湘教版八年级下学期复习专题10 正方形的性质与判定（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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初中数学湘教版八年级下学期复习专题10
正方形的性质与判定
一、单选题
1.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(??
)
A.?30?????????????????????????????????????????B.?34?????????????????????????????????????????C.?36?????????????????????????????????????????D.?40
2.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（　　）
A.?30°???????????????????????????????????????B.?45°???????????????????????????????????????C.?60°???????????????????????????????????????D.?90°
3.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝
EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2
；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（??
）
A.?①②④⑤⑥???????????????????????????B.?①②④⑤???????????????????????????C.?②④⑤???????????????????????????D.?②④⑤⑥
4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(?
???)
A.?1?????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.?4－2
?????????????????????????????????D.?3
－4
5.如图1是边长分别为
的两个正方形，经如图2所示的割补可以得到边长为
的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图2的观察指出下面对割补过程的理解错误的是（?
）
A.?割⑤补⑥???????????????????????????B.?割③补①???????????????????????????C.?割①补④???????????????????????????D.?割③补②
6.下列说法不能判断是正方形的是（???
）
A.?对角线互相垂直且相等的平行四边形??????????????????B.?对角线互相垂直的矩形
C.?对角线相等的菱形??????????????????????????????????????????????D.?对角线互相垂直平分的四边形
7.在四边形
中，
，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（???
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
8.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中不正确的是（
??）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①③?????????????????????????????????????D.?②④
9.四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O
，
能判定它是正方形的是（??
）
A.?AO＝OC
，
OB＝OD?????????????????????????????????????????B.?AO＝BO＝CO＝DO
，
AC⊥BD
C.?AO＝OC
，
OB＝OD
，
AC⊥BD??????????????????????D.?AO＝OC＝OB＝OD
10.如图，在四边形ABCD中,点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（?
）
A.?AC=BD，AB∥CB，AD∥BC???????????????????????????????B.?AD∥BC，∠BAD
=∠BCD
C.?AO=CO，BO=DO，AB=BC??????????????????????????????D.?AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
11.已知四边形
是平行四边形，下列条件：①
；②
；③
；④
．选两个作为补充条件，使得四边形
是正方形，其中错误的选法是（?
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①③?????????????????????????????????????D.?③④
二、填空题
12.如果正方形的对角线长为
，那么这个正方形的面积为________.
13.如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直E的距离分别是1和2，则正方形ABCD面积是________.
14.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）
，其中正确的是________(填序号）．
15.已知矩形ABCD
，
当满足条件________
时，它成为正方形
填一个你认为正确条件即可
．
16.如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件________（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
17.已知：如图所示，E是正方形ABCD边BC延长线一点，若EC=AC，AE交CD于F，则∠AFC=________度．
三、解答题
18.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.
19.如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由
四、综合题
20.如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF、AE、CE、CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
21.△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）说明：OE＝OF
（2）当点O运动到AC中点处时，求证：四边形AECF是矩形；
（3）在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形，并加以证明.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
解：由题意可知△AEH，△BFE，△CGF，△DHG都是直角边分别为5cm和3cm的直角三角形，所以这四个直角三角形的面积为：4×
×5×3＝30cm2
，
而正方形ABCD的面积为64cm2
，
所以四边形EFGH的面积是34cm2。
故答案为：B.
2.【答案】
B
解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°.
故答案为：B.
3.【答案】
A
解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2
，
∴DP＝
EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45度，
∴当∠PAD＝45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，∠PFE＝∠ECP，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠ECP，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝
BD＝
＝2
时，EF的最小值等于2
，
故⑤正确；
⑥∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故⑥正确；
本题正确的有：①②④⑤⑥；
故答案为：A．
4.【答案】
C
解：连接AC，交BD与点O
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=45°，∠AOE=90°
∵∠BAE=22.5°，
∴∠EAO=22.5°
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠AOE=90°，
∵AE=AE，
∴ΔAEF≌ΔAEO（AAS）
∴OE=EF
设EF=x，由勾股定理可知，BO=AO=
，
BE=BF=EF，
∵BO=BE+EO，∴
，
解得：x=
，
即EF=
故答案为：C。
5.【答案】
B
解：由题意可得：
要拼成一个正方形，应当割⑤补⑥，割①补④，割③补②，
故答案为：B．
6.【答案】
D
解：A.对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；
B.对角线相互垂直的矩形，可得正方形；
C.对角线相等的菱形，可得正方形；
D.对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，符合题意
故答案为：D
7.【答案】
A
解：∵四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
这个条件可以是：
.
故答案为：A.
8.【答案】
B
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，不合题意．
故答案为：C．
9.【答案】
B
解：∵对角线相等垂直且互相平分的四边形是正方形，
∴选项B符合题意.
故答案为：B.
10.【答案】
D
解：AO=BO=CO=DO可得四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可判定这个四边形是正方形，
故答案为：D．
11.【答案】
B
解：
四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形，
菱形ABCD是正方形，
A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
是矩形，
符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
是菱形
菱形ABCD是正方形
C不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
是矩形，
矩形ABCD是正方形，
不符合题意，
故答案为：B．
二、填空题
12.【答案】
1
解：正方形的面积=
.
故答案为：1.
13.【答案】
5.
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
在△AEB和△BFC中，
,
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=CF=2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
,
即正方形ABCD的面积是5，
故答案为：5.
14.【答案】
(1)(2)(4)
解：∵正方形ABCD
∴AD=DC=AB，∠ADB=∠BAF=90°，
∵CE=DF
∴AF=DE
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS）
∴AE=BF，故（1）正确；
∴∠DAE-∠ABF
∵∠DAE+∠BAE=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°
∴∠AOB=180°-90°=90°
∴AE⊥BF，故（2）正确；
∵△ABF≌△DAE
∴S△ABF=S△DAE
∴S△ABF-S△AOF=S△DAE=S△AOF
即S△AOB=S四边形DEOF
，
故（4）正确；
若AO=OE，则OA=OF
∴△AOF是等腰直角三角形
∴∠FAO=45°，则点E和点C重合，故AO≠EO，故（3）错误；
故答案为：（1）（2）（4）
15.【答案】
AB=BC
解：本题答案不唯一，
∵四边形ABCD是矩形，
∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.
故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.
16.【答案】
AB＝AD（答案不唯一）
解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
17.【答案】
112.5
解：∵EC=AC，∠ACD=45°
∴∠E=22.5°
∴∠AFC=90°+22.5=112.5°，
故答案为：112.5°．
三、解答题
18.【答案】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OC=OD，
∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°
∵DF⊥CE，
∴∠EDF+∠CED=90°
∴∠EDF=∠OEC
∴△DOG≌△COE（ASA）
∴OE=OG
19.【答案】
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形
（2）解：当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形
四、综合题
20.【答案】
解：四边形AECF是菱形．
∵在正方形ABCD中，AB=AD，
∴∠ABE=∠ADF，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
同理可得，CE=CF，
∵在正方形ABCD中，CD=AD，∠CDE=∠ADF，DF=DF，
∴△ADF≌△CDF，
∴AF=CF，
∴AE=AF=CF=CE，
∴四边形AECF是菱形．
21.【答案】
（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠OCF=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
同理：OE=OC，
∴OE=OF.
（2）证明：当点O运动到AC中点处时，OA=OC，
由第（1）知，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF、CE分别是∠ACD和∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠ACD，∠ACE=∠ACB，
∴∠ACF+∠ACE=∠ACD+∠ACB=（∠ACD+∠ACB）=×180°=90°，
即：∠FCE=90°，
∴四边形AECF是矩形.
（3）解：当点O运动到AC中点处时，且△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
理由如下：
∵由第（2）问知，当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.
∵MN∥BC，
∴当∠ACB=90°时，AC⊥EF，四边形AECF是菱形.
∴此时四边形AECF是正方形.
∴△ABC满足∠ACB是直角的直角三角形时，四边形AECF为正方形.
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