基础知识检测1（9.1向量概念、9.2向量运算）-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

高一下学期数学基础知识检测（1）、
考查知识点：苏教版必修第二册第一章§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》
一．选择题（共8小题）
1．在四边形中，已知，，则四边形一定是　　
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．设向量，不共线，向量与共线，则实数　　
A． B． C．1 D．2
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③为实数），则必为零
④，为实数，若，则与共线
其中正确的命题个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则　　
A． B．1 C． D．2
5．在正方形中，，分别是，的中点，若，则　　
A． B．4 C． D．2
6．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面内一点，且，则　　
A．点在线段上
B．点不在直线上
C．点在线段的延长线上
D．点在线段的反向延长线上
7．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是　　
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
8．下列说法中正确的是　　
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．对于任意向量，，必有
二．多选题（共4小题）
9．对于菱形，给出下列各式，其中结论正确的为　　
A． B． C． D．
10．下列有关向量命题，不正确的是　　
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，，则 D．若，则且
11．化简以下各式：
①；　②；③； ④．
结果为零向量的是　　
A．① B．② C．③ D．④
12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（　　）
A．||＝1 B．||＝1 C．∥ D．（4+）⊥
三．填空题（共4小题）
13．已知向量、不共线，，，若，则实数　　．
14．已知，，，则点、、、中一定共线的三点是　　．
15．若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则　　．
16．设，为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于　　．
四．解答题（共2小题）
17．如图所示，在中，，，，．
（1）试用向量来表示；
（2）交于点，求的值．
18．一条宽为的河，水流速度为，在河两岸有两个码头、，已知，船在水中最大航速为，问该船从码头到码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸码头？用时多少？
高一下学期数学基础知识检测（1）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》
总分100分 时间60分钟
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在四边形中，已知，，则四边形一定是　　
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】可根据得出是平行四边形，再根据，即可得出为菱形．
【解答】解：，
，且，
四边形是平行四边形，又，
四边形是菱形．
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形和菱形的定义，相等向量的定义，考查了推理能力，属于基础题．
2．设向量，不共线，向量与共线，则实数　　
A． B． C．1 D．2
【分析】根据平面向量的线性运算和共线定理，利用向量相等列方程求出的值．
【解答】解：向量，不共线，向量与共线，
则，
，
，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算和共线定理应用问题，是基础题．
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
③为实数），则必为零
④，为实数，若，则与共线
其中正确的命题个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可．
【解答】解：对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，①错误；
对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，
但它们的模能比较大小，②正确；
对于③，时为实数），或，③错误；
对于④，若时，，此时与不一定共线，④错误；
综上，其中正确的命题为②，共1个．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题．
4．若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则　　
A． B．1 C． D．2
【分析】用向量、表示，根据、、三点共线得出，利用共线定理列方程组求出、的值．
【解答】解：由题意知，，
因为，，三点共线，
所以，
即，
所以，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5．在正方形中，，分别是，的中点，若，则　　
A． B．4 C． D．2
【分析】可以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，然后即可求出向量的坐标，进而可求出的坐标，从而可求出的值．
【解答】解：如图，以点为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则：
，，，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
6．已知点，，不在同一条直线上，点为该平面内一点，且，则　　
A．点在线段上
B．点不在直线上
C．点在线段的延长线上
D．点在线段的反向延长线上
【分析】根据题意利用向量减法的三角形法则得到，再根据向量的共线定理即可求得答案．
【解答】解：由，得，即，
所以与共线，且有公共点，
所以、、三点共线，且在线段的反向延长线上．
故选：．
【点评】本题考查了共线向量定理以及向量加减法的三角形法则应用问题，是基础题．
7．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是　　
A．与的方向相反 B．与的方向相同
C． D．
【分析】根据向量的几何意义判断即可．
【解答】解：当时，与方向相同，故错误；
，，
与方向相同，故正确；
当时，，故错误；
是数，是向量，不能比较大小，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了向量的基本知识，考查向量的模和向量有关的基本概念，是一道基础题．
8．下列说法中正确的是　　
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．对于任意向量，，必有
【分析】通过向量的模以及共线向量的关系，判断选项的正误即可．
【解答】解：平行向量是共线向量，故不正确；
单位向量的模相等，方向不一定相同，故不正确；
若，满足且与同向，则显然不正确，向量不能比较大小，故错误；
向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量，，必有，故正确；
故选：．
【点评】本题考查向量的模，向量的基本知识的应用，命题的真假的判断，是基础题．
二．多选题（共4小题）
9．对于菱形，给出下列各式，其中结论正确的为　　
A． B． C． D．
【分析】由菱形图象可知这两个向量不相等，判断错误；但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到正确；
把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，判断正确，根据菱形的定义判断错误即可．
【解答】解：如图示：
由菱形图象可知错误；
这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到正确；
把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到正确；
由菱形的定义知：，故正确，
故选：．
【点评】大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，本题考查向量的概念和模的性质，以及向量的加法和减法，属于基础题．
10．下列有关向量命题，不正确的是　　
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，，则 D．若，则且
【分析】根据向量的概念与向量的模的概念逐一分析各个选项即可得解．
【解答】解：向量由两个要素方向和长度描述，错误；
若，且与垂直，结果成立，当不一定等于，错误；
若，，由向量的定义可得，正确；
相等向量模相等，方向相同，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的概念与向量的模的概念的应用，属于基础题．
11．化简以下各式：
①；　②；③； ④．
结果为零向量的是　　
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据向量加法和减法的运算法则进行化简即可．
【解答】解：①；
②；
③；
④，
故零向量的是①②④，
故选：．
【点评】本题主要考查向量的概念和运算，结合向量加法，减法的运算法则是解决本题的关键．比较基础．
12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（　　）
A．||＝1 B．||＝1 C．∥ D．（4+）⊥
【分析】直接利用向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由题意，＝﹣＝（2+b）﹣2＝，则||＝2，故A错误；
|2|＝2||＝2，所以||＝1，故B正确；
因为＝2，＝，故，不平行，故C错误；
设B，C中点为D，则+＝2，且⊥，
而2＝2+（2+）＝4+，
所以（4+）⊥，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量的线性运算，向量垂直的充要条件，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量、不共线，，，若，则实数　　．
【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出的值．
【解答】解：向量、不共线，，，
若，则，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14．已知，，，则点、、、中一定共线的三点是　、、　．
【分析】先求出向量，观察其与向量是否共线，再求出向量观察其与向量是否共线，若两向量过同一点且共线则两表示两向量的有向线段的端点是共线的．
【解答】解：，找不到一个实数使得成立，故，，三点不共线．
，与共线，三点、、共线
故应填、、．
【点评】本题考查共线的条件，证明三点共线是向量共线的一个重要应用，其规律是若表示两向量的有向线段的过同上点且两向量共线，则两有向线段的端点共线．
15．若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则　1　．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：由题意知，，
因为，，三点共线，
故，
即，
解得，．
故答案为：1．
【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．设，为两个不共线的向量，若与共线，则实数等于　　．
【分析】根据与共线可设，从而可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出的值．
【解答】解：与共线，，
，且与不共线，
，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了共线向量基本定理和平面向量基本定理，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
17．如图所示，在中，，，，．
（1）试用向量来表示；
（2）交于点，求的值．
【分析】（1）根据条件便可得到，，再用向量来表示即可；
（2）由，，三点共线，则存在实数使，同理可得，解出，，这样便能得出的值．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
（2）因为，，三点共线，所以，
设，则．
因为，，三点共线，所以，
存在实数使，，
由于向量不共线，则，解得，
所以，
所以．
【点评】本题主要考查共线向量基本定理，向量加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，数乘的几何意义．
18．一条宽为的河，水流速度为，在河两岸有两个码头、，已知，船在水中最大航速为，问该船从码头到码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸码头？用时多少？
【分析】由题意作出图象，在图形中由直角三角形的知识和勾股定理可得答案．
【解答】解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，
以和为邻边作平行四边形，且当与重合时能最快到达彼岸．
根据题意，在和平行四边形中，（1分）
，，．
，（3分）
，（4分），用时．（5分）
答：船实际航行速度大小为，与水流成角时能最快到达码头，用时半小时．（6分）
【点评】本题考查向量的基本运算，涉及勾股定理的应用，属基础题．