专题9圆—9.1垂径定理-2021年鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练（word版含答案）

垂径定理
【知识梳理】
1.圆有关的概念:
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．
（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
2.圆的有关的性质：
（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（基本用法图）
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径 平分弦 知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；
垂径定理：（三种基本图形）
【经典例题1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为( )
A. B.8 C. D.
【解析】∵OD⊥弦AB，AB=8，
∴AC=AB=×8=4，
设⊙O的半径OA=r，
∴OC=OD-CD=r-2，
在Rt△OAC中，r2=（r-2）2+42，
解得：r=5，
连结BE，如图，
∵OD=5，CD=2，∴OC=3，
∵AE是直径，∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=．
练习1-1如图，AB是⊙O的弦，直径CD交AB于点E，若AE=EB=3，∠C=15°，则OE的长为 .
练习1-2如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为__8__．
练习1-3如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A、C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）
A．（4，5） B．（－5，4） C．（－4，6） D．（－4，5）
练习1-4如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°，求:⊙C的半径和圆心C的坐标.
练习1-5如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a>2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为2，则a的值是______.
练习1-6如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
练习1-7如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（　　）
A．﹣2 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣7
练习1-8（2020?鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝　 　．
练习1-9（2020?青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　 　cm．
练习1-10如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为　 　．
练习1-11如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为________．
垂径定理应用
【经典例题1】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　．
【解析】（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
练习2-1图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．
（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为SMNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
练习2-2如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、AnBnCnDn，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、An与B2、B3、…Bn分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、Cn和D2、D3…Dn分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1＝H1H2＝d，C1D1、C2D2、C3D3、CnDn依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边CnDn与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥AnCn
（1）求d的值；
（2）问：CnDn与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？
【经典例题3】如图，AB是⊙O的直径，AB=6，OD⊥AB，弧BC为30°，P是直径AB上的点，则PD+PC的最小值是__.?
答案：
练习3-1如图，AB是⊙O的直径，AB=8，弧AB=2弧AD=6弧AC，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是___.?
A.8 B.6 C.2+ D.
答案：D
练习3-2如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
答案：
练习3-3如图 6，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直径 AB 上的一动点，若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
练习3-4如图，AB为☉O的直径，BC，CD是☉O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=2，BC=2，当CE+DE的值最小时，则的值为(　　)
B. C. D.
【经典例题1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为( )
A. B.8 C. D.
练习1-1
【解析】如图，连接OA.
∵AE=EB，∴CD⊥AB，
∴弧AD=弧BD，
∴∠BOD=∠AOD=2∠ACD=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AE=3，
∴OE=AE?tan60°=，
故选：D.
练习1-2
【解析】连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=．
∵AC=6，
∴BC=．
故答案为：8．
练习1-3
【解析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM，设M的半径为R，
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的M与x轴相切，点A的坐标为(0，8)，
∴DA=4，AB=8，DM=8?R，AM=R，
又∵△ADM是直角三角形，
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，
∴R2=(8?R)2+42，
解得R=5，
∴M(?4，5).
故选D.
练习1-4
【解析】连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB为C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BCO=120°，∠BAO=60°，
∵AC=OC，∠BAO=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴C的半径=OA=4；
过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，
∵∠BAO=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OD=，CD=BC=×4=2，
∴D点坐标为(?，0)，
∴C点坐标为(?，2).
故答案为：r=4，C(?，2).
练习1-5
【解析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA.
∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，
∴AE=12AB=1，PA=2，
根据勾股定理得：PE=，
∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，
∵∠DCO=90°，
∴∠ODC=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∴∠DPE=∠PDE=45°，
∴DE=PE=，∴PD=×=.
∵⊙P的圆心是(2，a)，
∴a=PD+DC=2+.
故答案为：2+.
练习1-6
【解析】连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，
∵Q是MN的中点．
∴AQ⊥MN，
∵A的坐标为（﹣4，﹣4），
∴直线AO：y＝x，AO＝4，
∵直线CD：y＝﹣x+4，
∴AO⊥CD，
∴∠AQO＝∠OGP＝90°，
∵∠AOQ＝∠POG，
∴∠AOQ∽△POG，
∴，
当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴OC＝OD＝4，
∴OG＝CD＝2，
∵OP＝t，OQ＝S，
∴，
S＝，
故选项C、D不正确；
当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，
故选项B不正确；
故选：A．
练习1-7
【解析】连接AC，
由题意得，BC＝OB+OC＝9，
∵直线L通过P点且与AB垂直，
∴直线L是线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC＝9，
在Rt△AOC中，AO＝＝2，
∵a＜0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
练习1-8
【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，
则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，
如图1，
在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，
∴OE＝＝1，
同理可得OF＝1，
∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
∴PE＝PF＝1，
∴PA＝PC＝1，
∴S△APC＝＝；
如图2，
同理：S△APC＝＝；
如图3，
同理：S△APC＝＝；
故答案为：或或．
练习1-9
【解析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，
当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；
当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；
综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故答案为1或7．
练习1-10
【解析】∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵A（20，0），
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．
连接MC，则MC＝OA＝10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
练习1-11
【解析】连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=
∵OD⊥AC，
∴AE=CE=AC=4，
在Rt△BCE中，BE=，
∴sinα=．
垂径定理应用
练习2-1
【解析】（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴BG＝BC，EH＝EF
∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，
∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．
（2）设盒子的高为xcm．
由题意：（22﹣2x）?＝9
解得x＝8或12.5（舍弃），
∴MQ＝6，MN＝1.5
∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，
∴能装入盒子．
练习2-2
【解析】（1）在Rt△D2EC2中，∵∠D2EC2＝90°，EC2＝ED2＝r，EF⊥C2D2，
∴EH2＝r，FH2＝r﹣r，
∴d＝（r﹣r）＝r，
（2）假设CnDn与点E间的距离能等于d，由题意?r＝r，
这个方程n没有整数解，
所以假设不成立．
∵r÷r＝2+2≈4.8，
∴直角三角形△C2ED2最多分成5份，
∴n＝6，此时CnDn与点E间的距离＝r﹣4×r＝r．
【经典例题3】如图，AB是⊙O的直径，AB=6，OD⊥AB，弧BC为30°，P是直径AB上的点，则PD+PC的最小值是__.?
答案：
练习3-1如图，AB是⊙O的直径，AB=8，弧AB=2弧AD=6弧AC，M是AB上一动点，则CM+DM的最小值是___.?
A.8 B.6 C.2+ D.
答案：D
练习3-2如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝6时，AP+BP的最小值为_____．
答案：
练习3-3如图 6，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直径 AB 上的一动点，若 MN=1，则△PMN 周长的最小值为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】作 N 关于 AB 的对称点 N′，连接 MN′，NN′，ON′，ON．
∵N 关于 AB 的对称点 N′，
∴MN′与 AB 的交点 P′即为△PMN 周长的最小时的点，
∵N 是弧 MB 的中点，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形，
∴MN′=OM=4，
∴△PMN 周长的最小值为 4+1=5． 故选 B．
练习3-4如图，AB为☉O的直径，BC，CD是☉O的切线，切点分别为点B，D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，CE，DE，已知AB=2，BC=2，当CE+DE的值最小时，则的值为(　　)
B. C. D.
答案：A