7.3离散型最基变量的均值与方差-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修三练习（Word版含答案）

离散型最基变量的均值与方差练习
一、单选题
设随机变量的概率分布为
ξ
0
1
2
P
p3
p3
1?23p
则ξ的数学期望E(ξ)的最小值是(??? )
A. 12 B. 0
C. 2 D. 随p的变化而变化
设E(ξ)=10，E(η)=3，则E(3ξ+5η)为(????)
A. 15 B. 30 C. 40 D. 45
如果随机变量ξ的取值是a1，a2，a3，a4，a5，a6，ξ数学期望是3，那么2(a1?3)，2(a2?3)，2(a3?3)，2(a4?3)，2(a5?3)，2(a6?3)的数学期望是(??? )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设随机变量X，Y满足：Y=3X?1，X～B(2,p)，若P(X≥1)=59，则D(Y)=(????)
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
某人进行投篮训练100次，每次命中的概率为0.8(相互独立)，则命中次数的标准差等于(????)
A. 20 B. 80 C. 16 D. 4
甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i(i=1,2，3)个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E1(i)，E2(i)则以下结论错误的是(????)
A. E1(1)>E2(1) B. E1(2)=E2(2)
C. E1(1)+E2(1)=4 D. E1(3)袋中有8只球，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中任取3只球，以ξ表示取出的3只球中最大号码与最小号码的差，则E(ξ)=(????)
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
设0X
0
a
1
P
13
13
13
则当a在(0,1)内增大时，(????)
A. V(X)增大 B. V(X)减小
C. V(X)先增大后减小 D. V(X)先减小后增大
同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于(????)
A. 158 B. 154 C. 52 D. 5
已知随机变量ξ+η=8，若ξ∽B(10,0.4)，则E(η)，D(η)分别是(??? )
A. 4和2.4 B. 2和2.4 C. 6和2.4 D. 4和5.6
已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其均值E(X)等于(????)
A. 1 B. 0.6 C. 2+3m D. 2.4
二、单空题
在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是________．
随机抛掷一个骰子，所得点数X的均值为________．
将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值EX=??????????．
某人从标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张．约定如下：如果出现两个偶数或两个奇数，就将两数相加的和记为ξ；如果出现一奇一偶，则将它们的差的绝对值记为ξ，则随机变量ξ的数学期望为______．
已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ=1)=1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为______________．
三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）
有一批数值非常多的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽出1件．如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数X的数学期望(结果保留三位有效数字)．
产量相同的2台机床生产同一种零件，它们在一个小时内生产的次品数X1,X2分布列如下：
X1
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
X2
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
问哪台机床更好
设随机变量X具有分布列：
X
1
2
3
4
5
P
15
15
15
15
15
求这个随机变量的E(X)与E(X+2)2．
答案和解析
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
【解析】：∵随机变量X，Y满足：Y=3X?1，X～B(2,p)，P(X≥1)=59，
∴P(X=0)=1?P(X≥1)=C20(1?p)2=49，
解得p=13，∴X～B(2,13)，
∴D(X)=2×13×(1?13)=49，
∴D(Y)=9E(X)=9×49=4．
5.【答案】D
【解答】
解：由题意，某人进行投篮训练100次，每次命中的概率为0.8(相互独立)，则不命中的概率为0.2，
从而命中次数的标准差为100×0.8×0.2=4，
6.【答案】D
【解答】
解：用X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中的红球数，
当i=1时，
则P(X=2)=P(Y=2)=C31?C31C41?C41=916，P(X=4)=P(Y=0)=C11?C11C41?C41=116，P(X=3)=P(Y=1)=C31?C11C41?C41×2=38，
∴E1(1)=2×916+3×38+4×116=52，E2(1)=2×916+0×116+1×38=32．
故A正确，C正确，
当i=2时，
P(X=1)=P(Y=3)=C32?C32C42?C42=14，P(X=2)=P(Y=2)=C31·C11C42?C32C42×2=12，P(X=3)=P(Y=1)=C31·C11C42?C31·C11C42=14．
∴E1(2)=1×14+2×12+3×14=2，E2(2)=3×14+2×12+1×14=2．
故B正确．
当n=3时，
P(X=0)=P(Y=4)=C33?C33C43?C43=116，P(X=1)=P(Y=3)=C33C43?C32·C11C43×2=38，P(X=2)=P(Y=2)=916，
∴E1(3)=0×116+1×38+2×916=32．
7.【答案】B
【解】解：由题意知ξ的可能取值为2，3，4，5，6，7，
P(ξ=2)=C61C83=656，
P(ξ=3)=C51(C22C21)C83=1056，
P(ξ=4)=C41(C22C31)C83=1256，
P(ξ=5)=C31(C22C41)C83=1256，
P(ξ=6)=C21(C22C51)C83=1056，
P(ξ=7)=C22C61C83=656，
∴E(ξ)=2×656+3×1056+4×1256+5×1256+6×1056+7×656=4.5．
8.【答案】D
【解答】
解：由题意可得，E(X)=13(a+1)，
所以V(X)=(a+1)227+(1?2a)227+(a?2)227
=6a2?6a+627=29[(a?12)2+34]，
所以当a在(0,1)内增大时，V(X)先减小后增大，
9.【答案】A
【解答】
解：两枚硬币同时出现反面的概率为12×12=14，
故ξ～B(10,14)，
因此D(ξ)=10×14×(1?14)=158．
故选A．
10.【答案】A
【解答】
解：因为ξ?B(10,0.4)，
所以E(ξ)=10×0.4=4，
D(ξ)=10×0.4×(1?0.4)=2.4，
又ξ+η=8，
所以η=8?ξ，
所以E(η)=8?E(ξ)=8?4=4，
D(η)=(?1)2D(ξ)=2.4，
故选A．
11.【答案】D
【解答】
解：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，
∴0.5+m+0.2=1，解得m=0.3，
∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4．
故选D．
12.【答案】140
13.【答案】3.5
14.【答案】65
【解答】
解：∵125个小正方体中8个三面涂漆，36个两面涂漆，54个一面涂漆，27个没有涂漆，∴从中随机取一个正方体，涂漆面数X的均值EX=27125×0+54125×1+36125×2+8125×3=150125=65．
15.【答案】83
【解析】解：从分别标有1、2、3、4的四张卡片中任意抽取两张，共有C42=6种情况：1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4．
其中①出现两个偶数或两个奇数有1，3；2，4.两种情况，两个数的和分别为4，6．
②出现一奇一偶，有1，2；1，4；2，3；3，4.四种情况，则它们的差的绝对值分别为，1，3，1，1．
∴P(ξ=1)=12，P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=6)=16．
∴Eξ=1×12+(3+4+6)×16=83．
16.【答案】20%
【解答】
?解：设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，
由P(ξ=1)=1645?得Cn1·C10?n1C102=1645，
化简得n2?10n+16=0，
解得n=2或n=8；
又该产品的次品率不超过40%，
∴n≤4；
应取n=2，
∴这10件产品的次品率为?20%．
故答案为20%．
17.【答案】解：记“第i次取出正品”为事件Ai(i=1,2，…，9)，“第i次取出次品”为事件Bi，则前i?1次取出正品，而第i次(i=1,2，…，9)取出次品的概率是P(X=i)=P(A1A2?Ai?1Bi)=P(A1)P(A2)?P(Ai?1)P(Bi)
=0.85×0.85×?×0.85×0.15=0.85i?1×0.15．
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
0.15
0.1275
0.1084
0.092
0.0783
0.0666
0.0566
0.0481
0.0409
0.2316
EX=1×0.15+2×0.1275+?+10×0.231≈5.35．
18.【答案】解：因为E(X1)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，
E(X2)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9．
所以第2台机床更好．
19.【答案】解：E(X)=1×15+2×15+3×15+4×15+5×15=3，
因为E(X)=1×15+2×15+3×15+4×15+5×15=3，
E(X2)=12×15+22×15+32×15+42×15+52×15=11，
所以E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=22．