湘教版八年级下学期复习专题3 角平分线（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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初中数学湘教版八年级下学期复习专题3
角平分线
一、单选题
1.如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（
）
A.?6cm????????????????????????????????????B.?7cm????????????????????????????????????C.?8cm????????????????????????????????????D.?9
cm
2.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是（??
）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?4
3.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（????
）
A.?△ABC
的三条中线的交点????????????????????????????????????B.?△ABC
三边的中垂线的交点
C.?△ABC
三条角平分线的交点?????????????????????????????????D.?△ABC
三条高所在直线的交点
4.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于，且OD=4，△ABC的面积是（??
）
A.?25?????????????????????????????????????????B.?84?????????????????????????????????????????C.?42?????????????????????????????????????????D.?21
5.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC＝PD，则(???
)
A.?∠1>∠2??????????????????????????????B.?∠1＝∠2??????????????????????????????C.?∠1<∠2??????????????????????????????D.?不能确定
6.如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是(
??)
A.?DE＝DF?????????????????????????????B.?BD＝FD?????????????????????????????C.?∠1＝∠2?????????????????????????????D.?AB＝AC
7.如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（??
）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
8.△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（??
）
A.?点O一定在△ABC的内部??????????????????????????????????????B.?点O到△ABC的三边距离一定相等
C.?∠C的平分线一定经过点O???????????????????????????????????D.?点O到△ABC三顶点的距离一定相等
9.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO
等于（
??）
A.?1︰1︰1????????????????????????????B.?1︰2︰3????????????????????????????C.?2︰3︰4????????????????????????????D.?3︰4︰5
10.如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（??
）
A.?一处?????????????????????????????????????B.?二处?????????????????????????????????????C.?三处?????????????????????????????????????D.?四处
二、填空题
11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC
，
BC=10cm，BD：DC=3:2，则点D到AB的距离________cm．
12.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
，DE=2，AB=4，则AC的长是________．
13.有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有________个.
14.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是________
15.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝________．
16.如图，PM=PN，∠BOC=30°，则∠AOB=________．
三、解答题
17.如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB平分线的交点，AB＋BC＋AC＝20，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝3，求△ABC的面积．
18.在锐角三角形ABC中，D是BC的中点，DE^AB于E，DF^AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线；
四、作图题
19.如图所示，直线
、
、
为围绕区域A的三条公路，为便于公路维护，需在区域A内筹建一个公路养护处P，要求P到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P的位置（保留作图痕迹，不写作法）.
五、综合题
20.如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR=PS，点Q是AC上一点，且AQ=PQ，
（1）求证：QP∥AR；
（2）AR、AS相等吗？说明理由.
21.如图，
是
上一点，
于
，
于
.
、
分别是
、
上的点，且
，
.
（1）求证：
是
的平分线.
（2）若
，且
，
，求
的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
解：∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
2.【答案】
B
解：作PE⊥OA于E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：B．
3.【答案】
C
解：∵
要使凉亭到草坪三条边的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC的三个角的角平分线的交点处，
故答案为：C
4.【答案】C
解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OD=OE=4，OD=OF=4，
∴△ABC的面积=
S△AOB+S△BOC+S△AOC
=
?OE?AB+
?OD?BC+
?OF?AC
=
×4×（AB+BC+AC）
=
×4×21
=42．
故选C．
5.【答案】
B
解：根据PC=PD可得：OP平分∠AOB，即∠1=∠2，故答案为：B.
6.【答案】
C
解：如图，
∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．
故答案为：C
7.【答案】
D
解：由角平分线性质的逆定理，
∵已知点P到BE，BD的距离相等
∴点P在∠B的平分线上；
∵点P到BD，AC的距离相等
∴点P在∠DAC的平分线上
∵点P到BE，
AC的距离相等
∴点P在∠ECA的平分线上
∴点P恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，
可得①②③④都正确.
故答案为：D.
8.【答案】
D
解：A、C由三角形的三条角平分线在三角形内相交于一点可知：A、C不符合题意；
B、而由角平分线的性质可证得点O到△ABC的三边距离相等，所以B不符合题意；
D、而三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离不一定相等，所以D符合题意.
故答案为：D.
9.【答案】
C
解：过点O作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别是D,E,F,
∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC
∴OD=OF,同理OD=OE
∴OD=OE=OF
∵S△ABO=,S△AOC=,S△BOC=
∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4
故答案为：C。
10.【答案】
D
解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D．
二、填空题
11.【答案】
4
解：∵BC=10cm，BD：DC=3:2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
故答案为：4.
12.【答案】
3
解：如图，过点D作DF⊥AC于F。
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2
又∵+=7
∴
∴AB+AC=7
又∵AB=4
∴AC=3.
故答案为：3.
13.【答案】
4
解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，
所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个.
故答案为4.
14.【答案】
在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
15.【答案】
3
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
16.【答案】
60°
解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠AOB=60°，
故答案为：60°．
三、解答题
17.【答案】
解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=3，∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=
AB?OE+
BC?OD+
AC?OF=
×3×（AB+BC+AC）=
×3×20=30．
18.【答案】
证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴△BED与△CFD都是直角三角形，
又BE=CF，∴RT△BED≌RT△CFD（HL），
∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的判定定理）．
四、作图题
19.【答案】
解：如图，点P即为所求．
五、综合题
20.【答案】
（1）解：如图，
在RT△APR和RT△APS中，
，
∴RT△APR≌RT△APS（HL），
∴∠BAP=∠1，
∵AQ=PQ，
∴∠1=∠2，
∴∠BAP=∠2，
∴QP∥AR.
（2）解：AR=AS,理由如下:
∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠ARP=∠ASP=90°，
在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR.
【考点】角平分线的性质
21.【答案】
（1）解：∵
，
，
，
，
∴
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
是
的角平分线
（2）解：∵
，
∴
，
∴
∴
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