湘教版八年级下学期复习专题1 直角三角形的性质（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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初中数学湘教版八年级下学期复习专题1
直角三角形的性质
一、单选题
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（???
）
A.?∠A-∠B=∠C???????????B.?∠A：∠B：∠C=3：4：7???????????C.?∠A=2∠B=3∠C???????????D.?∠A=9°，∠B=81°
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（???
）
A.?锐角三角形????????????????????????B.?钝角三角形????????????????????????C.?直角三角形????????????????????????D.?都有可能
3.如图由于台风的影响，一棵树在离地面
处折断，折断后树干上部分与地面成30度的夹角，折断前长度是?
（?????????
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
.
4.如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为(??
)
A.?7.4m??????????????????????????????????B.?3.7m??????????????????????????????????C.?1.85m??????????????????????????????????D.?2.85m
5.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（
??）
A.?12cm≤h≤19cm?????????????B.?12cm≤h≤13cm?????????????C.?11cm≤h≤12cm?????????????D.?5cm≤h≤12cm
6.如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a，较长边为b，那么（a+b）2的值是（??
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.?9??????????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????????D.?25
7.若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2=2ab，则这个三角形是（??
）
A.?直角三角形??????????????????B.?等腰直角三角形??????????????????C.?等腰三角形??????????????????D.?以上结论都不对
8.下列各组数中，是勾股数的是(???
)
A.?0.3，0.4，0.5??????????????????B.?
，
，
??????????????????C.?6，8，10??????????????????D.?1.5，2，2.5
9.我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a
，
较长直角边长为b
，
那么(a＋b)2的值为(　　)
A.?13????????????????????????????????????????B.?19????????????????????????????????????????C.?25????????????????????????????????????????D.?169
10.如图，AD⊥CD，CD=4，AD=3，∠ACB=90°，AB=13，则
BC
的长是(???
)
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?16
11.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=10cm，c=8cm，则Rt△ABC的面积为(???
)
A.?9cm2????????????????????????????????B.?18cm2????????????????????????????????C.?24cm?????????????????????????????????D.?36cm2
12.将一根长为25厘米的筷子至于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子漏在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（
???）
A.?12≤h≤13??????????????????????????B.?11≤h≤12??????????????????????????C.?11≤h≤13??????????????????????????D.?10≤h≤12
二、填空题
13.在Rt
ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B=________.
14.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=6cm，则CD的长为________cm.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边AB上的高，若AB=8，则BD=________．
16.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是________．
17.如图，作一个长方形，以数轴的原点为中心，长方形对角线为半径，交数轴于点A，则点A表示的数是________．
18.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为________cm．
三、计算题
19.在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C
的对边分别为
a、b、c
．
若
a∶c＝15∶17，b＝24，求
a.
四、解答题
20.如图，
中，
，CD是
的高，
，
，求BD长．
21.如图
,小明在A处看见前面山上有个气象站,测得仰角为15°（即∠CAB=15°）,当笔直向山行6千米时,小明看气象站测得仰角为30°（即∠CBD=30°）.你能算处这个气象站离地面的高度CD吗？是多少?
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
23.如图∠B=∠ACD=90°,
AD=13,CD=12,
BC=3,则AB的长是多少?
?
五、综合题
24.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．
（1）图中有几个直角三角形？是哪几个？
（2）∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等．
25.如图，一架云梯AB的长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面距离AC为24m．
（1）这个梯子底端B离墙的距离BC有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4
m吗？为什么？
26.如图，折叠长方形的一边
，使点
落在
边上的点
处，
，
.
（1）求
的长；
（2）求
的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
解：A．∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，∴∠C=180°×
=90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A=180°×
＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A=9°，∠B=81°，∴∠C=90°，∴该三角形是直角三角形；
故答案为：C．
2.【答案】
C
解：∵三角形三条高的交点恰好为三角形的顶点
∴该三角形为直角三角形
故答案为：C。
3.【答案】
C
解：如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，
∴AB=2CB，
而BC=3米，
∴AB=6米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=9米.
故答案为：C.
4.【答案】
C
解：在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点
∴DE=AD==1.85.
故答案为：C。
5.【答案】
C
解：
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
6.【答案】
B
解：∵大正方形的面积是5，
∴c2=5，
∴a2+b2=c2=5，
∵直角三角形的面积是
=1，
又∵直角三角形的面积是
ab=1，
∴ab=2，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=5+2×2=5+4=9．
故选：B．
7.【答案】
A
解：∵（a+b）2﹣c2=2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2=2ab，
∴a2+b2=c2
，
∴这个三角形为直角三角形．
故答案为：A．
8.【答案】
C
解：A.因为0.32+0.42=0.52
，
0.3,0.4,0.5能组成直角三角形，但0.3,0.4,0.5不是正整数，所以0.3,0.4,0.5不是勾股数，故A错误；
B.因为（）2+（）2
=（）2
，
，
，
能组成直角三角形，但
，
，
不是正整数，所以
，
，
不是勾股数，故B错误；
C.因为62+82=102
，
所以正整数6,8,10能组成直角三角形，所以6,8,10是勾股数，故C正确；
D.因为1.52+22=2.52
，
1.5,2,2.5能组成直角三角形，但1.5,2,2.5不是正整数，所以1.5,2,2.5不是勾股数，故D错误.
故答案为：C.
9.【答案】
C
解：小正方形面积开方,得边长1,则有b-a=1
大正方形边长的平方为其面积即13,则在三角形中有
=13
将b-a=1两边平方,得
=1
将
=13代入,得13-2ab=1
故ab=6
由
=13与2ab=12两式相加,得
故答案为：C
10.【答案】
C
解：在△ACD中，AD⊥CD，
∴∠D=90°，
∵CD=4，AD=3，
∴由勾股定理得：AC=,
在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，
∴由勾股定理得：BC=。
11.【答案】
A
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，c=8，
∴a2+b2=c2=64，
∴（a+b）2-2ab=64
∴100-2ab=64
解之：ab=18.
∴S△ABC=ab=9.
故答案为：A.
12.【答案】
A
解：如图，
由题意可知AB=5cm，AE=BD=25cm，BC=12cm
∴CD=h=25-12=13，
AC=
∴CE=h=AE-AC=25-13=12
∴h的取值范围是：12≤h≤13.
故答案为：A
二、填空题
13.【答案】
25°
解：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=65°，
则∠B=90°-∠A=25°（直角三角形中，两个锐角互余）.
故答案是：25°.
14.【答案】
3
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB-90°，AB=6cm，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=3（cm）.
故答案为：3.
15.【答案】
2
解：由题,
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
∴
BC=
AB=4，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠ACD=60°,
∴∠DCB=30°,
在Rt△BDC中，∠DCB=30°,
∴BD=
BC=2．
故答案为：2．
16.【答案】
2＜AD＜8
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=
AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8
17.【答案】
解：长方形的对角线长==
，
????????????
又∵点A在数轴的负半轴，∴点A表示的数是.
????????????
故答案为：.
18.【答案】
3.4
解：根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=(5－x)cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得：
，解得：x=3.4
三、计算题
19.【答案】
解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2
，
解得，x=3，
则a=15x=45．
四、解答题
20.【答案】
解：
中，
，
，
，
，
是
的高，
，
，
故
，
在
中，
，
．
21.【答案】
解：∵∠A=15°，∠CBD=30°，
∴∠ACB=∠A=15°，
∴BC=AB=6千米
在直角△BCD中，则CD=
BC=3千米．
22.【答案】
证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB
23.【答案】
解:
∵∠ACD=90°
AD=13,
CD=12
∴AC2
=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=
4
∴AB的长是4.
五、综合题
24.【答案】
（1）解：
?∠ACB＝90°，CD是高，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°∴图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.
（2）解：∠1＋∠A＝90°，∠2＝∠A，∠1＝∠B.
??ACD，△BCD，△ABC是直角三角形，且∠ADC、∠BDC、∠ACB是直角，∴∠1＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠B＋∠A＝90°∴∠2＝∠A，∠1＝∠B
25.【答案】
（1）解：由题意得此时AC=24米,AB=25米,根据AC2+BC2=AB2
，
可得：BC=7，
答：这个梯子底端离墙有7米;
（2）解：不是.
理由：设滑动后梯子的底端到墙的距离为x米，
得方程,x2+(24?4)2=252
，
解得：x=15，
所以梯子向后滑动了8米.
26.【答案】
（1）解：由题意可得，
在
中，∵
，
∴
（2）解：∵
由题意可得
，设
的长为
cm
则在
中，
解得
则
的长为
.
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