16.1第2课时二次根式的性质-2020-2021学年人教版八年级数学下册导学案（含详解）

八年级数学 第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质

学习目标：
1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法.
2．会运用二次根式的两个性质进行化简和计算.
学习重点：
会运用二次根式的两个性质：.
一、课前检测
二、温故知新
1．什么叫二次根式？我们上节课学了它的哪些性质？
2．使式子有意义的条件是_______________.
三、预习导航（预习教材第3-4页，标注出你认为重要的关键词）：
1.（）=_________（≥0）.
2. =____________.
3.__________________________________________________的式子叫做代数式.四、自学自测
1.化简：
(1)＝_____； (2)（）＝_____；(3)； (4).
2．在下列各式中，不是代数式的是(　　)
A．7 B．3＞2 C． D．
我的疑惑（反思）
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
要点探究
探究点1：的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a，
求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？

活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0) 算术平方根 平方运算

观察两者有什么关系？

要点归纳：一般地，(a____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_____.
即学即练：1、计算：
（3）（3）.
探究点2：的性质
议一议:
下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？
1．计算： ； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
2．计算： ； ； ； .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 .
计算： ；当 .
要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
即学即练：2、化简：
（1）； （3）； （4） .
方法总结:利用化简求值时，先应确定的正负，再化简.
探究点3：代数式的定义
用基本运算符号(包括加、减、乘、除、乘方和开方)把_____或____________连接起来的式子叫做代数式.单独一个数或字母也是一个代数式.
列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次，明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
二、精讲点拨
例1 在实数范围内分解因式：
方法总结:本题逆用了在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
例2 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:
例3 已知a、b、c是△ABC的三边长，化简：
方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a,b，c的大小讨论绝对值内式子的符号.
三、变式训练
1.请同学们快速分辨下列各题的对错：
2.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：.


四、课堂小结
二次根式的性质 内容
性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即
性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的_________.即
★1．化简得( )
A．±4 B．±2 C．4 D．-4
★2．下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ； ②； ③13； ④x=2； ⑤3×(4－5)；
⑥x－1≤0； ⑦10x+5y=15 ； ⑧
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
★3．当1 A．3 B．-3 C．1 D．-1
★★4.实数a在数轴上的位置如图所示，
化简：


★★5．利用a ＝(a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9； (2)5； (3)1.5； (4)； (5)0 .
★★★6．(1)已知a为实数，求代数式的值.
(2)已知a为实数，求代数式的值.
我的反思(收获，不足)
分层作业
必做(教材 智慧学习 配套) 选做
参考答案：
即学即练：
1.试题分析：根据二次根式的性质即可完成计算，其中第（3）题又用到了法则.
详解：（1）；（2）；（3）.
2.试题分析：根据二次根式的性质即可完成化简.
详解：（1）；
；
；
.
例 1 试题分析：在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用，本题逆用了法则，其中（1）题运用平方差公式，（2）题先运用完全平方公式，再运用平方差公式.
；
.
例2试题分析：先根据数轴得出，再根据二次根式的性质进行化简，然后合并同类项即可得．
详解：观察数轴可知，，则
，
例3 试题分析：根据二次根式的性质可得:,根据三角形三边关系可得:a+b-c＞0,b+c-a＞0,c-b-a<0,然后化简绝对值.
试题解析:∵a,b,c是△ABC的三边长, ∴a+b＞c,b+c＞a,b+a＞c,
∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|,
=a+b+c﹣（b+c﹣a）+（b+a﹣c）,
=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c
=3a+b﹣c.
变式训练
1、试题分析：根据二次根式的性质即可做出判断.
详解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√.
试题分析：先根据数轴得出，，再根据二次根式的性质进行化简、合并即可得．
详解：根据数轴可知b＜a＜0，所以a+2b＜0，a﹣b＞0，
则+|a﹣b|
=|a+2b|+|a﹣b|
=﹣a﹣2b+a﹣b =﹣3b．
星级达标
详解：根据二次根式的定义=4．故选：C．
试题分析：根据代数式的定义即可判断，注意单独一个数或字母也是代数式.
详解：①②③⑤⑧是代数式，故选：C.
3、试题分析：本题考查了二次根式和分式的运算，先确定的符号，再根据二次根式和分式的运算法则化简即可得．
详解：，
则， 故选：D．
4、试题分析：本题考查了绝对值和二次根式的化简，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
详解：由数轴可得：0＜a＜1＜2
故原式=
5、试题分析：利用变形即可.
详解：（1）9＝32； (2)5=； (3)；(4)；（5）0=02.
6、试题分析：本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的定义列出关于a的不等式组，解不等式组可得a的值．解决本题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数这一条件．
详解：（1）由题意得：，解得a=-2. 原式=0-0+2=2.
（2）由题意得：，解得：a=0． 原式=2-3+0=-1.