2+y2 =9
练 习
2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2 + y2 = 6
(2) (x+1)2+(y-2)2= 9
(3) (x+a)2+y2=a2
(-1,2)
3
(-a,0)
|a|
1、写出下列各圆的方程：
(1)圆心在原点,半径是3
(2)圆心在点C( 3 , 4 ), 半径是
(1,0)
例1 写出圆心为A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这个圆上．
x
O
y
M2
A
M1
x
O
y
M2
A
M1
解：圆心是A(2,-3)，半径长等于5的圆的标准方程是
经验证，点M1的坐标适合圆的方程，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点M1在这个圆上，点M2不在这个圆上。
知识探究：点与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？
点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、外的条件是什么？
点M0在圆上
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
思考:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2}表示的图形是什么？
A
r
x
o
y
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程是
因为 A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)都在圆上，
则有：
解方程组，得
所以，△ABC外接圆的方程是
思考：本题还有其他解法吗？
已知不共线的三点A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8),试求线段AB及线段BC的垂直平分线所在的直线方程.
例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2) 圆心C在直线l: x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
y
x
O
C
A
B
l
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
解：因为A(1,1)和B(2,-2)，所以线段AB的中点的坐标为 ，直线AB的斜率
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是：
即：
圆心C的坐标是方程组
的解
解得：
即 C(-3,-2)
圆心为C的圆的半径长：
所以，圆心为C的圆的标准方程是：
(1) 圆心为O(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2
当圆心在原点时 a=b=0 ，圆的标准方程为：
x 2 + y 2 = r 2
小 结
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；
(3)求圆的标准方程的方法：
①待定系数法 ②直接求出圆心及半径.