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人教版八年级下册数学单元卷：第十八章
平行四边形
满分150分，时间：120分钟
一、选择题。（本题12个小题，每个4分，共计48分。）
1.平行四边形的一个内角为40°，它的相邻的内角等于（
）
A.40°
B.140°
C.40°或140°
D.50°
答案：B
2.菱形的两条对角线长分别为9与4，则此菱形的面积为（
）
A.12
B.18
C.20
D.36
答案：B
3.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（
）
A.两组对边分别平行
B.两组对角分别相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
答案：C
4．下列命题中，真命题是
（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、四个角相等的菱形是正方形，故正确，是真命题；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，
故选C．
5.如图，为测量池塘岸边A，B两点间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14m，则A，B两点之间的距离是（
）
A.18m
B.24m
C.28m
D.30m
答案：C
6．如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，OE=3cm，
∴AB=2OC=6cm．
故选B．
7.如图，□ABCD中，∠C＝110°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（
）
A.11°
B.35°
C.55°
D.70°
答案：B
8.以三角形三边中点和三角形三个顶点能画出平行四边形的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：如图，
∵点E，F，G分别是△ABC的边AB，边BC，边CA的中点，
∴AE＝BE＝GF＝AB，
AG＝CG＝EF＝AC，
BF＝CF＝EG＝BC，
GF∥AB，EG∥BC，EF∥AC，
∴四边形AEFG，BEGF，CFEG都是平行四边形.
9.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（
）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
答案：B
10.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，下列哪个条件不能判定四边形DEBF是平行四边形（
）
A.OE＝OF
B.DE＝BF
C.∠ADE＝∠CBF
D.∠ABE＝∠CDF
答案：B
解析：A.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，
又∵OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形.
B.DE＝BF，OD＝OB，缺少夹角相等，不能利用全等判断出OE＝OF，∴四边形DEBF不一定是平行四边形.
C.∵∠ADE＝∠CBF，∠BCF＝∠ADE，AD＝BC，
∴△BCF≌△DAE，∴CF＝AE，∴OE＝OF.
∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形.
D.∵∠ABE＝∠CDF，∠BAE＝∠DCF，AB＝DC，
∴△ABE≌△CDF，∴CF＝AE，∴OE＝OF，
∵OD＝OB，∴四边形DEBF是平行四边形.
11.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（
）
A.（－8，0）
B.（0，8）
C.（0，8）
D.（0，16）
答案：D
解析：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘，
∵从A到经过了3次变化，
∵45°×3＝135°，1×＝2.
∴点所在的正方形的边长为2，点位置在第四象限.∴点的坐标是（2，－2）.
可得出：点坐标为（1，1），
点坐标为（0，2），点坐标为（2，－2），
点坐标为（0，－4），点坐标为（－4，－4），
（－8，0），A7（－8，8），（0，16）.
12．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有
（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AD
∵CE=DF
∴DE=AF
∴△ADE≌△BAF
∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA
∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，
S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，
∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），
∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°
∴∠AFB+∠EAF=90°
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．
假设AO=OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，
∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
故错误的只有一个．
故选：A．
二、填空题。（本题8个小题，每个4分，共计32分。）
13.菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为______.
答案：8
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则BD的长为_______.
答案：6
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OD.
∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，
∴OD＝AD＝3，∴BD＝2OD＝6.
15．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为
_____.
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
【解答】解：根据菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形可知：①，③正确．
16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，－2），B（3，1），则C点坐标为________.
答案：（2,3）
解析：连接OB，AC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP.
∵O（0，0），B（3，1），
∴P点的坐标为（1.5，0.5）.
∵A（1，－2），∴C的坐标为（2，3）.
17．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为 ．
【解答】解：根据翻折变换的特点可知：DE=GE
∵∠CFE=60°，
∴∠GAE=30°，
∴AE=2GE=2DE=2，
∴AD=3，
∴BC=3．
故答案为：3．
18.如图，已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为________.
答案：cm
解析：如图，连接EB.
∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB.
设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4－x）cm.
在Rt△AEB中，，
即，解得x＝.
19．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E是DC延长线上一点，F是AB延长线上一点，且四边形ACEF是菱形，则∠CAE= ．
【解答】解：∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴∠CAE=22.5°．
故答案为：22.5．
20.如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是_______.（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③；④∠DFE＝3∠AEF.
答案：①②④
解析：①∵F是AD的中点，∴AF＝FD.
∵在□ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF.
∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF.
∵F为AD中点，∴AF＝FD.
在△AEF和△DFM中，
∴△AEF≌△DMF，∴FE＝MF，∠AEF＝∠M.
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，∴FC＝FM，故②正确；
③∵EF＝FM，∴.
∵MC＞BE，∴.故③错误；
④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∵DF＝CD，∴∠DCF＝∠DFC＝90°－x，
∴∠EFC＝180°－2x，
∴∠EFD＝90°－x＋180°－2x＝270°－3x.
∵∠AEF＝90°－x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④正确.
三、解答题。
21.（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）若E为BC的中点，求四边形AECD的周长.
答案：（1）如图所示.
（2）∵，
，
，
∴.
∴△ABC是直角三角形.
∵E为BC中点，∴AE＝CE＝BC＝2.5.
由勾股定理得，CD＝，AD＝5，
∴四边形AECD的周长为AE＋CE＋CD＋AD＝2.5＋2.5＋＋5＝10＋.
22.
（12分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF.
求证：BE∥DF.
答案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE∥DF.
23．（12分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠．点B
落在E点，AE交DC
于F点，已知AB=8cm，BC=4cm．求折叠后重合部分的面积．
【解答】解：由AAS可得△EFC≌△DFA，
∴DF=EF，AF=CF，
设FC=x，则DF=8﹣x，
在RT△ADF中，DF2+AD2=AF2，即（8﹣x）2+16=x2，
解得：x=5，即CF=5cm，
∴折叠后重合部分的面积=CF×AD=10cm2．
24.
（12分）（辽宁抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形.
答案：（1）∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC.
∵AE∥BF，∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
∴∠BAC＋∠ABD＝＝90°，
∴∠AOD＝90°.
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA.
∵AC，BD分别是∠BAD，∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC.
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形.
25.
（12分）【知识链接】
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
【动手操作】
小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明.
答案：（1）解：中点
∥
＝
（2）证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF.
在△ADE和△CEF中，
∵
∴△ADE≌△CEF，
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AB∥CF.
∵BD＝AD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，且DF＝BC，
∴DE＝DF＝BC.
26．（12分）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．
如图AO=CO，EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ACB，
同理，∠ACF=∠ACG，
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（3）△ABC是直角三角形
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．
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精品试卷·第
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平行四边形
满分150分，时间：120分钟
一、选择题。（本题12个小题，每个4分，共计48分。）
1.平行四边形的一个内角为40°，它的相邻的内角等于（
）
A.40°
B.140°
C.40°或140°
D.50°
2.菱形的两条对角线长分别为9与4，则此菱形的面积为（
）
A.12
B.18
C.20
D.36
3.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（
）
A.两组对边分别平行
B.两组对角分别相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
4．下列命题中，真命题是
（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形
B．对角线垂直的四边形是菱形
C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
5.如图，为测量池塘岸边A，B两点间的距离，小亮在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点D，E之间的距离是14m，则A，B两点之间的距离是（
）
A.18m
B.24m
C.28m
D.30m
6．如图，?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
7.如图，□ABCD中，∠C＝110°，BE平分∠ABC，则∠AEB等于（
）
A.11°
B.35°
C.55°
D.70°
8.以三角形三边中点和三角形三个顶点能画出平行四边形的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（
）
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
10.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，下列哪个条件不能判定四边形DEBF是平行四边形（
）
A.OE＝OF
B.DE＝BF
C.∠ADE＝∠CBF
D.∠ABE＝∠CDF
11.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（
）
A.（－8，0）
B.（0，8）
C.（0，8）
D.（0，16）
12．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有
（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题。（本题8个小题，每个4分，共计32分。）
13.菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为______.
14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝3，则BD的长为_______.
15．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为
_____.
①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．
16.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，－2），B（3，1），则C点坐标为________.
17．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为 ．
18.如图，已知长方形ABCD，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为________.
19．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E是DC延长线上一点，F是AB延长线上一点，且四边形ACEF是菱形，则∠CAE= ．
20.如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF，则下列结论中一定成立的是_______.（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③；④∠DFE＝3∠AEF.
三、解答题。
21.（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）若E为BC的中点，求四边形AECD的周长.
22.
（12分）如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF.
求证：BE∥DF.
23．（12分）如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠．点B
落在E点，AE交DC
于F点，已知AB=8cm，BC=4cm．求折叠后重合部分的面积．
24.
（12分）（辽宁抚顺）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD.
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形.
25.
（12分）【知识链接】
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
【动手操作】
小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将他们无缝隙、无重叠的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
【定理证明】小明为证明定理，画出了图形，写出了不完整的已知和求证（如图1）；
（1）在图1方框中补全已知和求证；
（2）按图2小明的想法写出证明.
26．（12分）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．
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