8.2一元线性回归模型及其应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修三练习（Word版含答案）

一元线性回归模型及其应用练习
一、单选题
下列关于回归分析的说法中错误的是(????)
A. 回归直线一定过样本中心点(x,y)
B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C. 若甲、乙两个模型的相关指数R2分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好
D. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，则下列说法中不正确的是(????)
A. 由样本数据得到的线性回归方程y=bx+a必过样本点的中心(x,y)
B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C. 用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若变量y和x之间的相关系数r=?0.936?2，则变量y与x之间具有线性相关关系
根据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，?，(xn,yn)的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为y=0.85x?85.7，则在样本点(165,57)处的残差为(????)
A. 54.55 B. 2.45 C. 3.45 D. 111.55
经计算得到高中女学生的体重y(单位：kg)关于身高x(单位：cm)的回归直线方程为y=0.75x?69.72，对于身高为162cm的高中女学生，则(????)
A. 可以预测其体重大约为51.78kg
B. 其体重准确值为51.78kg
C. 其体重大于51.78kg
D. 由于存在随机误差，其体重无法预测
随机选取5名高二男生，其身高和体重的数据如下表所示：
? ?身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
56
61
65
69
74
由上表可得回归直线方程y=0.9x+a，据此模型预报身高为172cm的男生的体重大约为(? ? )
A. 65.8kg B. 66.3kg C. 66.8kg D. 67.3?kg
在一次试验中，测得(x,y)的四组值分别是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x间的回归方程为(????)
A. y=x+1 B. y=x+2 C. y=2x+1 D. y=x?1
根据下表样本数据
x
6
8
9
10
12
y
6
5
4
3
2
? 用最小二乘法求得线性回归方程为y=bx+10.3，则当x=4时，y的估计值为(? ? ?)
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③线性回归方程对应的直线y=bx+a至少经过其样本数据点中的一个点；
④若变量y和x之间的相关系数为r=?0.9462，则变量y和x之间的负相关很强．
以上正确说法的个数是(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
根据一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，?，(xn,yn)的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，求得其线性回归方程为y=0.85x?85.7，则在样本点(165,57)处的残差为(????)
A. 54.55 B. 2.45 C. 3.45 D. 111.55
已知变量x和y满足相关关系y=?0.1x+1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(?? )
A. x与y正相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关
C. x与y负相关，x与z负相关 D. x与y负相关，x与z正相关
在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2依次为0.36、0.95、0.74、0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数R2为(????)
A. 0.95 B. 0.81 C. 0.74 D. 0.36
已知变量x,y之间的线性回归方程为y=?0.7x+10.3，且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是(? ?)
x
6
8
10
12
y
6
a
3
2
A. 变量x,y之间呈负相关关系
B. a=4
C. 可以预测，当x=20时，y=?3.7
D. 该回归直线必过点(9,4)
二、多空题
某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y=bx+a中的b=9.4，则：
①回归方程y=bx+a中a=??????????
②据此模型预测广告费用为6万元时销售额为??????????万元．
如图所示是一组数据(x,y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的线性回归方程为y=bx+1，则b=??????????，点??????????一定在回归直线上．
若身高x(单位：m)与体重y(单位：kg)之间的回归直线方程为y=85x?a(a∈R)，样本点的中心为1.2,30，则a=???(1)???；据此模型当身高为1.7m时，预计体重为???(2)???kg．
已知样本容量为11，计算得i=1nxi=510，i=1nyi=214，回归方程为y=0.3x+a，则x≈??????????，a≈??????????.(精确到0.01)
三、解答题
PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量x/万辆
50
51
54
57
58
PM2.5的浓度y/微克/立方米
69
70
74
78
79
(1)根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图;
?
b∧=i=15(xi?x)(yi?y)i=15(xi?x)2
(2)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;
(3)若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据(2)求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少(保留整数)?
新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律．志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数．y表示人体中抗体含量水平(单位：miu/mL，即：百万国际单位/毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示：
天数x
1
2
3
4
5
6
抗体含量水平y
5
10
26
50
96
195
根据以上数据，绘制了散点图．
(1)根据散点图判断，y=c·edx与y=a+bx(a,b，c，d均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果求出y关于x的同归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；
(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望．
参考数据：
x
y
ω
i=16(x1?x)2
i=16(ω1?ω)2
i=16(ωi?ω)(xi?x)
i=16(xi?x)(yi?y)
e8.3
3.50
63.67
3.49
17.50
9.49
12.95
519.01
4023.87
其中ω=lny．
参考公式：用最小二乘法求经过点(u1,v1)，(u2,v2)，(u3,v3)，….(ui,vi)的线性回归方程v=bu+a的系数公式，b=i=1n(ui?u)(vi?v)i=1n(ui?u)2=i=1nuivi?nuvi=1nui2?nu2，a=v?bu．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：对于A，回归直线一定过样本中心，故A正确；
对于B，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故B正确；
对于C，R2取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的拟合效果好，故C不正确；
对于D，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故D正确．
2.【答案】C
【解答】
解：对于A，样本中心点在直线上，故A正确；
对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确；
对于C，R2越大拟合效果越好，故C不正确；
对于D，变量?y和?x之间的相关系数?r=?0.9362，表示两个变量具有线性负相关关系，故D正确．
3.【答案】B
【解答】
解：把x=165代入y=0.85x?85.7，得y=0.85×165?85.7=54.55，所以在样本点(165,57)处的残差e=y?y=57?54.55=2.45．
4.【答案】A
【解答】
解：由于线性回归方程为y=0.75x?69.72，
当x=162cm，y=0.75×162?69.72=51.78(kg)，
故选A．
5.【答案】C
【解答】
解：由表中数据可得x=160+165+170+175+1805=170，
y=56+61+65+69+745=65．
∵(x,y)一定在回归直线方程y=0.9x+a上，
故65=0.9×170+a，
解得a=?88．
故y=0.9x?88．
当x=172时，y=0.9×172?88=66.8．
故选C．
6.【答案】A
7.【答案】C
【解答】
解：由图表可知x=6+8+9+10+125=9，y=6+5+4+3+25=4，
所以样本中心点为(9,4)，
把样本中心点代入y=bx+10.3，得4=9b+10.3,b=?0.7，
所以线性回归方程为y=?0.7x+10.3，
则x=4时，y=?0.7×4+10.3=7.5，
故答案选C．
8.【答案】B
【解答】
解：用相关指数R2来刻画回归的效果时，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好；①正确，②错误，
由线性回归方程y=bx+a中，知一定过样本中心点，但不一定经过其样本数据点，故③错误；
因为?0.9362<0，变量y和x负相关相关，故④正确．
故①④正确．
9.【答案】B
【解答】
解：把x=165代入y=0.85x?85.7，
得y=0.85×165?85.7=54.55，
所以在样本点(165,57)处的残差e=y?y=57?54.55=2.45．
10.【答案】C
【解答】
解：因为y=?0.1x+1，x的系数为负，
故x与y负相关;而y与z正相关，
故x与z负相关．
11.【答案】A
【解答】
解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，
在所给的四个选项中0.95是相关指数最大的值，
∴其拟合效果也最好．
12.【答案】B
【解答】
解：A.线性回归方程的一次项系数为负，故变量x、y之间呈现负相关关系，所以正确；
Ｂ.x?=6+8+10+124=9，∴y?=?0.7×9+10.3=4，∴6+a+3+24=4，解得a=5，则B选项错误；
Ｃ.当x=20时，代入方程得y=?3.7，所以正确；
D.由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)，所以正确．
故选B．
13.【答案】9.1
65.5
【解答】
解：∵x=4+2+3+54=3.5，
y=49+26+39+544=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程y=bx+a中的b为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴a=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时预测销售额为9.4×6+9.1=65.5万元，
故答案为9.1；65.5．
14.【答案】0.8
(2,2.6)
【解答】
解：由题图知x=0+1+3+44=2，
y=0.9+1.9+3.2+4.44=2.6，
将(2,2.6)代入y=bx+1中，解得b=0.8．
15.【答案】72
72.5
【解答】
解：由y=85x?a，且样本点的中心为(1.2,30)，
得30=85×1.2?a，则a=72．
∴回归直线方程为y=85x?72，
取x=1.7，得y=85×1.7?72=72.5kg．
故答案为72；72.5．
16.【答案】46.36
5.55
【解答】
解：由题意得x=111i=111xi=51011≈46.36，y=111i=111yi=21411，
因为y=0.3x+a，所以21411=0.3×51011+a，可得a≈5.55．
故答案为46.36；5.55．
17.【答案】解：(1)散点图如图所示，
(2)∵x=50+51+54+57+585=54，y=69+70+74+78+795=74，
i=15(xi?x)(yi?y)=4×5+3×4+3×4+4×5=64，
i=15(xi?x)2=(?4)2+(?3)2+32+42=50，
b=i=15(xi?x)(yi?y)i=15(xi?x)2=6450=1.28，
a=y?bx=74?1.28×54=4.88，
故y关于x的线性回归方程是：ｙ=1.28x+4.88；
(3)当x=25时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．
18.【答案】解：(1)根据散点图判断，更适合作为描述y与x关系的回归方程类型．
(2)设ω=lny，变换后可得ω=lnc+dx，
设p=lnc，建立ω关于x的回归方程ω=p+dx，
d=i=16(ωi?ω)(xi?x)i=16(xi?x)2=12.9517.50=0.74，
p=ω?dx=3.49?0.74×3.50=0.90，
所以ω关于x的回归方程为ω=0.74x+0.90，
所以y=e0.74x+0.90，
当x=10时，y=e0.74×10+0.90=e8.3≈4023.87，
即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL．
(3)由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，
故x的可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C44C64=115，
P(X=1)=C43C21C64=815，
p(X=2)=C42C22C64=25，
X的分布列为
X
0
1
2
P
115
815
25
E(X)=0×115+1×815+2×25=43．