湘教版八年级下学期复习专题8 矩形的性质与判定（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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初中数学湘教版八年级下学期复习专题8
矩形的性质与判定
一、单选题
1.下列四边形对角线相等但不一定垂直的是（??
）
A.?矩形????????????????????????????????B.?平行四边形????????????????????????????????C.?菱形????????????????????????????????D.?正方形
2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（???
）
A.?对角线相等?????????????B.?两组对边分别平行?????????????C.?对角线互相平分?????????????D.?两组对角分别相等
3.如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（?
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?无法确定
4.如图，矩形ABCD的对角线交于点O．若∠BAO=55°，则∠AOD等于(???
)
?
A.?110°????????????????????????????????????B.?115°????????????????????????????????????C.?120°????????????????????????????????????D.?125°
5.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成2和3两部分,则该矩形的周长是(??
).
A.?12??????????????????????????????????????B.?14??????????????????????????????????????C.?16??????????????????????????????????????D.?14或16
6.如果依次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形，那么原来的四边形的两条对角线（??
）
A.?相等??????????????????????????B.?互相垂直??????????????????????????C.?互相平分??????????????????????????D.?互相平分且相等
7.在四边形ABCD中，对角线
互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
8.下列命题中，真命题是(???
)
A.?对角线互相平分且相等的四边形是矩形???????????????B.?对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C.?对角线互相平分的四边形是矩形?????????????????????????D.?对角线互相垂直的四边形是矩形
9.在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是（??
）
A.?测量对角线是否互相平分???????????????????????????????????B.?测量两组对边是否分别相等
C.?测量一组对角是否为直角???????????????????????????????????D.?测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等
10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(???
)
A.?①②③????????????????????????????????B.?②③④????????????????????????????????C.?②⑤⑥????????????????????????????????D.?④⑤⑥
二、填空题
11.在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长是________.
12.在矩形
中,
与
相交于点
，
,那么
的度数为，________．
13.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.
在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是________．
14.在平行四边形
中，若再增加一个条件________，使平行四边形
能成为矩形（填写一个你认为正确的即可）．
15.在四边形ABCD中，对角线AC
，
BD交于点O且AC
，
BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是________(填写一个即可)．
三、解答题
16.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若
AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
17.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
18.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D、C分别作AC、BD的平行线，交于点E.
求证：四边形ODEC为矩形；
19.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．
四、综合题
20.如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF.
（1）求证：AF＝CE；
（2）若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
21.如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
（1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
22.如图，在?ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E、F在对角线BD上，点E从点B出发以1个单位每秒的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形．
（2）求t为何值时，四边形AECF为矩形．
23.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
解：矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直。
故答案为：A.
2.【答案】
A
解：A、对角线相等是矩形的性质，平行四边形不具有；
B、两组对边分别平行是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
C、对角线互相平分是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
D，两组对角分别相等是平行四边形的性质，也是矩形的性质；
故答案为：A.
3.【答案】
C
解：连接OP，
∵矩形ABCD，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，OA=OD=OC
在Rt△ABC中，
∴OA=OD=5；
∴S矩形ABCD=6×8=48，
∴S△AOD=S矩形ABCD=×48=12；?
∵S△AOD=S△AOP+S△POD=
∴
解之：PE+PF=4.8.
故答案为：C
4.【答案】
A
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠OAB=∠OBA=55°，∠AOD=∠OAB+∠OBA=55°+55°=110°.
故答案为：A
5.【答案】
D
解：如图，BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∴AB=AE，
当AE=2，DE=3时，
∴AD=AE+DE=5，AB=AE=2，
∴
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+2）=14，
当AE=3，DE=2时，AD=AE+DE=5，AB=AE=3，
矩形的周长为2（AD+AB）=2（5+3）=16，
故答案为：14或16.
6.【答案】
B
解：顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形．
如图：
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF∥GH∥DB，EF=GH=
?DB，
EH=FG=
?AC，EH∥FG∥AC，
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH
∴四边形EFGH是矩形．
故答案为：B．
7.【答案】
A
解：∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴（1）当添加∠ABC=90°时，能使平行四边形ABCD是矩形；（2）当添加AC⊥BD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（3）当添加AB=CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；（4）当添加AB∥CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
故答案为：A.
8.【答案】
A
解：A选项，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合题意，正确；
B选项，对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，不符合题意，错误；
C选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意，错误；
D选项，对角线互相垂直的四边形是矩形，不符合题意，错误。
故答案为：A。
9.【答案】
D
A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；
D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
故答案为：D.
10.【答案】
C
解：A、①AB∥CD；②AB=DC可判定四边形是平行四边形，在加上③AC=BD可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判断，故不符合题意；
B、②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°，可根据题意判断出△BCD≌△CBA(SSS),进而得出四边形是矩形进行判定，故不符合题意；
C、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加②AB=DC也不能判定是矩形，故符合题意；
D、⑤OA=OC；⑥OB=OD可判定四边形是平行四边形，再加④∠ABC=90°可根据一个角为直角的平行四边形是矩形进行判定，故不符合题意。
故答案为：C
二、填空题
11.【答案】
4
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OA=2，
∴BD=4.
故答案为：4.
12.【答案】
解：∵四边形
是矩形
∴OA=OC=OB=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，
∴
=
∠AOB=
×46°=23°
即
=23°．
故答案为：23°.
13.【答案】
（或
或
）（说明：答案有三类:一是一个内角为直角；二是相邻两角相等；三是对角互补）
解：添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
14.【答案】
或
解：∵有一个角为
的平行四边形为矩形；对角线相等的平行四边形为矩形
∴可增加一个条件是：
或
.
15.【答案】
AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
故答案为：AC=BD或四边形ABCD有1个内角等于90度．
三、解答题
16.【答案】
解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB=
AC=3，
由勾股定理得：BC=3
，
∴AB=DC=3，AD=BC=3
，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6
，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3
=9
解：根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，求出AC=BD=2AO=6，OB=OC，求出AB、BC，最后求出周长和面积即可.
17.【答案】
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OD=OC，
∴四边形OCDE是菱形
18.【答案】
证明：∵过点D、C分别作AC、BD的平行线，相交于点E.
∴DE∥OC，DO∥CE，
∴四边形ODEC是平行四边形.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即∠DOC=90°，
∴四边形ODEC是矩形.
19.【答案】
证明：∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
∵
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN．
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形．
又∵∠BAN=90度，
∴四边形ADCN是矩形
四、综合题
20.【答案】
（1）证明：在△ADF和△CDE中，∵AF∥BE，∴∠FAD＝∠ECD.又∵D是AC的中点，∴AD＝CD.∵∠ADF＝∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE.
（2）证明：若AC＝EF，则四边形AFCE是平行四边形．由(1)知AF∥CE，AF＝CE，∴四边形的AFCE是平行四边形，又∵AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形
21.【答案】
（1）解：在等边三角形ABC中，
∵点D是BC边的中点，∴∠DAC＝30°.
又∵△ADE为等边三角形，∴∠DAE＝60°.
∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°
（2）解：由(1)知，∠EAF＝90°，
由F为AB的中点知，∠CFA＝90°，∴CF∥EA.
在等边三角形ABC中，CF＝AD.
在等边三角形ADE中，AD＝EA.
∴CF＝EA.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴四边形AFCE为矩形．
【答案】
（1）证明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与DFA中，
，
∴△BEC≌△DFA中（SAS），
∴CE=AF，
同理：AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
（2）解：如下图，
由矩形的性质知OE=OF，OA=OC，由（1）知，要使四边形AECF为矩形即∠EAF是直角即可，这时只需OE=OF=OA=AC=4
cm，
则∠1＝∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
，
即∠EAF=90°，
此时BE=DF=（BD-EF）=×（12-8）=2
cm或BE=DF=12-2=10
cm.
即t=2或t=10时，四边形AECF为矩形．
23.【答案】
（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE
∵点E为AD的中点
∴AE=DE
在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠CDE，AE=DE
∴△AEF≌△DEC
（2）解：若AB=AC，∴四边形AFBD为矩形，理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD
∴四边形AFBD是平行四边形
∵△AEF≌△DEC
∴AF=CD
∵AF=BD
∴CD=BD
∵AB=AC,BD=CD
∴∠ADB=90°
∴平行四边形AFBD为矩形.
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