人教版八年级数学下册19.1 函数 教案（3课时）

第十九章　一次函数
19．1　函数
19．1.1　变量与函数
教学目标
【知识与技能】
运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念，能根据所给条件写出简单的函数关系式．
【过程与方法】
通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程，发展学生的数学应用能力．
【情感态度】
引导学生探索实际问题中的数量关系，培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情．在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心．
【教学重点】
理解常量、变量和函数的概念，并能根据具体问题得出相应的函数关系式．
【教学难点】
确定函数关系式及自变量的取值范围．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【教学说明】
选取学生熟悉的生活情境，让学生感受其中的变化，从这些感受中逐渐领悟知识．
【情境1】汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶里程为s km，行驶时间为t h．填写下列表格，再试着用含t的式子表示s.
t/ h
1
2
3
4
5
s/ km
　　【情境2】已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?
【情境3】要画一个面积为10 cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20 cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?
二、思考探究，获取新知
【问题1】在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：
悬挂重物的质量/ kg
弹簧长度/ cm

如果弹簧原长10 cm，每1 kg重物使弹簧伸长0.5 cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l(cm)?
【问题2】用10 cm长的绳子围成长方形．试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化．记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律(用表格表示)．设长方形的长为x cm，面积为S cm2，怎样用含x的式子表示S?
将学生分成若干小组，分别探究两个问题，再汇总交流．
【教学说明】
在小组实践探究时，教师应参与小组活动，然后再作出总结．
上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程，其中有些量(时间t，里程s；出售票数x，票房收入y；……)的值是按照某种规律变化的．在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称为变量．也有些量是始终不变的，如上面问题中的速度60(km/h)，票价10(元)等，即为常量．
一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
提出自变量取值范围的概念，总结求自变量取值范围的规律：
(1)自变量以整式形式出现，取值范围是全体实数．
(2)自变量以分式形式出现，取值范围是使分母不为0的数．
(3)自变量以偶次方根形式出现，取值范围为使被开方数为非负数的实数；自变量以立方根形式出现，取值范围为全体实数．
(4)自变量以零次幂形式出现，取值范围为使底数不为0的数．
(5)自变量取值范围还应考虑实际意义．
三、典例精析，掌握新知
【例1】根据下列题意写出适当的关系式，并指出其中的变量和常量．
(1)多边形的内角和W与边数n的关系．
(2)甲、乙两地相距y km，一自行车以10 km/h的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离 s(km)．
【分析】弄清题意，找准其中的等量关系，并注意字母表示的量不一定是变量，如(2)中的y.
解：根据题意列表为：
题号
关系式
变量
常量
(1)
W＝(n－2)×180°
W，n
2，180°
(2)
s＝y－10t
s，t
y，10
　　【例2】求下列函数中自变量的取值范围．
(1)y＝x2－2x－1；　　　　　　(2)y＝；
(3)y＝； (4)y＝；
(5)y＝＋3； (6)y＝(x－1)0.
解：(1)一切实数；　 (2)x≠4；　 (3)x≥2；
(4)x>－3；　 (5)1≤x≤3；　 (6)x≠1.
【教学说明】
观察含自变量的式子，进行归类，再依各自特征求范围．
【归纳总结】
含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母，有被开方数等)，这时要综合考虑各种要求，准确界定范围．
【例3】小强在劳动技术课中要制作一个周长为80 cm的等腰三角形，请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
【分析】(1)周长等于三边的长度和，由此求得函数关系式；(2)自变量x要使腰、底为正数，即x>0，y>0.同时还要满足任意两边的和大于第三边，得到不等式组求解．
解：由题意，得2x＋y＝80，所以y＝80－2x.由解析式本身有意义，得x为全体实数．
又由使实际问题有意义，则要考虑到边长为正数，且要满足三边关系定理，故有
即解得20故y＝80－2x(20四、运用新知，深化理解
1．分别指出下列关系式中的变量与常量：
(1)一个物体从高处自由下落，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为h＝gt2(其中g≈9.8 m/s2)；
(2)等腰三角形的顶角y与底角x存在关系y＝180°－2x；
(3)长方体的体积V(cm3)与长a(cm)，宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V＝abh.
1．(1)时间t可以取不同值，随t的变化，h值也改变，因此时间t、距离h是变量，、g的值始终不变，是常量．
(2)底角x可以取不同值，y随x的改变而改变，因此x、y是变量，而180°与2是常量．
(3)长a，宽b，高h都可以取不同的值，V的对应值也是变化的，故a、b、h、V都是变量．
2．人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数．经过大量试验，有如下的关系：b＝0.8(220－a)．
(1)上述关系式中的常量和变量各是什么？
(2)一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？
解：(1)变量是b、a，常量是0.8、220.
(2)把a＝15代入b＝0.8(220－a)，得b＝0.8×(220－15)＝164.
3．(1)齿轮每分钟转120转，如果用n表示总转数，t(分)表示时间，那么n关于t的函数关系式是
__n＝120t__.
(2)火车离开A站10 km后，以55 km/h的平均速度前进了t(h)小时，那么火车离开A站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是__s＝10＋55t__.
4．某水果店卖苹果，其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表：
x(kg)
0.5
1
1.5
2
…
y(元)
1.2＋0.2
2.4＋0.2
3.6＋0.2
4.8＋0.2
…
　　(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；
(2)计算当x＝6时，y的值；
(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量．
解：(1)从表中提供的信息看，质量每增加1千克，售价增加2.4元，所以y＝2.4x＋0.2.
(2)当x＝6时，y＝2.4×6＋0.2＝14.6.
(3)当y＝19.4时，2.4x＋0.2＝19.4，解得x＝8.即售价为19.4元时售出苹果的质量为8 kg.
【教学说明】
用字母表示的量不一定是变量，如π、g等表示的是常量，要从变与不变的实质出发来分辨变量和常量．
五、师生互动，课堂小结
由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等．教师根据学生的发言，予以点评总结．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时内容是学生的认识由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识．教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研究与应用能力．
19．1.2　函数的图象
第1课时　函数图象的意义及画法
教学目标
【知识与技能】
学会观察图象，画图象及理解图象所表示的含义．了解图象的意义及其与实际生活的联系和区别．
【过程与方法】
从熟悉的情境出发，经历从图中分析变量之间关系的过程，理解函数图象的意义．会对实际生活中的例子用两变量之间关系的图象进行描述表达，初步认识函数与图象的对应关系．
【情感态度】
渗透数形结合思想，体会到数学来源于实际生活，又应用于生活，培养学生的团结协作精神．
【教学重点】
把实际问题转化为函数图象，再根据图象来研究实际问题．
【教学难点】
从图象中获取信息．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题1】教材中图19.1－4是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从中获取了哪些信息？
【教学说明】
教师依据学生发言情况，总结：气温T是时间t的函数．由图可知：
(1)这一天凌晨4时气温最低(－3 ℃)，14时气温最高(8 ℃)．
(2)从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增大而下降)，从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时呈下降状态．
(3)可以从图象上看出这一天任一时刻的气温大约是多少．
(4)如果长期观察这样的气温图象，就能得到更多的信息，掌握更多的气温变化情况．
【问题2】教材中图19.1－4反映的是气温与时间之间的函数关系，那么这个函数关系能列式表示吗？
【教学说明】
学生讨论后教师归纳：有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观地反映．如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系．
二、思考探究，获取新知
【教学说明】
下列问题是为了帮助学生领会和掌握函数图象的意义与画法，注重引导学生观察、归纳、概括和交流，教师重在引导、评点和补充．
【问题1】正方形的边长x与面积S的函数关系式是S＝x2，其中自变量x的取值范围为x＞0.我们可以在坐标系中利用画图的方法来表示S与x的关系，自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S是否确定了一个点(x，S)呢？填写下列表格并绘制函数图象．
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
　　【问题2】结合函数、函数图象的定义画出图象．
【教学说明】
教师带领学生根据步骤画出图象，并指明画图象时的注意事项，然后引导学生逐步读图象，体会图象的作用．
三、运用新知，深化理解
【教学说明】
下面两个问题分别引导学生解决简单的函数应用题和学会函数图象的绘制，教师重在指导，体现学生的操作交流能力并获得实际体验．
【问题1】如图反映的是一段过程：小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离，小明家、菜地、玉米地在同一条直线上．根据图象回答下列问题：
(1)菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多长时间？
(2)小明给菜地浇水用了多少时间？
(3)菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
(4)小明给玉米地锄草用了多少时间？
(5)玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？
由学生共同交流得到答案：
(1)菜地离小明家1.1 km；小明走到菜地用了15 min.(2)小明给菜地浇水用了10 min.(3)菜地离玉米地0.9 km；小明从菜地走到玉米地用了12 min.(4)小明给玉米地锄草用了18 min.(5)玉米地离小明家2 km，小明从玉米地走回家的平均速度是80 m/min.
【问题2】画出y＝ (x＞0)的图象．分小组共同完成，教师场下巡回指导．
列表：
x
0.5
1
2
2.5
3
3.5
4
5
6
…
y
12
6
3
2.4
2
1.5
1.2
1
…
　　根据表中数值描出点(x，y)，并用平滑曲线连接这些点，函数图象如图所示.
【归纳总结】
(1)连接各点时一定要用平滑曲线，不要把两点间画成线段．
(2)注意x＞0，即只画图象在第一象限的部分，但画出的图象不能在两端加端点，因为图象还可延伸，只是无法一一画出．
【教学说明】
下列问题是训练学生阅读图象的能力，教师可灵活运用．
【问题3】小明、爸爸、爷爷同时从家中出发向同一目标前进，小明前路程步行，后路程骑车；爸爸前路程骑车，后路程步行；爷爷前路程步行，后路程骑车，三人行走的路程与时间的关系可用下面三个图象来表示：
(1)三个图象哪个对应小明、爸爸、爷爷？
(2)他们的家距目的地多远？三人走完全程各用了多少时间？
(3)三个人步行的速度各是多少？
【分析】解决该题的关键是找准每个人对应的图象．从图中可以看出，乙图前的路程比后的路程速度快，所以乙对应爸爸，而甲和丙比较，前的路程甲比丙慢，所以甲对应爷爷，丙对应小明．
【答案】(1)甲对应爷爷，乙对应爸爸，丙对应小明．
(2)他们的家距目的地2 400米，爷爷用24分走完了全程，爸爸用20分走完了全程，小明用18分走完了全程．
(3)爷爷步行的速度是50米/分，爸爸步行的速度是100米/分，小明步行的速度是80米/分．
四、师生互动，课堂小结
围绕下面两点，师生交流再归纳．
1．函数图象的画法有哪些步骤与要求？
2．怎样从图象中获取信息？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课学习内容是学生熟知的或发生在身边的事实，是现实而有意义的，利于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、论证、推理与交流等数学活动，教学中引导学生经历把实际问题抽象成图象的过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，在此交流中真正理解函数图象并形成函数思想．
第2课时　函数的三种表示方法
教学目标
【知识与技能】
运用丰富的实例帮助学生全面理解函数的三种表示方法．
【过程与方法】
通过观察作图，交流，使学生加深对函数三种表示方法的认识，提高把实际问题转化为数学问题的能力．
【情感态度】
让学生通过实际操作，体会函数表示方法在实际生活中的应用价值，以激发学生对数学的学习兴趣．
【教学重点】
函数三种表示方法及其应用．
【教学难点】
函数三种表示方法的应用．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】倾斜木板，将小车置于木板顶端，观察小车下滑过程．小车沿斜坡下滑，下滑速度与其下滑时间的关系如图所示．
(1)填写下表：
t/s
1
2
3
v/(m/s)
　　(2)写出v与t之间的关系式．
【教学说明】
教学时，实际演示实验供学生观察，再引导学生阅读图象，从中找出隐含的信息，比如：由图知，小车的速度在2 s时间内由0增加到5 m/s，表明平均每秒增加2.5 m/s，进而推出这个活动过程中包含的函数关系式为：v＝2.5t.
二、思考探究，获取新知
【问题1】请交流列表格、写解析式、画图象三种表示函数关系的方法各有什么优点？小组活动，个人独立思考后小组内交流并作汇总，于课堂上向全班师生汇报．教师引导全班探讨交流，最后总结．
列表法直接给出部分函数值，解析式法明显地表示对应规律，图象法明显地表示趋势．
【教学说明】
表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要同时运用几种方法．
【问题2】一个水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时内6个时间点的水位高度．
t/时
0
1
2
3
4
5
y/米
10
10.05
10.10
10.15
10.20
10.25

(1)由记录表推出5小时中水位高度y(单位：米)随时间t(单位：时)变化的函数解析式，并画出这个函数的图象．
(2)据估计这种上涨情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米．
【分析】记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，现在需要从这些数值找出两个变量之间的一般联系规律，并由此写出函数解析式，再画出图象，预测出水位的结果．
解：(1)由表可知，开始水位高10米，以后每隔1小时，水位就升高0.05米，这样的规律可以表示为y＝0.05t＋10(0≤t≤7)，其图象如图．
(2)再过2小时的水位高度，就是t＝5＋2＝7时，y＝0.05t＋10的函数值，故有y＝0.05×7＋10＝10.35，也可利用函数图象估计出这个值．
【教学说明】
(2)的预测是建立在未来2小时水位上升规律不改变的假设之上的，根据问题的数据及对未来的假设有0≤t≤7，故画出的函数图象是线段，其左右端点的横坐标分别为0和7.
三、典例精析，掌握新知
【例1】如图是某观水站8月上旬记录的水位图，看图回答：
(1)8月5日的水位是多少米？8月10日呢？
(2)在这10天中，哪一天的水位最高？最高水位是多少？哪一天的水位最低？最低水位是多少？
(3)这10天中的水位差(最高水位－最低水位)是多少？从最低水位到最高水位经过几天？最高水位保持了几天？
(4)这10天中，有哪几天的水位在上升？有哪几天的水位在下降？有没有水位保持不变的？
(5)从图象中，你还能了解哪些信息？能试着分析水位变化的原因吗？
【分析】不同背景下的图象的上升、下降等变化所表示的实际意义并不相同，所以，要结合背景材料先弄清楚一些词语的意义，如“水位差”等．
【答案】(1)由图可知，8月5日的水位是12 m，8月10日的水位是10 m；
(2)8月7日水位最高，为15.4 m，8月3日水位最低，为8.8 m；
(3)水位差＝15.4－8.8＝6.6(m)，从最低水位到最高水位经过了4天，只有8月7日这一天水位最高，所以最高水位只保持了一天；
(4)8月1日至2日、4日至7日水位上升，其余几天水位均下降；没有水位保持不变的．
(5)4天的时间水位迅速攀升至15.4 m，说明这几天水的注入量很大，而在8月7日以后水位下降，说明可能是排水，我国8月份的降雨量一般比较大，这有可能是在一次洪峰经过该观水站时几天里的水位情况．
【教学说明】
从图象中发掘信息的前提是分辨出图象中横轴、纵轴所表示的意义．同时，因观察者的切入点不同，获取的信息可能会不一样．
【例2】某城市为了节约用水，采用分段收费标准．若用户居民的每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图所示，根据图象回答：
(1)当每户月用水量不足5吨时，每吨收费多少元？当每户月用水量超过5吨时，每吨收费多少元？
(2)若某户居民每月用3.5吨水，则应交水费多少元？若某月交了水费17元，则该户居民用了多少吨水？
【分析】(1)观察图象可以发现，当用水量为5吨时，刚好交水费10元，所以当用水量不足5吨时，每吨交费＝2(元)，而当用水量达到8吨时，交水费20.5元，所以超过5吨的部分交水费20.5－10＝10.5(元)，故超过5吨的部分每吨交水费＝3.5(元)．
(2)由(1)可知，用3.5吨水应交3.5×2＝7(元)；若交17元水费，则用水5＋＝7(吨)．
【教学说明】
本题的图象变化趋势分为两段，前一段是平稳上升，它表明x在0～5间是平均收费，而后一段上升较快，则可知每吨水收费有所提高．
四、师生互动，课堂小结
回顾、交流对函数三种表示方法的认识．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课教学重在培养学生掌握基本的数学思想，以不同问题的解答引导学生积极参与探索、发现、讨论并形成解决问题的能力，教师引导学生从“练”中“悟”，形成函数意识和自主解题能力．