人教版八年级数学下册19.2 一次函数 教案（6课时）

19．2　一次函数
19．2.1　正比例函数
教学目标
【知识与技能】
1．初步理解正比例函数的概念及其图象的特征．
2．能够画出正比例函数的图象．
3．能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系．
4．能够利用正比例函数解决简单的数学问题．
【过程与方法】
1．通过实例，体会建立数学模型的思想．
2．通过正比例函数图象的学习与研究，感知数形结合思想．
【情感态度】
结合描点作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度．
【教学重点】
正比例函数的概念、图象与性质．
【教学难点】
正比例函数的特征．
教学过程
一、情境导入，初步认识
请学生预习、自学教材，并讨论课本“思考”的问题．
【答案】(1)l＝2πr；　(2)m＝7.8V；
(3)h＝0.5n；　(4)T＝－2t.
观察这些解析式有什么共同特点？由学生讨论，教师总结．
一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
请学生列举日常生活中的正比例函数的模型，举例如下：
(1)利率不变的情况下，利息随存款数的变化而变化．
(2)某本书的单价不变，销售额随售出图书数量的变化而变化．
(3)火车速度不变，行驶距离随时间的变化而变化．
(4)单位千克邮价不变，邮费随邮包重量的变化而变化．
【例1】已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值．
【分析】联想正比例函数定义可知，应考虑k＋1≠0，k－1＝0，综合可得k＝1.
【教学说明】
这类问题看三点：(1)自变量的最高次数为1；(2)含自变量x的系数k≠0；(3)常数项为0，三者必须同时满足．
【例2】根据下列条件求函数的解析式．
(1)y与x2成正比例，且x＝－2时，y＝12.
(2)函数y＝(k2－4)x2＋(k＋1)x是正比例函数，且y随x的增大而减小．
【分析】(1)根据正比例函数的定义，可设y＝kx2，再将x＝－2，y＝12代入求得k值；(2)注意题中要求及式子特点，结合定义与性质考虑．
解：(1)设y＝kx2(k≠0)，把x＝－2，y＝12代入得(－2)2·k＝12，∴k＝3，即y＝3x2.
(2)由题意得：k2－4＝0，∴k＝2或k＝－2.又∵y随x的增大而减小，∴k＋1＜0，故k＝－2，即y＝－x.
【教学说明】
(2)中含有自变量x的二次方，由题意知解析式应不含二次项，故令其系数为0.
二、思考探究，获取新知
师生共同画出y＝x，y＝－x的图象，并鼓励学生探索图象特征，引导学生围绕以下几个方面归纳结果：
(1)两图象都是经过原点的直线．
(2)函数y＝x的图象从左向右递增，经过一、三象限．
(3)函数y＝－x的图象从左向右递减，经过二、四象限．
教师总结正比例函数的图象与性质：
一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，当k＞0时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
【例1】已知正比例函数的图象过点(2m，3m)，m≠0，求这个正比例函数的解析式．
解：设正比例函数的解析式为：y＝kx.把(2m，3m)代入得3m＝k·2m，解得k＝，∴这个正比例函数的解析式为y＝x.
【教学说明】
正比例函数中只含有一个待定系数，只需知道一点坐标即可求得其解析式．
【例2】已知(x1，y1)、(x2，y2)是直线y＝－x上的两点，若x1＞x2，则y1，y2的大小关系是(　A　)
A．y1＜y2　　　　　B. y1＞y2
C. y1＝ y2 D．不能比较
【分析】因为y＝－x中－＜0，即直线y＝－x的函数值是随x的增大而减小的，所以当x1＞x2时，y1＜y2，故选A.
【教学说明】
通常我们在x的某一范围内取x1＜x2，若点(x1，y1)，(x2，y2)为函数图象上的两点，当y1＜y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而增大；当y1＞y2时，该函数在这个范围内y随x的增大而减小．
三、运用新知，深化理解
1．已知正比例函数y＝(k＋3)x.
(1)k为何值时，函数的图象经过一、三象限；
(2)k为何值时，y随x的增大而减小；
(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1)．
解：(1)k＞－3；　(2)k＜－3；　(3)k＝－2.
2．已知y－3与x成正比例，当x＝2时，y＝7，求y与x之间的函数解析式．
解：设y－3＝kx，∵当x＝2时，y＝7，代入得7－3＝2k，∴k＝2，即y－3＝2x，即y＝2x＋3.
3．在函数y＝－3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为－2，求△POA的面积(O为坐标原点)．
解：∵点P在函数y＝－3x的图象上，且P点的横坐标为－2，∴y＝－3×(－2)＝6，即P点的坐标为(－2，6)．∴S△POA＝×2×6＝6.
【教学说明】
以上各题由学生自主探究，有疑问的教师加以指导，最后评析．
四、师生互动，课堂小结
要求学生回答下列问题，并由同组同学解答、补充：
1．什么是正比例函数？其解析式是什么？
2．正比例函数的图象是什么？它有什么特征？
3．如何简便地画出正比例函数的图象？
4．本节课的学习经历了怎样的过程？你有何感悟？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图象得出性质，再反过来由函数性质研究图象的其他特征，结合学生已有的知识与经验和后面的学习内容与要求，本课时重在引领学生认识正比例函数的概念、图象的画法和应用性质的基本步骤，为后续学习指明方向和打下坚实的基础，利于研究更复杂的具体函数．教学中引导学生观“形”识“信息”，逐步形成读图能力以及解题能力．
19．2.2　一次函数
第1课时　一次函数的概念
教学目标
【知识与技能】
1．理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系．
2．能根据问题给出的信息写出一次函数的表达式，能利用一次函数解决简单的问题．
【过程与方法】
在探究过程中，发展抽象思维及概括能力，体验特殊和一般的辩证关系．
【情感态度】
经历利用一次函数解决实际问题的过程，逐步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力．
【教学重点】
1．一次函数的概念．
2．根据已知信息写出一次函数的表达式．
【教学难点】
理解一次函数的定义及与正比例函数的关系．
教学过程
一、情境导入，初步认识
引导学生一起回忆函数、正比例函数的概念和两者间的关系．
【问题】某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃，试用函数解析式表示y与x的关系．
【分析】y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6x ℃，因此y与x的函数解析式为y＝5－6x，变形可写成y＝－6x＋5.
【教学说明】
找出y与x的关系式后，引导学生观察这个函数式是不是正比例函数，它的形式与正比例函数解析式有什么异同？由学生共同讨论．
二、思考探究，获取新知
学生思考下列问题，写出对应的函数解析式：
(1)有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t(单位： ℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差．
(2)一种计算成年人标准体重G(单位：千克)的方法是：以厘米为单位量出身高值h，h再减常数105，所得差是G的值．
(3)把一个长10 cm，宽5 cm的长方形的长减小x cm，宽不变，长方形的面积y(单位： cm2)随x的变化而变化．
解：(1)c＝7t－35(20≤t≤25)；
(2)G＝h－105；
(3)y＝－5x＋50(0≤x≤10)．
【教学说明】
让学生观察所写解析式的特点，并让学生认识到：各小题表示变量的字母虽然不同，但结构相同．变量间对应关系反映出了一种函数形式，与所取符号无关，找出这些式子的共同点，才能概括出一般规律．
【归纳总结】
(1)一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数．
(2)当b＝0时，得y＝kx，故正比例函数是一次函数的特例．
三、典例精析，掌握新知
【例1】下列函数中哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
①y＝－2x；　②－；　③y＝2x2－3；
④y＝x＋2.
解：①④是一次函数，①是正比例函数．
【教学说明】
一次函数包括正比例函数．
【例2】某校校办工厂的现有年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，由此可知，年产值发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果年数用x(年)表示，年产值用y(万)元表示，那么y与x之间有什么样的关系？
(3)当年数由1年增加到5年时，年产值是怎样变化的？
【分析】由题意可知，现有年产值是15万元，以后每年增加2万元，可见，年数乘以2万元即为增加的产值．
解：(1)在这个变化过程中，自变量是年数，因变量是年产值．
(2)y＝2x＋15.
(3)当年数由1年增加到5年时，年产值由17万元增加到25万元．
【例3】托运行李P千克(P为整数)的费用为c元，已知托运第一个1千克须付2元，以后每增加1千克(不足1千克的按1千克计)须增加费用5角，写出c与P的关系式，并计算出托运5千克行李的托运费．
【分析】因为P千克可写成(P－1)＋1，其中1千克付费2元，P－1千克增加费用0.5(P－1)元，所以c＝2＋0.5(P－1)＝0.5P＋1.5.
解：c＝2＋0.5(P－1)＝0.5P＋1.5.
当P＝5时，c＝0.5×5＋1.5＝4，即5千克行李的托运费是4元．
【教学说明】
在写关系式时，应注意(P－1)千克是增加的重量．类似的问题还有用水、用电、话费结算等，它们都是以分段形式收费的．
四、运用新知，深化理解
1．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米/秒．
(1)求小球速度v随时间t变化的函数关系式，它是一次函数吗？
(2)求第2.5秒时小球的速度．
解：(1)v＝2t，是一次函数；
(2)第2.5秒时小球的速度是5米/秒．
2．汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y(单位：升)随行驶时间x(单位：时)变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，y是x的一次函数吗？
解：y＝50－5x，0≤x≤10，y是x的一次函数．
3．气温随着高度的增加而下降，下降的一般规律是从地面到高空11 km处，每升高1 km，气温下降6 ℃.高于11 km时，气温几乎不再变化．设地面的气温为38 ℃，高空中x km的气温为y ℃.
(1)当0≤x≤11时，求y与x的关系式；
(2)求当x＝2，5，8，11时y的值；
(3)求在离地面13 km的高空处，气温是多少度？
(4)当气温是－16 ℃时，问在离地面多高的地方？
解：(1)0≤x≤11时，y与x之间的关系式为y＝38－6x.
(2)y的值分别为26，8，－10，－28.
(3)气温是－28 ℃.
(4)离地面9 km高的地方．
【教学说明】
上述问题由学生思考并得出结果．
五、师生互动，课堂小结
【问题1】反思函数、正比例函数、一次函数的概念及它们间的关系．
【问题2】就本节课所学、所想、所思、所获，交流体会．
【教学说明】
引导学生用语言表述个人见解，指导获取正确清晰的知识点和知识间联系．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时重点是引领学生从整体的高度把握一次函数与正比例函数的概念间的关系，教师应选取适当的材料帮助学生从不同的角度认识这个知识点，并通过一定的练习指导学生巩固认识．教学中可重点指导学生表述、交流个人体会，再互相分析，在师生的共同探讨中逐步抓住知识的本质，再鼓励学生主动地应用于解决问题过程中，获得实际应用能力．
第2课时　一次函数的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
1．理解直线y＝kx＋b与直线y＝kx之间的位置关系．
2．会选择两个合适的点画出一次函数的图象．
3．掌握一次函数的性质．
【过程与方法】
1．通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程．
2．通过分析一次函数的图象归纳函数的性质，体验数形结合思想的应用．
【情感态度】
通过画函数的图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形内在的联系，感受函数的简洁美．
【教学重点】
一次函数的图象和性质．
【教学难点】
由一次函数图象归纳出一次函数的性质．
教学过程
一、情境导入，初步认识
根据画图象的基本步骤，要求学生分别画出y1＝2x＋1和y2＝－2x＋1的图象．
【教学说明】
因为y1＝2x＋1和y2＝－2x＋1都是常数项不等于零的一次函数，它们的图象是直线，可分别取两个特殊点描点画出．列表：
x
0
－0.5
y1
1
0
x
0
0.5
y2
1
0
画得图象如图所示．
【归纳总结】
画一次函数y＝kx＋b(k，b≠0)的图象，通常选取该直线与y轴的交点(横坐标为0的点)和直线与x轴的交点(纵坐标为0的点)，由两点确定一条直线画出图象，这两点分别是(0，b)、(－，0)．
直线y＝kx＋b(k≠0)中的k和b决定着直线的位置．
(1)当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限．
(2)当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限．
(3)当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限．
(4)当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限．
二、思考探究，获取新知
根据所画图象，师生共同总结一次函数图象的增减性．
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大．
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小．
【例1】已知关于x的函数y＝(m－1)x|m|＋n－3.
(1)当m和n取何值时，该函数是关于x的一次函数？
(2)当m和n取何值时，该函数是关于x的正比例函数？
【分析】(1)根据一次函数的定义可知：|m|＝1，且m－1≠0，故m＝－1，且n为全体实数；(2)根据正比例函数的定义可知，在(1)的条件下还要满足n－3＝0，故m＝－1，n＝3.
【教学说明】
(1)一次函数y＝kx＋b中k≠0，kx＋b为x的一次二项式，正比例函数是特殊的一次函数，b＝0，是过原点的直线．
(2)根据函数的定义求值时既要讨论自变量x的系数和指数，还要考虑b的值．
【例2】已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(m－4)，y随x的增大而增大，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，求m的取值范围．
【分析】根据一次函数的特征可知 解得－2＜m＜4.
【教学说明】
审视本题，由一次函数的条件可得到：6＋3m≠0，m－4≠0；由y随x的增大而增大，得到6＋3m＞0；由函数图象与y轴交点在y轴的负半轴上得m－4＜0，再综合所有因素求出结果．
【例3】 直线l1和直线l2在同一直角坐标系中的位置如图所示，点P1(x1，y1)在直线l1上，点P3(x3，y3)在直线l2上，点P2(x2，y2)为直线l1, l2的交点，其中x2＜x1, x2＜x3，则(　A　)
A．y1＜y2＜y3　　　　　　B．y3＜y1＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】由于题设没有给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象．观察直线l1知，y随x的增大而减小，因为x2＜x1，则有y2＞y1；观察直线l2知，y随x的增大而增大，因为x2＜x3，则有y2＜y3，故y1＜y2＜y3，故选A.
【教学说明】
本题借助函数图象特征，利用一次函数的性质，由自变量取值的大小关系来确定函数值的大小关系，从而使问题得到解答．
三、运用新知，深化理解
1．下列一次函数中，y随x值的增大而减小的是(　B　)
A．y＝2x＋1 B．y＝13－4x
C．y＝ x＋21 D．y＝(7＋1)x
2．已知一次函数y＝mx＋|m＋1|的图象与y轴交于点(0，3)，且y随x值的增大而增大，则m的值为(　A　)
A．2 B．－4
C．－2或－4 D．2或－4
3．已知一次函数y＝mx－(m－2)过原点，则m的取值范围为(　C　)
A．m＞2 B．m＜2
C．m＝2 D．不能确定
4．下列关系：①面积一定的长方形的长s与宽a；②圆的周长s与半径a；③正方形的面积S与边长a；
④速度一定时行驶的路程s与行驶时间a，其中s是a的正比例函数的有(　B　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．函数y＝kx＋b的图象平行于直线y＝－2x，且与y轴交于点(0，3)，则k＝__－2__，b＝__3__．
6．已知点A(a＋2，1－a)在函数y＝2x－1的图象上，求a的值．
解：a＝－
【教学说明】
上面的习题检测本节的基本知识点，可由学生独立完成后再由教师指导加以修正，同时鼓励学生由题总结规律，如由第5题归纳出：“两直线平行?k相等”的结论．
四、师生互动，课堂小结
要求学生间互相提出与本节相关的问题，并由同组同学解答、补充．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时可遵循“画——读——用”的教学流程，使整堂课是在教师的指导下由学生全程动手、观察、发现并实践于实际解题的方式进行，指导学生认识“由数到形”，“由形到数”的数学方法，培养解决问题、研究问题的基本素质，利于加强研究更复杂知识的能力．
第3课时　用待定系数法求一次函数解析式
教学目标
【知识与技能】
1．学会用待定系数法确定一次函数解析式．
2．了解两个条件确定一个一次函数，一个条件确定一个正比例函数．
【过程与方法】
1．经历待定系数法的应用过程，提高解决数学问题的能力．
2．体验一次函数中数形结合思想的运用．
【情感态度】
能把实际问题与数学问题相互转化，认识数学与生活的密切关系．
【教学重点】
待定系数法确定一次函数解析式．
【教学难点】
灵活运用有关知识解决实际问题．
教学过程
一、情境导入，初步认识
已知两个函数的图象如图所示，请根据图象写出每条直线的表达式．
【教学说明】
从图象知，图1中直线表示的是正比例函数，其解析式为y＝kx形式，关键是如何求出k的值；由图可知图象过点(1，2)，所以该点坐标必适合解析式，将坐标代入y＝kx即可求出k的值．
图2中直线表示的是一次函数，其解析式为y＝kx＋b形式，代入直线上两点坐标(2，0)与(0，3)，通过解方程组即可求出k、b，确定解析式．
学生讨论后，由教师小结．
确定正比例函数解析式需要1个条件，确定一次函数的解析式需要2个条件，先设出相应的解析式，然后将条件代入得到方程或方程组，求解后确定解析式．
二、思考探究，获取新知
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法．
【例1】已知正比例函数的图象经过点(－4，3)，求它的解析式．
【分析】求解正比例函数的解析式，我们可以首先设它的解析式为y＝kx，根据已知条件，求解出k的值即可．根据这个正比例函数图象经过点(－4，3)，意味着当x＝－4时，y＝3，从而得到k的值．
解：由题意可知3＝－4k，k＝－，所以这个正比例函数解析式为y＝－x.
【例2】点A(－1，3)，B(1，－1)，C(3，－5)是否在同一条直线上？
解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b，由题意得解得∴直线AB∶y＝－2x＋1；当x＝3时，y＝－2×3＋1＝－5，∴点C(3，－5)在直线AB上，因此，A、B、C三点共线．
【教学说明】
本题的实质是先求出过其中的两点确定的一条直线，再把第三点坐标代入直线解析式，如果该点坐标符合解析式，则表明该点在这条直线上，否则三点就不共线．
【例3】 一次函数y＝kx＋4的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，O为坐标原点，且△AOB的面积为4，求一次函数的解析式．
【分析】由于k的符号不确定，我们无法画出一次函数的大致图象，但由于题目的信息非常明确，而且条件也非常简单，由此希望同学们能够练成“纸上无图象，而心中有图象”的境界，我们分别用含k的代数式表示A、B两点的坐标，再把坐标转化为线段OA、OB的长度，根据△AOB的面积进而求出k的值．
解法一：令x＝0，y＝4，∴B(0，4)，OB＝4.令y＝0，x＝－，∴A(－，0)，∴OA＝||(一定要注意绝对值符号)．∵S△AOB＝4，∴OA·OB＝4，即||·4＝4，∴k＝±2，∴一次函数的解析式为y＝±2x＋4.
【教学说明】
解决问题时，应优先利用一些简单明了的条件．显然一次函数y＝kx＋4与y轴交于点(0，4)，与k无关，从这一条件入手，我们也应有如下思路及解答．
解法二：令x＝0，y＝4，∴B(0，4)，OB＝4.∵S△AOB＝4.∵OA·OB＝4，∴OA＝2，∵点A在x轴上．[要把OA的长度转化为A点的坐标，要注意点A到底在x轴的正半轴上还是在负半轴上]∴A(2，0)或A(－2，0)．当A(2，0)时，0＝2k＋4，k＝－2，当A(－2，0)时，0＝－2k＋4，k＝2，∴一次函数解析式为y＝±2x＋4.
三、运用新知，深化理解
1．已知A是某正比例函数图象上一点，且点A在第二象限，作AP⊥x轴于P，AQ⊥y轴于Q，且AP＝3，AQ＝4，求正比例函数的解析式．
解：∵点A在第二象限，AP＝3，AQ＝4，∴A(－4，3)．设该正比例函数解析式为y＝kx，则3＝－4k，解得k＝－，所以这个正比例函数的解析式为y＝－x.
2．已知一次函数y＝2x＋m与x轴交于点A，与y轴交于点B，O是坐标原点，且S△AOB＝4，求一次函数的解析式．
【教学说明】
上面两个习题对本节知识进行了拓展，教师应引导、鼓励学生自主解答，再互相交流，并由教师对在黑板上完成的结果进行评点．
解：令x＝0，y＝m，∴B(0，m)，OB＝|m|，令y＝0，x＝－，则A(－，0)，OA＝||，S△AOB＝4，∴OA·OB＝4，×||·|m|＝4，m2＝4，m2＝16，∴m＝±4.∴一次函数的解析式为y＝2x±4.
四、师生互动，课堂小结
根据下列框图引导学生总结．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
本课时由图象上点的坐标求函数解析式，可利用图象的画法等已有经验认识到图象上点的坐标决定着解析式形式，这体现了“以旧推新”的方法，再引导学生由两个特殊点坐标求得一次函数解析式，从而形成用待定系数法求函数解析式的技能，增加对“数形结合”思想的理解．
第4课时　分段函数
教学目标
【知识与技能】
1．能根据不同情况了解分段函数的含义．
2．了解简单的分段函数，并能运用分段函数解决函数值的问题．
3．能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题．
【过程与方法】
1．通过对例题的探究，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性．
2．经过训练题和课堂学习，加深对分段函数的概念、图象的认识、应用，提高分析、解决问题的能力．
【情感态度】
学习过程中进一步体会发现规律、应用规律的乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲，感悟数学的美．
【教学重点】
1．理解分段函数的含义及会作分段函数的图象．
2．利用分段函数解决日常生活中的实际问题．
【教学难点】
1．分段函数与一般函数的区别与联系．
2．如何作分段函数的图象．
3．分段函数的实际应用．
教学过程
一、情境导入，初步认识
1．作出函数y＝2x＋1(x＞0)的图象，命名为图1.
2．在同一直角坐标系中，作出函数y＝2x＋1(x＞1)的图象，命名为图2.
【教学说明】
作出的两个图象是什么样的函数图象？和以前学的函数图象有何差别？图1和图2是否可以作为某个函数的图象？图1与图2有怎样的区别与联系？
让学生发现虽然有两个解析式，但是仍是同一个函数，引出分段函数的定义．
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数．
二、思考探究，获取新知
【例】小芳以200米/分的速度起跑后，先加速跑5分钟，每分钟提高速度20米，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她的跑步速度y(单位：米/分)随跑步时间x的(单位：分)变化的关系式，并画出函数图象．
【分析】本题y随x变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟．写y随x变化的函数关系式时要分成两段来写，且要注意各自变量的取值范围．
解：(1)跑步速度y与跑步时间x的函数关系式为：y＝
(2)函数图象如图所示．
【教学说明】
把简单的实际问题转化为数学问题(函数模型)；利用数学方法来解决有关实际问题．
三、运用新知，深化理解
为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6 m3时，水费按0.6元/立方米收费，超过6 m3时，超过部分每立方米按1元收费，每户每月用水量为x m3，应缴水费y元．
(1)写出每月用水量不超过6 m3和超过6 m3时，y与x之间的函数关系式．
(2)已知某户5月份用水量为8 m3，求该用户5月份的水费．
【教学说明】
上面的习题对本节知识进行了拓展，教师应引导、鼓励学生自主解答，再互相交流，并由教师对完成的结果进行点评．
解：(1)
(2)当x＝8时，y＝5.6，故该用户5月份的水费为5.6元．
四、师生互动，课堂小结
今天你学到了什么？有哪些收获？
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时的练习．
教学反思
本课时学习的分段函数，可利用数形结合的思想，引导学生找到解题的思路，提高解决实际问题的能力．
19．2.3　一次函数与方程、不等式
教学目标
【知识与技能】
1．理解一次函数与方程、不等式的关系．
2．会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题．
【过程与方法】
学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想．
【情感态度】
经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题．
【教学重点】
一次函数与方程、不等式关系的应用．
【教学难点】
一次函数与方程、不等式关系的理解．
教学过程
一、情境导入，初步认识
探究：
1．解方程2x＋20＝0.
2．在平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x＋20的图象．
【问题1】直线y＝2x＋20与x轴交点的横坐标是方程2x＋20＝0的解吗？为什么？
【问题2】这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判．
【归纳总结】
从“数”的角度看，方程2x＋20＝0的解是x＝－10；从“形”的角度看，直线y＝2x＋20与x轴交点的坐标是(－10，0)，这也说明，方程2x＋20＝0的解是x＝－10.
由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值．
二、思考探究，获取新知
【问题1】一个物体现在的速度是5 m/s，其速度每秒增加2 m/s，再过几秒它的速度为17 m/s?
思考：(1)本题的相等关系是什么？
(2)设再过x秒物体的速度为17 m/s，能否列出方程？
(3)如果速度用y表示，那么能否列出函数关系式？
(4)上面不同的解法各有何特点？
解法1　设再过x秒物体速度为17 m/s.由题意可知：2x＋5＝17，解得x＝6.
解法2　速度y(m/s)是时间x(s)的函数，关系式为y＝2x＋5.当函数值为17时，对应的自变量x值可得2x＋5＝17，求得x＝6.
解法3　由2x＋5＝17可变形得到2x－12＝0. 从图象上看，直线y＝2x－12与x轴的交点为(6，0)．故x＝6.
【问题2】1.解不等式5x＋6＞3x＋10.
【思考】不等式5x＋6＞3x＋10可以转化为ax＋b＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？
2．当自变量x为何值时函数y＝2x－4的值大于0?
【思考】上述两个问题是同一个问题吗？
3．问题2能用一次函数图象说明吗？
【教学说明】
引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：(1)在问题1中，不等式5x＋6＞3x＋10可以转化为2x－4＞0，解这个不等式得x＞2.
(2)解问题2就是要不等式2x－4＞0，得出x＞2时函数y＝2x－4的值大于0.因此它们是同一问题．
(3)如图，函数y＝2x－4与x轴的交点为(2，0)，且这个函数的y随着x的增大而增大，故要求当函数y＝2x－4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x轴上方时的x的值即可，由图可知，当x＞2时，函数y＝2x－4的值大于0.
【问题3】试用一次函数图象法求解从中总结你的体会．
【归纳总结】
上面的方程组可以转化为其本质是求当x为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线y＝－x＋与y＝2x－1的交点坐标．
三、运用新知，深化理解
【例1】若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？
【分析】(1)一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值．(2)确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x＝0和y＝0解方程求得．
解：设直线y＝kx＋6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y＝0，得x＝－；令x＝0，得y＝6.∴A(－，0)，B(0，6)，∴OA＝|－|，OB＝6，∴S＝OA·OB＝|－|×6＝24，|k|＝，∴k＝±.
【教学说明】
教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形的面积是24来构造方程．
【例2】已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，求：
(1)当x为何值时，kx＋b＞0；
(2)当x为何值时，kx＋b＝0；
(3)当x为何值时，kx＋b＜0.
解：(1)当x＜3时，kx＋b＞0；
(2)当x＝3时，kx＋b＝0；
(3)当x＞3时，kx＋b＜0.
【教学说明】
寻找kx＋b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y＝kx＋b的图象在x轴的上方；寻找kx＋b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y＝kx＋b的图象在x轴的下方．
【例3】用作图象的方法解方程组
【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解．
解：由x＋y＝3，可得y＝3－x.由3x－y＝5，可得y＝3x－5.在同一直角坐标系内作出一次函数y＝3－x的图象l1和y＝3x－5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P(2，1)．所以，方程组的解是
四、运用新知，深化理解
1．如图，已知直线y＝kx－3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点的坐标．
【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y＝kx－3中的k，这由直线过点M(－2，1)求得．
解：由图象可知，点M(－2，1)在直线y＝kx－3上，∴－2k－3＝1，解得k＝－2，∴此直线的解析式为y＝－2x－3.当y＝0时，可得x＝－，∴直线与x轴交于(－，0)．当x＝0时，可得y＝－3，
∴直线与y轴交于(0，－3)．
2．用画函数图象的方法解不等式3x＋2＞2x＋1.
【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解．
解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝3x＋2和直线y＝2x＋1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为－1，当x＞－1时，直线y＝3x＋2在直线y＝2x＋1的上方，即不等式3x＋2＞2x＋1的解集为x＞－1.
　　
解法二：原不等式也可以化为x＋1＞0，画出y＝x＋1的图象，如图2，可以看出当x＞－1时这条直线上的点在x轴的上方，即y＝x＋1＞0，所以不等
式的解集为x＞－1.
3．如图所示，直线l1∶y＝2x－4与x轴交于点A，直线l2∶y＝－3x＋1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积．
解：l1∶y＝2x－4，令y＝0，x＝2，则A(2，0)，l2∶y＝－3x＋1，令y＝0，x＝，则B(，0)，则AB＝，由解得
∴P(1，－2)，则点P到直线AB的距离为2，∴S△APB＝××2＝.
【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可．
【教学说明】
下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解．
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些知识，还存在哪些不足结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：
从数的角度看：
?
从形的角度看：
?
反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集，理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系，掌握图象法解二元一次方程组的步骤．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题19.2”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解，应从不同角度(如练习，讨论交流)帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力．