专题9圆—9.2圆心圆周角度-2021年鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练（word版含答案）

圆周角
【知识点梳理】
①圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．
②圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补（巧用）.
③圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
④圆既是轴对称图形又是中心对称图形
圆周角与圆心角关系
【经典例题1】如图，AB是☉O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作AB的垂线，交☉O于点D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA=____.?
【解析】∵点C是半径OA的中点，∴OC=OD，
∵DE⊥AB，∴∠CDO=30°，
∴∠DOA=60°，∴∠DFA=30°，
【经典例题2】如图，AB为☉O的直径，点P为其半圆上任意一点(不含A，B两点)，点Q为另一半圆上一定点，若∠POA为x°，∠PQB为y°，求y与x的函数关系式.
【解析】解答
∵∠BOP=2∠BQP=2y°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOP+∠BOP=180°，
∴x+2y=180，
∴y=90?x，且0【经典例题3】如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在☉O上，边AB，AC分别与☉O交于点D，E，则∠DOE的度数为___.?
【解析】∵∠A=45°，
∴∠DOE=2∠A=90°.
故答案为：90°.
练习2-1如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　)
A.45°　　 　B.50°　 　C.60° 　　　D.75°
练习2-2如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 ?，那么∠B= ?．
练习2-3(毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)
A．30° B．50° C．60° D．70°
练习2-4(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(　　)
A．180°－2α B．2α C．90°＋α D．90°－α
练习2-5如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）
A．70° B．55° C．45° D．35°
练习2-6如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝AB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠D的度数为__________．
练习2-7如图所示，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝，则∠AED的度数为__________．
练习2-8 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点.若∠BOC=40°，则∠D的度数为 (　　)
A.100° B.110° C.120° D.130°
练习2-9如图，PA、PB切⊙O于A. B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB=70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为___.
练习2-10（2020·陕西·中考模拟） 如图，点A、B、C、D在⊙O上，弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB＝（ ）
A.30° B.50° C.70° D.80°
练习2-11如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与 AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（ ）
练习2-12如图，已知EF是圆O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止。设∠POF=x°，则x的取值范围是( )
A. 30?x?60 B. 30?x?90 C. 30?x?120 D. 60?x?120
练习2-13如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
练习2-14如图，☉A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方☉A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 (　 　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
练习2-15如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ABO＝40°，∠BCD＝112°，E是AD中点，则∠DOE的度数为　 　．
练习2-16如图，△ABC内接于⊙O，弦DC⊥BC，已知⊙O的半径为5cm，弦BC长为6cm，则tan∠BAC＝　 　．
练习2-17如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，则∠APB的度数为　 　．
练习2-18如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝54°，则∠BCD＝　 　．
练习2-19如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（　　）
A．52° B．60° C．72° D．76°
练习2-20如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【经典例题3】如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ．若点P对应135°（45°），则∠PQB的度数为（ ）
A．65° B．67.5° C．60° D．80°
【解析】连接OP，如图，则∠AOP=135°，
∴∠ABP=12∠AOP=67.5°.
∵PB=PQ，
∴∠PQB=∠ABP=67.5°.
故选：B.
练习3-1如图所示，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，，30°，则∠PAQ的大小为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
练习3-2如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C旋转，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是　 　．
练习3-3将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为　 　．
练习3-4如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为　 　．
题型四：与圆结合，利用圆的基本性质进行转化求解
【经典例题4】(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

练习4-1如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）
A． B． C．2 D．
练习4-2如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
练习4-3如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B． C． D．
练习4-4【转化思想】如图，求∠1的正切值．
练习4-5某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( )
A． B． C． D．
练习4-6（20年烟台一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺来测量0°—90°的三角函数值：在一个圆心角为90°的扇形OAB中，以OB为直径在扇形内部画半圆M，将一根笔直的、长度等于OB的细木条分成10等份，并标上0到10刻度，将木条0刻度端点与点O重合，另一端点C落在圆弧AB上，木条OC与半圆M交点D.设∠AOC的度数是α，则通过读取点D处木条上的刻度可以（ ）
A.读取sinα的值，结果最小保留到百分位
B.读取sinα的值，结果最小保留到十分位
C.读取cosα的值，结果最小保留到百分位
D.读取cosα的值，结果最小保留到十分位
参考答案：
练习2-1如图，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是平行四边形，则∠ADC的大小为(　　)
A.45°　　 　B.50°　 　C.60° 　　　D.75°
【解析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α;而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故答案为：60°.
练习2-2如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠A=63 ?，那么∠B= ?．
【解析】连接DE、CE，则∠2=θ，∠5=∠6=2θ，
∵∠6是△BDE的外角，
∴∠6=∠2+∠ABC=2θ，
∵∠5+∠6+∠1=180°，
∴4θ+∠1=180°①，
在△ACE中，
∵AE=CE，
∴∠3=∠CAE=63°，
∴∠4=180°?∠3?∠CAE=180°?63°?63°=54°，
∵∠4+∠1+∠2=180°，即54°+∠1+θ=180°②，
①②联立得，θ=18°.
故答案为：18°.
练习2-3(毕节中考)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)
A．30° B．50° C．60° D．70°
【解析】∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠ABD=60°.
故选C.
练习2-4(泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于(　　)
A．180°－2α B．2α C．90°＋α D．90°－α
【解析】∵连接OC，
∵△ABC内接于⊙O，∠A=α，
∴∠BOC=2∠A=2α，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==90°.
故选D.
练习2-5如图，在⊙O 中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO 的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【解析】连接OA、OC，
∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，
∴∠AOB=2(∠ADC+∠BAC)=70°，
∵OA=OB(都是半径)，
∴∠ABO=∠OAB=(180°?∠AOB)=55°.
故选：B.
练习2-6如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝AB，PC切半圆O于点C，点D是上和点C不重合的一点，则∠D的度数为__________．
【解析】
连接OC，
∵PC切半圆O于点C，
∴OC⊥PC，
∴OC=OB=PB，
∴∠P=30°，即∠COP=60°，
∴∠CDB=∠COP=30°.
练习2-7如图所示，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝，则∠AED的度数为__________．
【解析】∵B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC=46°，
∴∠AOD=138°，
∴∠AED=138°÷2=69°.
练习2-8 如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是弧AC上的点.若∠BOC=40°，则∠D的度数为 (　　)
A.100° B.110° C.120° D.130°
【解析】∴∠AOC=180°?40°=140°，
∴∠D=12×(360°?140°)=110°，
故选：B.
练习2-9如图，PA、PB切⊙O于A. B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB=70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为___.
【解析】如图，连接OA.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB=∠OPA=12∠APB=35°，PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∴∠POA=90°?35°=55°，
∵OQ∥PB，
∴∠POQ=180°?∠OPB=145°，
∴∠AOQ=360°?145°?55°=160°，
∵OQ=OA，
∴∠OQA=∠OAQ=12(180°?∠AOQ)=10°，
故答案为10°.
练习2-10（2020·陕西·中考模拟） 如图，点A、B、C、D在⊙O上，弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB＝（ ）
A.30° B.50° C.70° D.80°
【解析】弧CB=弧CD，∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ACB=∠ADB=180°?∠CAB?∠ABC=180°?50°?30°?30°=70°.
故选：C.
练习2-11如图，AB 是⊙O 的直径，EF，EB 是⊙O 的弦，且 EF＝EB，EF 与 AB 交于点 C， 连接 OF，若∠AOF＝40°，则∠F 的度数是（ ）
【解析】连接FB.
∵∠AOF=40°，
∴∠FOB=180°?40°=140°，
∴∠FEB=∠FOB=70°
∵EF=EB
∴∠EFB=∠EBF=55°，
∵FO=BO，
∴∠OFB=∠OBF=20°，
∴∠EFO=∠EBO，
∴∠EFO=∠EFB?∠OFB=35°，
故答案为：35°.
练习2-12如图，已知EF是圆O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与O交于点P，点B与点O重合，且AC大于OE，将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止。设∠POF=x°，则x的取值范围是( )
A. 30?x?60 B. 30?x?90 C. 30?x?120 D. 60?x?120
【解析】开始移动时，x=30°，
移动开始后，∠POF逐渐增大，
最后当B与E重合时，∠POF取得最大值，
则根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍得：
∠POF=2∠ABC=2×30°=60°，
故x的取值范围是30?x?60.
故选A.
练习2-13如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O 经过点 A、C、D，与 BC 相交于点 E，连接 AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【解析】四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB=∠DCB=(180°?∠D)=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB?∠ACE=30°，
故选：C.
练习2-14如图，☉A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方☉A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 (　B　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
【解析】由题意得∠COD=90°，
∵D（0，1），C（，0），
∴OD=1，OC=，
∴CD=，
勾股定理
∴∠OCD=30°，
含30度角的直角三角形的判定
∴∠OBD=∠OCD=30°.
同弧或等弧所对的圆周角相等
故选B.
练习2-15如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ABO＝40°，∠BCD＝112°，E是AD中点，则∠DOE的度数为　 　．
【解析】连接OA，
∵OA＝OB，∠ABO＝40°，
∴∠OAB＝∠ABO＝40°，
∵∠BCD＝112°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝68°，
∴∠OAE＝∠BAD﹣∠OAB＝28°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝28°
∵E是AD中点，
∴OE⊥AD，
∴∠DOE＝90°﹣∠ODA＝62°．
故答案为：62°．
练习2-16如图，△ABC内接于⊙O，弦DC⊥BC，已知⊙O的半径为5cm，弦BC长为6cm，则tan∠BAC＝　 　．
【解析】连接BD，
∵弦DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴BD是直径，
∵⊙O的半径为5cm，弦BC长为6cm，
∴BD＝10cm，
∴CD＝＝8cm，
∴tan∠BAC＝tan∠BDC＝＝＝．
故答案为：．
练习2-17如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，则∠APB的度数为　 　．
【解析】∵∠ACB为△ACE的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠AEC
∵，∠AEC＝37°，∠CAE＝31°，
∴∠ACE＝68°．
由圆周角定理，得∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝68°，
∴∠APB＝∠A+∠ADB＝31°+68°＝99°，
故答案为99°．
练习2-18如图所示，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝54°，则∠BCD＝　 　．
【解析】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠A＝36°，
故答案为36°．
练习2-19如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是（　　）
A．52° B．60° C．72° D．76°
【解析】连接OC，OD，
∵∠BAO＝∠CBO＝∠DCO＝∠EDO＝α，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BCO＝α，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝180°﹣2α，
∴4∠AOB+∠AOE＝360°，
∴∠AOB＝76°，
∴在等腰三角形AOB中，
∠α＝∠BAO＝＝52°．
故选：A．
练习2-20如图，圆心为C、直径为MN的半圆上有不同的两点A、B，在CN上有一点P，∠CBP＝∠CAP＝10°，若的度数是40°，则的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解析】∵的度数是40°，
∴∠ACM＝40°
∵∠CBP＝∠CAP＝10°，
∴A、C、P、B四点共圆，
∴∠ACM＝∠ABP＝40°，
∵∠CPB＝10°，
∴∠ABC＝40°﹣10°＝30°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∴∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ACB＝20°，
∴的度数是20°．
故选：C．
【经典例题3】如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ．若点P对应135°（45°），则∠PQB的度数为（ ）
A．65° B．67.5° C．60° D．80°
【解析】连接OP，如图，则∠AOP=135°，
∴∠ABP=12∠AOP=67.5°.
∵PB=PQ，
∴∠PQB=∠ABP=67.5°.
故选：B.
练习3-1如图所示，量角器外缘边上有A、P、Q三点，它们所表示的读数分别是180°，，30°，则∠PAQ的大小为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【解析】设量角器的圆心角为O，连接PO，QO，
知∠POQ＝70°－30°＝40°，
而∠PAQ为所对的圆周角，
为∠POQ的一半，
所以∠PAQ＝∠POQ＝×40°＝20°．
练习3-2如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C旋转，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是　 　．
【解析】①设CD′交AB于E，设AB的中点为O，连接OD′当EB＝EC，此时∠EBC＝∠ECB＝40°，易知∠BOD′＝2∠BCD′＝80°，
∴点D′在量角器上对应的度数是80°；
②设CD″交AB于F，连接OD″，当BF＝BC时，∠BCD″＝70°，
易知∠BOD″＝2∠BCD″＝140°，
∴点D″在量角器上对应的度数是140°；
故答案为80°或140°
练习3-3将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为　 　．
【解析】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝∠AOB，
而∠AOB＝86°﹣30°＝56°，
∴∠ACB＝×56°＝28°．
故答案为：28°．
练习3-4如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应54°，则∠BCD的度数为　 　．
【解析】∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，
∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，
∵点D对应54°，即∠AOD＝54°，
∴∠ACD＝∠AOD＝27°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝63°．
故答案为：63°．
题型四：与圆结合，利用圆的基本性质进行转化求解
【经典例题4】(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

练习4-1如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）
A． B． C．2 D．
练习4-2如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
练习4-3如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B． C． D．
练习4-4【转化思想】如图，求∠1的正切值．
练习4-5某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是( )
A． B． C． D．
练习4-6（20年烟台一模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺来测量0°—90°的三角函数值：在一个圆心角为90°的扇形OAB中，以OB为直径在扇形内部画半圆M，将一根笔直的、长度等于OB的细木条分成10等份，并标上0到10刻度，将木条0刻度端点与点O重合，另一端点C落在圆弧AB上，木条OC与半圆M交点D.设∠AOC的度数是α，则通过读取点D处木条上的刻度可以（ ）
A.读取sinα的值，结果最小保留到百分位
B.读取sinα的值，结果最小保留到十分位
C.读取cosα的值，结果最小保留到百分位
D.读取cosα的值，结果最小保留到十分位
练习4-7如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径是OA，点P是优弧上的一点，则tan∠APB的值是（ ）．
A.1 B. C． D．
练习4-8（20年济宁中考）如图，是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与相交于点M，则sin∠MFG的值为 .
【经典例题4】D
练习4-1 、、C、、D、A、A
练习4-8 【提示】连接EG。