连云港市灌南县灌河中学2012届中考数学二轮专题复习三 分类讨论问题

中考数学专题复习三 分类讨论问题
一、总体概述
分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏。
二、典型例题
【例题1】已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为 。
例2. ⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（ ）
A. 7㎝ B. 8㎝ C. 7㎝或1㎝ D. 1㎝
图1
例3. 如图2，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝ 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
图2
例4. 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
图3
三、当堂达标
1. 如图4，D为△ABC边AB上一点，满足________条件时，△ADC∽△ACB。
图4
2. 如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。
如果_______，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的三个条件）。
图5
3. 如图6所示，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE。
请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明。你添加的条件是：_________ ___________，根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______。（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）
图6
4. 如图7，AB是⊙O的直径，CB、CD分别切⊙O于点B、D，CD与BA的延长线交于点E，连结OC、OD。
⑴求证：△OBC≌△ODC；
⑵已知DE＝a，AE＝b，BC＝c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出算⊙O半径的一种方案：
①你选用的已知数是_____________；
②写出求解的过程。（结果用字母表示）
图7

5如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．
6在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
中考数学专题复习 分类讨论问题
参考答案
例题参考答案
【例题1】解：由已知易得
⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
⑵若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，
⑶若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
∴第三边长为。
【例题2】解：因为弦AB、CD均小于直径，
故可确定出圆中两条平行弦AB和CD的位置关系有两种可能：
一是位于圆心O的同侧，二是位于圆心O的异侧。
如图1，过O作EF⊥CD，分别交CD、AB于E、F，则CE＝4㎝，AF＝3㎝。 由勾股定理可求出OE＝3㎝，OF＝4㎝。当AB、CD在圆心异侧时，距离为OE＋OF＝7㎝。 当AB、CD在圆心同侧时，距离为OF－OE＝1㎝。选C。
图1
【例题3】解：勾股定理可得AE＝。
当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
⑴当DM与BE是对应边时，，即。
⑵当DM与AB是对应边时，，即
故DM的长是。
【例题4】：⑴过点P作PM⊥BC，垂足为M，
则四边形PDCM为矩形，∴PM＝DC＝12。
∵QB＝16－，∴。
⑵由图可知，CM＝PD＝2，CQ＝，
若以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：
①以Q为顶点，由图可知，PQ＝BQ。
在Rt△PMQ中，，解得。
②若以B为顶点，则BQ＝BQ。在Rt△PMB中，
，即，
∵△＝，
∴解得无解，∴。
③若以P为顶点，则PB＝PQ。在Rt△PMB中，。
解得不合题意，舍去）。
综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
二、当堂达标参考答案
1.解：可填⑴∠ACD＝∠B，⑵∠ADC＝∠ACB，⑶AC2＝AD·AB。
2.解：⑴AE＝CF （OE＝OF；DE⊥AC、BF⊥AC；DE∥BF等等）
3.解：添加条件列举：BA＝BC；∠AEB＝∠CDB；∠BAC＝∠BCA；∠BCD＝∠BAE等，证明列举（以添加条件∠AEB＝∠CDB为例）
∵∠AEB＝∠CDB，BE＝BD，∠B＝∠B，
∴△BEA≌△BDC。
另一对全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA。
4.解：⑴证明：∵CD、CB是⊙O的切线，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC（HL）。
⑵①选择a、b、c，或其中2个均可。
②若选择a、b。由切割线定理：a2＝b（b＋2r），得r＝，
若选择a、b、c。在Rt△EBC中，由勾股定理：（b＋2r）2＋c2＝（a＋c）2。
得r＝。
若选择b、c，则有关系式2r3＋br2－bc2＝0
5.解：(1)过点A、c直线的解析式为y=x－
(2)抛物线y=ax2－5x+4a．
∴顶点N的坐标为(－，－a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M且与CD垂直的直线上，
又点N在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．
(3)设EF=x，则CF=x，BF=2－x
在Rt△ABF中，由勾股定理得x= ，BF=
6.解：以A为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得和；
以O为圆心，OA为半径作圆交坐标轴得，，和；作OA的垂直平分线交坐标轴得和。
点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．