第八章
立体几何初步
8.5.2直线与平面平行(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知直线l和平面α，若，，则过点P且平行于l的直线（
）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，一定不在平面α内
2．如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则
A．
B．
C．
D．以上均有可能
3．下列结论：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.
其中正确结论的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
5.如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平行与平面MNQ的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是(
)
A．
B．平面
C．平面
D．平面
8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(
)
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.
①；②；③
10．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC为___________形，其周长为___________．
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
13．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，
求证：BC1∥平面CA1D.
14．如图，在三棱柱中，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，.若平面，试判断点的位置.第八章
立体几何初步
8.5.2直线与平面平行(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知直线l和平面α，若，，则过点P且平行于l的直线（
）
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，一定不在平面α内
【答案】B
【解析】假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾,
故选:B
2．如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则
A．
B．
C．
D．以上均有可能
【答案】B
【解析】四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．故选：B．
3．下列结论：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.
其中正确结论的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.故选：B．
4．如图，在下列四个正方体中，，，，，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面
B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：
C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,
如图：
D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,
如图：
故选：A．
5.如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A，如下图所示，连接，
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于选项B，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于选项C，连接，如下图所示：
在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于选项D，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，
若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
、分别为、的中点，则，且，
则，，
则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB平行与平面MNQ的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A满足题意；
对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B满足题意；
对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C满足题意；
对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，不满足题意.故选：ABC
7．如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是(
)
A．
B．平面
C．平面
D．平面
【答案】ABC
【解析】由题意知,是的中位线,,故正确;平面,平面,平面,故正确;同理,可得平面,故正确;与平面和平面都相交,故不正确.
故选：ABC．
8．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(
)
【解析】选项B中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；选项C中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；选项D中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ.
故选:BCD．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.
①；②；③
【答案】
【解析】①，或，由；
②，，；
③，或，由．故答案为：．
10．如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC为___________形，其周长为___________．
【答案】梯形
【解析】因为AB=BC=CD=DA=2，所以四边形ABCD是菱形，所以CD∥AB，
又CD?平面SAB，AB?平面SAB，所以CD∥平面SAB.又CD?平面CDEF，平面CDEF∩平面SAB=EF，所以CD∥EF，则四边形DEFC为梯形，又EF∥AB.又因为E为SA中点，所以EF=AB=1.因为△SAD和△SBC都是等边三角形，所以DE=CF=2×sin60°=，所以梯形DEFC的周长为：CD+DE+EF+FC=.故答案为：梯形
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，则的值为________
【答案】3
【解析】如下图所示，设交于点，连接，
为的中点，则.由于四边形是平行四边形，，，，，因为平面，平面，平面平面，所以，.
故答案为:3
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
【答案】证明见解析
【解析】 如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.
∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.
又∵AB＝CD，∴PMQN，
∴四边形PMNQ是平行四边形，
∴PQ∥MN.
又∵PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
13．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，
求证：BC1∥平面CA1D.
【解析】连接AC1，设AC1∩A1C＝E，则E为AC1的中点，又D为AB的中点，∴DE∥BC1．
∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC.
14．如图，在三棱柱中，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，.若平面，试判断点的位置.
【答案】证明见解析
【解析】由题意知平面，过作平面交于，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以.
因为平面平面，
平面平面，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
而，
所以，
故是的中位线.
所以是的中点时，平面.
