湘教版八年级下学期复习专题2 直角三角形的判定（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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初中数学湘教版八年级下学期复习专题2
直角三角形的判定
一、单选题
1.如图，BE=CF，AE⊥BC．DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需添加的一个条件是(
?
??
)。
A.?AE=DF??????????????????????????????B.?∠A=∠D??????????????????????????????C.?∠B=∠C??????????????????????????????D.?AB=DC
2.如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(??
)
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
3.如图6所示，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要利用“HL”判定△ABC≌△ABD成立，还需要添加的条件是(??
)
A.?∠BAC＝∠BAD???????????????B.?BC＝BD或AC＝AD???????????????C.?∠ABC＝∠ABD???????????????D.?AB为公共边
4.如图，点P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离相等，则△PEA≌△PFA的理由是(????
)
A.?HL??????????????????????????????????????B.?AAS??????????????????????????????????????C.?SSS??????????????????????????????????????D.?ASA
5.如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且BC=BD，可说明三角形全等的方法是（??
?）
A.?SAS??????????????????????????????????????B.?AAS??????????????????????????????????????C.?SSA??????????????????????????????????????D.?HL
6.用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线：在OA、OB上分别取点M、N，使OM=ON；再分别过点M、N画OA、OB的垂线，这两条垂线相交于点P，画射线OP（如图），则射线OP平分∠AOB，以上画角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是（??
）
A.?SSS??????????????????????????????????????B.?SAS??????????????????????????????????????C.?HL??????????????????????????????????????D.?ASA
7.下面说法不正确的是（???
）
A.?有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等???????????B.?有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.?有两角对应相等的两个直角三角形全等???????????????D.?有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
8.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(??
)
A.?AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3???????????????????????????????B.?AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C.?AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3??????????????????????????????D.?AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°
9.下列判断正确的是（??
）
?
A.?有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等?????????B.?腰长相等的两个等腰三角形全等
C.?斜边相等的两个等腰直角三角形全等??????????????????D.?两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
10.下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（??
）
A.?6个???????????????????????????????????????B.?5个???????????????????????????????????????C.?4个???????????????????????????????????????D.?3个
二、填空题
11.判定两直角三角形全等的各种条件：（1）一锐角和一边对应相等（2）两边对应相等（3）两锐角对应相等．其中能得到两个直角三角形全等的条件是________
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，判定△ABD≌△ACD最简单的方法是________．
13.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，用HL证明△APD≌△APE需添加的条件是________，（填一个即可）
14.如图，∠C＝∠D＝90?，添加一个条件：________
(写出一个条件即可)，可使
Rt△ABC
与Rt△ABD
全等．
15.如图，
中，
,
分别是
上动点，且
，当AP=________时，才能使
和
全等.
三、解答题
16.如图，已知
，垂足分别为点
，且
．
求证：
17.已知：如图，∠C=∠D=90°，AD=BC.求证：∠ABC=∠BAD.
18.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连结BE交AD于F，且AC＝BF，DC＝DF．求证：BE⊥AC．
19.如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．
四、综合题
20.如图，△
是等腰直角三角形，其中
；点
在边
上，连接
；
点
是
延长线上一点，分别连接
，若
．
（1）求证：△
≌△
；
（2）求图中
的度数．
21.如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）试说明滑梯BC与EF的位置关系.
22.如图，在△ABC中，AB=AC
，
DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D
，
CE⊥DE于点E
．
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示），且AD=CE
．
求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
解：∵
AE⊥BC．DF⊥BC
，∴∠DFC=∠AEB=90°,
A、如果添加：
AE=DF
，在Rt△ABE与Rt△DCF
，∵
BE=CF
,
∠DFC=∠AEB=90°,AE=DF
,∴
Rt△ABE≌Rt△DCF
(SAS），故A不符合题意；
B、如果添加：
∠A=∠D
，在Rt△ABE与Rt△DCF
，∵
∠DFC=∠AEB=90°,
∠A=∠D
,BE=CF
,
∴
Rt△ABE≌Rt△DCF
(AAS），故B不符合题意；
C、如果添加：
∠B=∠C
，在Rt△ABE与Rt△DCF
，∵
∠DFC=∠AEB=90°,BE=CF
,
∠B=∠C
，
∴
Rt△ABE≌Rt△DCF
(ASA），故C不符合题意；
D、如果添加：
AB=DC
，在Rt△ABE与Rt△DCF
，∵
AB=DC
,BE=CF
,
∴
Rt△ABE≌Rt△DCF
(HL），故D符合题意.
故答案为：D。
2.【答案】
D
解：根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个.
故答案为：D.
3.【答案】
B
解：需要添加的条件为BC=BD或AC=AD,理由为:
若添加的条件为BC=BD,
在Rt△ABC与Rt△ABD中,
∵
,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）,
若添加的条件为AC=AD,
在Rt△ABC与Rt△ABD中,
∵
,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）,
故答案为：B
4.【答案】
A
解：∵点P到AB，AC的距离相等，
∴∠PFA=∠PEA=90?,PF=PE,
在Rt△PEA与Rt△PFA中，
∵PE=PF，AP=AP，
∴Rt△PEA≌Rt△PFA（HL）
故答案为：A
5.【答案】
D
解：∵AB是△ABC、△ABD的公共斜边，BC、BD是对应的直角边，
∴利用（HL）可说明三角形全等．
故答案为：D
6.【答案】
C
解：在RtOMP和RtONP中，
????????????
，
????????????
∴RtOMPRtONP（HL），
????????????
∴MOP=NOP，
????????????
∴OP是AOB的角平分线.
????????????
故答案为：C.
7.【答案】
C
解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．
故答案为：C
8.【答案】
B
解：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°
A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL，
∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故答案为：B．
9.【答案】
C
解：A、全等的两个直角三角形的判定只有一条边对应相等不行，A不符合题意；
B、只有两条边对应相等，找不出第三个相等的条件，即两三角形不全等，B不符合题意；
C、斜边相等的两个等腰直角三角形，根据ASA或者HL均能判定它们全等，C符合题意；
D、有两个锐角相等的两个直角三角形，边不一定相等，有可能是相似形，D不符合题意；
故答案为：C．
10.【答案】
D
解：①两条直角边分别相等；正确；
②两个锐角分别相等；错误；
③斜边和一条直角边分别相等，正确；
④一条边和一个锐角分别相等；错误；
⑤斜边和一锐角分别相等；正确；
⑥两条边分别相等，错误；
其中能判断两个直角三角形全等的有3个，
故选D．
二、填空题
11.【答案】
（1）和（2）
解：∵（1）一锐角与一边对应相等，
可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等，
（
2
）两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等；
（
3
）两锐角对应相等，缺少对应边相等这一条件，
所以不能判定两直角三角形全等．
故答案为：（1）和（2）
12.【答案】
HL
解：HL，理由是：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中
?
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
故答案为：HL
13.【答案】
AD=AE（答案不唯一）
解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
在Rt△ADP和△AEP中
，
∴Rt△APD≌Rt△APE（HL）
∴故答案为：AD=AE；
14.【答案】
AC＝AD等(答案不唯一)
解：已知条件有：∠C=∠D=90°，AB=AB，
所以添加条件AC＝AD可以根据HL判定Rt△ABC
与Rt△ABD
全等．
故答案为AC＝AD
15.【答案】
3或8
解：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，
?
∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
②当AP=8时，
∵AC=8，
∴AP=AC，
∵∠C=90°，AE⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，
∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），
故答案为：3或8．
三、解答题
16.【答案】
解：
在
和
中
17.【答案】
证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AB=BA，AD=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD.
18.【答案】
证明：∵AD⊥BC
∴∠BDF＝∠ADC＝90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）
∴∠FBD＝∠DAC
又∵∠BFD＝∠AFE
∴∠AEF＝∠BDF＝90°
∴BE⊥AC
19.【答案】
证明：在△ABC中
∵∠BAC=∠BCA，
∴AB=CB．
∵∠BAE=∠BCD=90°，
在Rt△EAB和Rt△DCB中，
∴Rt△EAB≌Rt△DCB．
∴∠E=∠D．
四、综合题
20.【答案】
（1）证明：∵△
是等腰直角三角形，其中
，
∴
，
，
在
△
和
△
中
，
∴
△
≌
△
（2）解：∵△
≌△
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
．
21.【答案】
（1）解：△ABC与△DEF全等.理由如下：
由题意中“两个长度相等滑梯”可知BC=EF，且AC⊥BF，DE⊥BF，
∴在Rt△ABC与Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
（2）解：
BC⊥EF，理由如下：
先将原图形简化，延长BC交EF于H点，交ED于O点，画成如下图所示：
由AC∥OD，得到∠ACB=∠DOB，且对顶角∠DOB=∠EOH，
∴∠ACB=∠EOH
由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠1=∠2，
又∠1+∠ACB=90°，
∴∠2+∠EOH=90°，
∴∠EHO=90°，
∴BC⊥EF.
22.【答案】
（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE）=90°，
∴AB⊥AC．
（2）解：AB⊥AC．
理由如下：
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∵
，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
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