7.1.2 复数的几何意义（教案）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
一、教学目标
1. 理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法.
3.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.理解复数的几何意义，会在复平面内找出复数所对应的点和向量；
2. 根据复数的代数形式描出其对应的点及求复数的模和有关模的运算.
三、教学过程：
1、创设情境：
问题1：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？
教师抛出问题激发学生探究兴趣,让学生带着以下问题阅读课本
(1).复平面是如何定义的，复数的模如何求出？
(2).复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？
小组合作探究完成
2、建构数学
（1）．复平面
（2）．复数的几何意义
①复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Za，b .
②复数z＝a＋bia，b∈R 平面向量 .
问题2.实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数吗？
生答：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
注意：原点对应的有序实数对为(0,0)，所对应的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
问题3.复数与向量是一一对应的，向量的模可以刻画向量的大小，那么复数是用什么来刻画的？
（3）复数模的定义：
向量的 模 r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模,记为|z|或|a＋bi|，公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
3、 数学应用
例1.在复平面内，复数 （其中）.
对应的点在第四象限，求实数的取值范围。
解:因为对应的点在第四象限，所以
解不等式组得，，即的取值范围是.
变式训练1.已知复数（）．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围为______．
解:因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，解之得，得．所以实数的取值范围为（2，3）．故答案为：（2，3）
变式训练2.设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.
(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值|；
(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．
解:(1)log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.
所以m＝4或m＝－1；
因为所以m＝4，此时z＝i，＝(0,1)，
(2),所以m∈.
例2.已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是____________-
解:　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得
向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
所以＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，所以向量对应的复数是5－5i.
变式训练1.如果是的共轭复数，则对应的向量的模是___________
解:由题意，，
∴对应的向量的坐标为，其模为.
例3. 设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）；（2）．
解:（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．
（2）不等式可化为不等式,则不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，
拓展训练.若(是虚数单位),求的最小值
【答案】
【解析】由复数的几何意义可知：表示的点在单位圆上，
而|z?2?2i|表示该单位圆上的点到复数表示的点的距离，
由图象可知：的最小值应为点到的距离，
而 ，圆的半径为1，
故的最小值为，
四、小结：
1.复平面
2.复数的几何意义
3.复数的模
五、作业：习题7.1