2020--2021学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》章末综合提升训练（word版含答案）

2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》章末综合提升训练（附答案）
1．在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，下列条件能判定这个四边形是菱形的是　 　．（填序号）
①．AD∥BC，∠A＝∠C ②．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
③．AB∥CD，AC＝BD，AC⊥BD ④．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
2．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为　 　．
3．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为　 　．
4．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．已知AB＝10cm，AC＝12cm．那么这个菱形的面积为　 　cm2．
5．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2．
6．如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为　 　．
7．已知正方形ABCD的边长等于4cm，那么边AB的中点E到对角线BD的距离等于　 　cm．
8．如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别落在矩形ABCD的两邻边BC、CD上，若BE＝1，CE＝2，则△AEF边长为　 　．
9．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠COB＝2∠AOB，AB＝8，则BC的长是　 　．
10．在矩形ABCD中，∠BAD的角平分线交于BC点E，且将BC分成1：3的两部分，若AB＝2，那么BC＝　 　
11．已知菱形一组对角的和为240°，较短的一条对角线的长度为4厘米，那么这个菱形的面积为　 　平方厘米．
12．已知矩形的两条对角线的夹角为60°，如果一条对角线长为6，那么矩形的面积为　 　．
13．已知正方形ABCD的边长为6，点E是边BC的中点．联接AC、DE相交于点F，M、N分别是AC、DE的中点，则MN的长是　 　．
14．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是　 　．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，如果AC＝8，BD＝6，那么DE的长为　 　．
16．如图，在直角坐标平面内，矩形ABCD的对角线AC、BD交于原点O，且点A、C都在x轴上，点D的坐标为（4，3），那么点C的坐标为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝　 　度．
18．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2＝PB2+PD2+1，则△PAB的面积为　 　．
19．如图，矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，AE平分∠BAF，且EF⊥AF于点F．若AB＝5，AD＝4，则EF＝　 　．
20．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长是　 　．
21．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE平分∠BAC的外角，且∠AEB＝90°．求证：四边形ADBE是矩形．
23．如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（I）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）判断CF与AC有怎样的位置关系并说明理由．
26．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
求证：（1）四边形FBGH是菱形；
（2）四边形ABCH是正方形．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．
28．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF．
（1）求∠AEF的度数；
（2）如果∠AEB＝75°，AB＝2，求△FEC的面积．
29．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
30．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE⊥AC与AD边的延长线交于点E．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）延长DB至点F，联结CF，若CF＝BD，求∠BCF的大小．
31．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的动点，PM⊥BE，PN⊥CE，垂足分别是M、N．
求：当AB和AD应满足怎样的数量关系时，四边形PMEN是矩形？请说明理由．
32．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若DF＝BF，求证：四边形DEBF为菱形．
33．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，AC和EF交于点O，延长AC至点G，使得AO＝OG，连接EG、FG．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：四边形AEGF是菱形．
34．如图所示，在正方形ABCD中，M是CD的中点，E是CD上一点，且∠BAE＝2∠DAM．求证：AE＝BC+CE．
35．已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在DE上CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G．
（1）求证：GF＝GD；
（2）联结AF，求证：AF⊥DE．
36．已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DE⊥BC，垂足为点E，过边AC上一点G作GF⊥BC，垂足为点F，BE＝CF，联结DG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）连接AF，当∠BAF＝3∠FAC时，求证：四边形DEFG是正方形．
37．已知：正方形ABCD的边长为厘米，对角线AC上的两个动点E，F．点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H，过F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为x秒，解答下列问题：
（1）如图，判断四边形EFGH是什么四边形，并证明；
（2）当0＜x＜8时，求x为何值时，S1＝S2；
（3）若y是S1与S2的和，试用x的代数式表示y．（如图为备用图）
38．我们知道正方形是四条边相等，四个内角都等于90°的四边形．
如图1，已知正方形ABCD，点E是边CD上一点，延长CB到点F，使得BF＝DE，作∠EAF的平分线交边BC于点G．求证：BG+DE＝EG．
参考答案
1．解：①A、∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项①不符合题意；
②、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；选项②不符合题意；
③、∵AB∥CD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴四边形ABCD不一定是菱形；选项③不符合题意；
④、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；选项④符合题意；
故选：④．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝AB，
∴＝；
故答案为：．
3．解：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E＝15°，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，
∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°；
故答案为：45°．
4．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，
∴OB＝＝＝8（cm），
∴BD＝2OB＝16cm，
S菱形ABCD＝AC?BD＝×12×16＝96（cm2）．
故答案为：96．
5．解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，
∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴AB＝BD＝5，AD＝AB＝5，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝5×5＝25（cm2）；
故答案为：25．
6．解：∵O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），
∴OC＝2，OD＝1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝1，
∵四边形AOBE为矩形，
∴∠EAO＝∠EBO＝90°，EB＝OA＝2，EA＝OB＝1，
∵E在第二象限，
∴E点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4cm，∠EBF＝45°，
∵EF⊥BD，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∵E是AB的中点，
∴EB＝2cm，
∴EF＝cm，
故答案为：．
8．解：设DF＝x，CF＝y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠B＝90°，DC＝AB＝x+y，AD＝BC＝BE+CE＝1+2＝3，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴12+（x+y）2＝22+y2＝x2+32，
由12+（x+y）2＝22+y2得：y＝，
代入22+y2＝x2+32，
整理得：3x4+26x2﹣9＝0，
解得：x2＝，
∴AF2＝x2+32＝，
∴AF＝；
故答案为：．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝2∠AOB，∠BOC+∠AOB＝180°
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝8，
∴AC＝BD＝2AO＝16，
则BC＝＝8．
故答案是：8．
10．解：①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
当EC＝3BE时，EC＝6，
∴BC＝8．
②如图2中，当BE＝3EC时，EC＝，
∴BC＝BE+EC＝．
故答案为8或
11．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD+∠BCD＝240°，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝60°
∵AB＝BC＝AD＝DC，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴S菱形ABCD＝2?S△ABC＝2××42＝8，
故答案为8．
12．解：矩形的两条对角线的夹角为：∠1＝60°，
∵矩形对角线相等且互相平分，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝AO＝AC＝3，
在直角△ABC中，AC＝6，AB＝3，
∴BC＝，
故矩形的面积为：3×3＝9．
故答案为：9．
13．解：连接BD，
∵E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴M是BD的中点，又N是DE的中点，
∴MN＝BE＝1.5，
故答案为：1.5．
14．解：当AD＝BC或AB∥CD时，四边形ABCD是矩形．
理由：∵AD∥BC，
∴当AD＝BC或AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥OD，AO＝AC＝4，BO＝BD＝3，
∴由勾股定理得到：AB＝＝5．
又∵AC?BD＝AB?DE．
∴DE＝4.8．
故答案为：4.8．
16．解：
过点D，作DE⊥OC于点E，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OE＝4，DE＝3，
∴OD＝＝5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OC＝AC＝BD，
∴点C的坐标为（5，0），
故答案为：（5，0）．
17．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）÷2＝15°，
∴∠AEB＝75°，
故答案为75．
18．解：∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°，
∵∠PBC+∠PBA＝90°，
∴∠PBA＝∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴QC＝PA，
设正方形的边长AB＝a，PA＝x，则QC＝x，
∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x，
在Rt△PAB中，PB2＝PA2+AB2＝x2+a2，
∵PQ2＝PB2+PD2+1，
∴（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+1，
解得：2ax＝1，
∴ax＝，
∵△PAB的面积S＝PA?PB＝ax＝×＝．
故答案为：．
19．解：∵AE平分∠BAF，且EF⊥AF，∠B＝90°
∴EF＝EB
在Rt△ABE和Rt△AFE中
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL）
∴AF＝AB＝5
又∵AD＝4，∠D＝90°
∴Rt△ADE中，DF＝＝3
∴CF＝5﹣3＝2
设EF＝EB＝x，则CE＝4﹣x
在Rt△CEF中，22+（4﹣x）2＝x2
解得x＝
即EF＝
故答案为：
20．解：过H作HM⊥BE于M，则∠HMC＝90°，
∵正方形ABCD和正方形CEFG，
∴AB＝BC＝1，EF＝CE＝4，∠B＝∠E＝90°，
∴HM∥AB∥FE，
∵H为AF大的中点，
∴M为BE的中点，
∴HM＝（AB+EF）＝（1+4）＝，
∵BC＝1，CE＝2，
∴BM＝2.5，
∴CM＝1.5，
在Rt△HMC中，由勾股定理得：CH＝＝，
故答案为：．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC＝CD．
又∵CE＝BC，
∴BE＝2BC，
∴BE＝2CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BE，
又∵CE＝BC，
∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACED是矩形，
又∵CA＝CB，
∴CA＝CE，
∴矩形ACED是正方形．
22．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
即∠DAE＝90°，
∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵∠AEB＝90°，
∴四边形ADBE是矩形．
23．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC，
∴AE＝DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
（2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线．
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形，
24．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
25．解：（I）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD?DC＝AC?DQ，
∴DQ＝＝，
∴CQ＝＝，
∴PC＝2CQ＝，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP的长为4或5或；
（Ⅱ）CF⊥AC，理由如下：
如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，∴CF⊥AC．
26．证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF＝FG＝GC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形，
连接BH，交AC于点O，
∴OF＝OG，
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形FBGH是菱形；
（2）∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO＝HO，FO＝GO．
又∵AF＝FG＝GC，
∴AF+FO＝GC+GO，即：AO＝CO．
∴四边形ABCH是平行四边形．
∵AC⊥BH，AB＝BC，
∴四边形ABCH是正方形．
27．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠BDE，
在△AEF与△BED中，
，
∴△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；
（2）解：∵CD＝DB，AE＝BE，
∴DE∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠FDB＝90°，
∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∵BC＝2AC，CD＝BD，
∴CA＝CD，
∴四边形ACDF是正方形．
28．解：（1）由正方形ABCD，得 AB＝AD，∠B＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠FAD，AE＝AF．
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝∠FAD+∠EAD＝90°．
即得∠EAF＝90°，
又∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°．
（2）∵∠AEB＝75°，∠AEF＝45°，
∴∠BEF＝120°．
即得∠FEC＝60°，
由正方形ABCD，得∠C＝90°．∴∠EFC＝30°．
∴EF＝2EC，
设EC＝x．则 EF＝2x，BE＝DF＝2﹣x，CF＝4﹣x．
在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE2+CF2＝EF2．
即得 x2+（4﹣x）2＝4x2．
解得x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（不合题意，舍去）．
∴EC＝2﹣2，CF＝6﹣2．
∴S△CEF＝＝，
∴△FEC的面积为．
29．（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB＝5，
设BF＝x，则DF＝5﹣x，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝．
30．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥DB，BC∥AD，
∵CE⊥AC，
∴∠AOD＝∠ACE＝90°，
∴BD∥CE，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD＝AC＝2OB＝2OC，
即OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵Rt△OCF中，CF＝BD＝2OC，
∴∠OFC＝30°，
∴∠BCF＝60°﹣45°＝15°．
31．解：当AD＝2AB时．四边形PMEN为矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
又∵点E是矩形ABCD的边AD的中点．
∴AE＝DE，
在△ABE和△CDE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB＝∠DEC，
∵四边形PMEN为矩形，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DEC＝45°
∴AE＝DE＝DC，即AD＝2AB．
∴当AD＝2AB时；四边形PMEN为矩形．
32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∵AE＝CF，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∵DF＝BF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
33．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴EB＝DF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，
∵EB＝DF，
∴EC＝FC，
∴AC垂直平分EF，
∵AO＝GO，
∴四边形AEGF是菱形．
34．证明：取BC的中点F，连接AF，过点F作FH⊥AE于H，连接EF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵M是CD的中点，
∴BF＝DM，
在△ABF和△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴∠BAF＝∠DAM，
∵∠BAE＝2∠DAM，
∴∠BAF＝∠HAF，
∵∠AHF＝∠B＝90°，
∴∠AFB＝∠AFH，BF＝FH，
∴AB＝AH，
∴FH＝FC，
∵∠FHE＝∠C＝90°，
在Rt△CFE和Rt△HFE中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△HFE（HL），
∴EH＝CE，
∴AE＝AH+HE＝AB+CE＝BC+CE．
35．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC＝90°，
∵CF＝CD，
∴∠CDF＝∠CFD，
∴∠GFC﹣∠CFD＝∠ADC﹣∠CDE，即∠GFD＝∠GDF，
∴GF＝GD．
（2）联结CG．
∵CF＝CD，GF＝GD，
∴点G、C在线段FD的中垂线上，
∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG＝90°，
∵∠CDF+∠ADE＝90°，
∴∠DCG＝∠ADE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠DAE＝∠CDG＝90°，
∴△DAE≌△CDG，
∴AE＝DG，
∵点E是边AB的中点，
∴点G是边AD的中点，
∴AG＝GD＝GF，
∴∠DAF＝∠AFG，∠GDF＝∠GFD，
∵∠DAF+∠AFG+∠GFD+∠GDF＝180°，
∴2∠AFG+2∠GFD＝180°，
∴∠AFD＝90°，即AF⊥DE．
法2：（1）联结CG交ED于点H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，
∵FG⊥FC，
∴∠GFC＝90°，
在Rt△CFG与Rt△CDG中，
，
∴Rt△CFG≌Rt△CDG，
∴GF＝GD．
（2）∵CF＝CD，GF＝GD，
∴点G、C在线段FD的中垂线上，
∴FH＝HD，GC⊥DE，
∴∠EDC+∠DCH＝90°，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠DCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝AB，∠DAE＝∠CDG＝90°，
∵∠ADE＝∠DCH，AD＝DC，∠EAD＝∠GDC．
∴△ADE≌△DCG，
∴AE＝DG，
∵点E是边AB的中点，
∴点G是边AD的中点，
∵点H是边FD的中点，
∴GH是△AFD的中位线，
∴GH∥AF，
∴∠AFD＝∠GHD，
∵GH⊥FD，
∴∠GHD＝90°，
∴∠AFD＝90°，即AF⊥DE．
36．证明：（1）在等边三角形ABC中，
∵DE⊥BC，GF⊥BC，
∴∠DEF＝∠GFC＝90°，
∴DE∥GF，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝CF，∠DEB＝∠GFC＝90°，
∴△BDE≌△CGF，
∴DE＝GF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）在平行四边形DEFG中，
∵∠DEF＝90°，
∴平行四边形DEFG是矩形，
∵∠BAC＝60°，∠BAF＝3∠FAC，
∴∠GAF＝15°，
在△CGF中，
∵∠C＝60°，∠GFC＝90°，
∴∠CGF＝30°，
∴∠GFA＝15°，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴GA＝GF，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B＝60°，
∴△DAG是等边三角形，
∴GA＝GD，
∴GD＝GF，
∴矩形DEFG是正方形．
37．解：（1）四边形EFGH是矩形．理由如下：
∵点E从点A，点F从点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，
∴AE＝CF．
∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD为正方形，
∴AD＝DC，∠D＝90°，∠GCF＝∠HAE＝45°，
又∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴∠CGF＝∠AHE＝45°，
∴∠GCF＝∠CGF，∠HAE＝∠AHE，
∴AE＝EH，CF＝FG，∴EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵EH⊥AC
∴平行四边形EFGH是矩形；
（2）∵正方形边长为，∴AC＝16．
∵AE＝x，连接BD交AC于O，则BO⊥AC且BO＝8，
∴S2＝?AE?BO＝4x．
∵CF＝GF＝AE＝x，∴EF＝16﹣2x，
∴S1＝EF?GF＝x（16﹣2x）．
当S1＝S2时，x（16﹣2x）＝4x，
解得x1＝0（舍去），x2＝6．
∴当x＝6时，S1＝S2；
（3）①当0≤x＜8时，y＝x（16﹣2x）+4x＝﹣2x2+20x．
②当8≤x≤16时，AE＝x，CE＝HE＝16﹣x，EF＝16﹣2（16﹣x）＝2x﹣16．
∴S1＝（16﹣x）（2x﹣16）．
∴y＝（16﹣x）（2x﹣16）+4x＝﹣2x2+52x﹣256．
综上，可知y＝．
38．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝∠D＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE，
∴AE＝AF，
∵AG平分∠EAF，
∴∠FAG＝∠EAG，
∵AG＝AG，
∴△EAG≌△FAG，
∴EG＝FG＝BF+BG＝DE+BG；