16.1第1课时 二次根式的概念-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）

八年级数学 第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念

学习目标：
1．能说出二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2．能记住二次根式有意义的条件.
3．会利用二次根式的非负性解决相关问题.
学习重点：记住二次根式的概念及有意义的条件.
一、课前检测

二、温故知新
1．什么叫作平方根？
2．什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？
三、预习导航（预习教材第2页，标注出你认为重要的关键词）
1．用带根号的式子填空:
(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为 m；若面积为S m2，则边长为______ m．
如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____．
2.自主归纳：
(1)二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “______”称为二次根号.
(2)二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.
四、自学自测
1．下列各式中是二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2．二次根式有意义的条件是_____________.
五、我的疑惑(反思)


要点探究
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1 分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
要点归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式. “”称为_______.
即学即练：1. 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
方法总结:判断二次根式时，抓住二次根式两个必备特征：
①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.
探究点2：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的取值范围又是什么？
要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式，我们知道：
(1)a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；
(2) 表示一个数或式的算术平方根，可知_____0.
即学即练：2. 若，求a-b+c的值.
方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有：绝对值、偶次幂及二次根式.
二、精讲点拨
例1 (教材P2例1变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数非负，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式中有分母时，应同时考虑分母不为零.
针对训练
1．(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________；
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.
例2 已知y =,求3x +2y的算术平方根.
方法总结:若，则根据被开方数大于等于0，可得a =0.
针对训练
2.已知|3x- y-1|和 互为相反数，求x +4y的平方根．
三、变式训练
1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）.
2.已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
四、课堂小结
二次根式的概念 一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略不写.
二次根式有意义的条件 被开方数(式)为_________,即有意义 a≥0.
二次根式的非负性 双重非负性：
★1.式子有意义的条件是 ( )
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
★2.下列各式:一定是二次根式的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
★★3.当x =____时，二次根式取最小值，其最小值为______．
★4．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
★★5．(1)若二次根式有意义，求m的取值范围．
无论x取任何实数，代数式都有意义，求m的取值范围．
★★6．若x，y是实数，且y＜ ,求的值.
★★★7．先阅读，后解答问题：
x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x(x-3)0，
由乘法法则得或，
解得x或，
即当x或有意义．
体会解题思想后，解答：x为何值时，有意义？
我的反思(收获，不足)

分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案
即学即练：
1.试题分析：一般地，式子叫做二次根式，本题根据二次根式的定义解答即可．
详解：（1）；（4）；（6）符合二次根式的形式，故是二次根式；
其他都不符合二次根式的形式，故不是二次根式．
试题分析：由非负数的性质可知：a=2，b=3，c=4然后将a=2，b=3，c=4代入计算即可.
详解：∵，∴a=2，b=3，c=4.
∴a-b+c=2-3+4=3.
精讲点拨：
例1 试题分析：此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．（1）题根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0；（2）题由条件可得x+3≥3且x-1≠0，再进一步求解即可.
详解：（1）由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1；
（2）由题意得：x+3≥3且x-1≠0，解得x≥0且x≠1.
针对训练：1、（1）x≥2； （2）解得x≥0且x≠2.
例2 试题分析：根据二次根式的被开方数为非负数可得出x的值，进而得出y的值，代入代数式后求算术平方根即可．
详解：由题意，得，
∴x=3，此时y=8；∴3x+2y=25，
25的算术平方根为=5，故3x+2y的算术平方根为5．
针对训练：2、试题分析：本题考查非负数的性质、平方根的定义，根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得出x、y的值，代入可求．
详解：由题意得：+=0，所以，
解得
∴x+4y的平方根===.
变式训练：
1、试题分析：根据被开方数大于或等于0，分母不等于0.求解即可.
（1）根据题意得：x-2≥0且x-3≠0， 解得：x≥2且x≠3．
（2）∵，
由题意得，又，
∴， ∴.
2.试题分析：根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得a的值，继而得出b的值，然后代入运算即可．
详解：∵、有意义，
∴，
∴a=3，此时b=4.
当a为腰时，三角形的周长为：3+3+4=10；
当b为腰时，三角形的周长为：4+4+3=11．
星级达标：
1、试题分析：根据二次根式和分式有意义的条件可得3x﹣6＞0，再解即可.
详解：由题意得：3x﹣6＞0，
解得：x＞2， 故选：A.
2、试题分析：根据二次根式的定义判断即可．
详解：一般地，式子叫做二次根式，
，
，，是二次根式，
当时，，是二次根式，
，没有意义；是三次根式，不是二次根式，
综上，二次根式有，，（），，共4个，
故选：B．
3、试题分析：根据二次根式有意义的条件，得x+1?0，则x??1.
详解：由题意得x+1?0，则x??1.
所以当x=?1时，该二次根式有最小值，即为0.
故答案为?1，0.
4、试题分析：根据二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零即可求解．
详解：（1）由题意得a-1≥0，解得a≥1；
由题意得2a+3≥0，解得a≥-1.5；
由题意得-a≥0，解得a≤0；
由题意得5-a＞0，解得a＜5.
5、试题分析：（1）根据二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零即可求解．
（2）由题意知二次根式的被开方数是非负数，即x2-6x+m=（x-3）2-9+m≥0，因为（x-3）2≥0．所以-9+m≥0，则易求m的取值范围．
详解：（1）由题意得m-2≥0且，解得m＞2；
（2）由题意，得
x2-6x+m≥0，即（x-3）2-9+m≥0，
∵（x-3）2≥0，要使得（x-3）2-9+m恒大于等于0，
∴m-9≥0，∴m≥9，故答案为m≥9．
6、试题分析：本题考查的是二次根式的意义，即被开方数要大于等于0，解答的关键在于根据二次根式的意义求出x的值，代入求出y的取值范围，化简即可.
详解：x-10,1-x0,
∴x=1 .∴y＜ .
∴ ＝=-1.
7、试题分析：本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．根据题意列出不等式组，求解即可得到x的取值范围．
详解：要使该二次根式有意义，需0，
由除法法则得或，
解得x或，
即当x或有意义．