第七章 天体运动中的三种典型问题复习学案Word版含答案

天体运动中的三种典型问题
一、近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题
1．同步卫星和赤道上物体：角速度相同，同步卫星轨道半径大，则线速度大。
2．同步卫星和近地卫星：向心力都是由万有引力提供，是轨道半径不同的两个地球卫星，都满足v＝，因此近地卫星的速度大。
3．近地卫星和赤道上物体：做圆周运动的半径相同，由1、2结论可知，近地卫星的线速度最大。
4．特别注意：赤道上物体的向心力由万有引力和支持力的合力提供，所以G＝m不适用。
例1　a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为a1；b处于近地轨道上，运行速度为v1；c是地球同步卫星，离地心距离为r，运行速度为v2，加速度为a2；d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为R，则有(　C　)
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．d的运动周期有可能是20小时
C．＝
D．＝
[解析]　本题考查地球表面的物体与卫星做圆周运动时的区别和联系。同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大。由＝ma可知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由开普勒第三定律＝k，知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运行周期大于c的周期24 h，故B错误；由a＝ω2r得，＝，故C正确；由＝得v＝，所以＝，故D错误。
名师点拨　卫星与赤道上物体运行问题解题技巧
同步卫星是近地卫星与赤道上物体的联系桥梁，同步卫星与近地卫星符合相同规律，轨道半径越大，周期T越大，线速度v，角速度ω，向心加速度an越小；同步卫星与赤道上物体有相同的角速度ω和周期T。
二、卫星的变轨与对接问题
1．卫星的变轨
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
万有引力与 向心力的关系 Gm
轨迹变化 由圆变为外切椭圆，或由椭圆变为外切圆 由圆变为内切椭圆，或由椭圆变为内切圆
速度和加 速度变化 两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度
2．卫星的对接
在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接。同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接。
例2　(多选)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨，进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q落月，如图所示。关于“嫦娥四号”，下列说法正确的是(　AD　)
A．沿轨道Ⅰ运动至P时，需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C．沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度
D．在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变
[解析]　要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，需制动减速做近心运动，A正确；由开普勒第三定律知，沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期，B错误；根据牛顿第二定律，有G＝ma，解得a＝G，沿
轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度小于在Q点的加速度，C错误；月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球，所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中，万有引力对其做正功，它的动能增加，重力势能减小，机械能不变，D正确。
名师点拨　卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析
(1)速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1，v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA，vB。在A点加速由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ，则vA>v1，在B点加速由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1，T2，T3，轨道半径分别为r1，r2(半长轴)，r3，由开普勒第三定律＝k可知T1(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ轨道的机械能分别为E1，E2，E3，则E1三、卫星的追及相遇问题
某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
例3　(2021·安徽池州联考)A、B两颗人造地球卫星在同一个平面内同向做匀速圆周运动，B星的轨道半径大于A星的轨道半径。A星绕地球做圆周运动的周期为2小时，经观测每过t小时A、B两颗卫星就会相遇(相距最近)一次。则A、B两颗卫星的轨道半径之比为(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
[解析]　本题考查不同轨道卫星相距最近时的轨道半径关系的情况。A星运动的周期为T1＝2 h，轨道半径为r1，设B星运动周期为T2，轨道半径为r2，经过t小时A、B两卫星就会相遇一次，表明A星比B星多转一圈，有(－)t＝2π，解得T2＝小时；根据开普勒第三定律＝，得A、B两卫星的轨道半径之比为，选项D正确，A、B、C错误。
〔专题强化训练〕
1．(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球同步卫星线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则以下结论正确的是(　BCD　)
A．＝　 B．＝
C．＝49　 D．＝
[解析]　近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝ ，两卫星的轨道半径之比为1︰7，所以＝，故A错误；地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度，根据v＝ωr，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1︰7，所以＝，故B正确；根据万有引力提供向心力得G＝ma，a＝，两卫星的轨道半径之比为1︰7，则＝49，C正确；同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，根据a＝rω2，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1︰7，所以＝，故D正确。
2．(2020·苏州期中)(多选)如图所示，人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，然后在A点(近地点)点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在点B(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。关于卫星的发射和变轨，下列说法正确的是(　CD　)
A．卫星在圆轨道Ⅰ上运行时的向心加速度和周期大于在圆轨道Ⅲ上的向心加速度和周期
B．卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，动能减小，重力势能增大，机械能守恒
C．若卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，经过A点时的速度大于经过B点时的速度
D．如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则在该轨道上运行的任何卫星，其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同
[解析]　本题考查卫星变轨问题及不同轨道卫星运行参数的比较。根据卫星的运行规律，有G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可得v＝，ω＝，T＝ ，a＝，可知轨道半径越大，卫星的线速度、角速度以及向心加速度越小，周期越大，A错误；卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，变轨需要点火加速，因此机械能不守恒，故B错误；卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行，根据开普勒第二定律可知，近地点的速度大，则卫星经过A点时的速度大于经过B点时的速度，故C正确；如果圆轨道Ⅲ是地球同步卫星轨道，则卫星定位在赤道上空，因此在该轨道上运行的任何卫星，其角速度都和在地面上静止物体的角速度相同，故D正确。
3．(多选)如图所示，A、B两卫星绕地球运行，运动方向相同，此时两卫星距离最近，其中A是地球同步卫星，轨道半径为r。地球可看成质量均匀分布的球体，其半径为R，自转周期为T。若经过时间t后，A、B第一次相距最远，下列说法正确的是(　AC　)
A．在地球两极，地表重力加速度是
B．卫星B的运行周期是
C．卫星B的轨道半径是r
D．若卫星B通过变轨与A对接之后，B的机械能可能不变
[解析]　本题考查卫星的追及、相遇问题。对于卫星A，根据万有引力提供向心力，可得G＝mr，可得地球的质量M＝，在地球两极，根据万有引力等于重力，可得m′g＝G，联立解得g＝，故A正确；卫星A的运行周期等于地球自转周期T，设卫星B的周期为T′。当卫星B比卫星A多转半周时，A、B第一次相距最远，则有t－t＝π，解得T′＝，故B错误；根据开普勒第三定律得＝，解得rB＝r，故C正确；卫星B通过变轨与A对接，则需要在原轨道上进行加速，使万有引力不足以提供向心力，做离心运动，则卫星B的机械能增大，故D错误。