7.2离散型随机变量及其分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修三练习（Word版含答案）

离散型随机变量及其分布练习
一、单选题
一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为(????)
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
抛掷一枚质地均匀的硬币一次，随机变量为(????)
A. 掷硬币的次数
B. 出现正面向上的次数
C. 出现正面向上或反面向上的次数
D. 出现正面向上与反面向上的次数之和
已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=1?p，P(ξ=1)=p，且0 A. EηEξ C. DηDξ
设随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a,i=1,2,3，则P(X=2)=(???? )
A. 19 B. 16 C. 13 D. 14
已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k?=?1,2，3，4，5)，则实数m?=(????)
A. 15 B. 110 C. 115 D. 120
一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(????)
A. 20 B. 24 C. 4 D. 18
已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=x，P(ξ=1)=1?x，若0A. E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而增大
B. E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
C. E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而减小
D. E(ξ)随着x的增大而增大，D(ξ)随着x的增大而减小
若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，则E(3X+2)和D(3X+2)的值分别是(???)
A. 4和4 B. 4和2 C. 2和4 D. 2和2
设随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，则P(X≥2)=(????)
A. 16 B. 56 C. 13 D. 23
已知X的分布列为：
X
?1
0
1
P
12
16
a
设Y=2X+1，则Y的数学期望EY的值是(??? )
A. ?16 B. 23 C. 1 D. 2936
随机变量X的分布列如下：
X
?1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|=1)=(????)
A. 14 B. 13 C. 12 D. 23
已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=(??? )
A. 3 B. 72 C. 185 D. 4
二、单空题
已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为ξ，已知P(ξ=1)=1645，且这10件产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为??????????．
假设某次数学测试共有20道选择题，每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个是正确的)。评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，否则得0分。某考生每道题都给出了答案，并且会做其中的12道题，其他试题随机答题，则他的得分X的方差DX=_______
随机变量ξ的分布列为．
ξ
0
1
2
3
4
5
P
15
115
29
118
118
25
则ξ为偶数的概率为________．
已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则E(3X+2)=________。
赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元).若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)?E(ξ2)=________(元)．
三、解答题
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5个同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ；
(2)某网站在单位时间内被点击的次数η．
袋中有8个形状?大小均相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
(1)若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；
(2)若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为X，求X的分布列．
某批产品中有4件正品和2件次品，现通过逐一检测(每次抽取1件，检测后不放回)的方式将2件次品找出来．
(1)求抽取两次就找出全部次品的概率;
(2)记ξ为找出全部次品时抽取的次数，求ξ的分布列．
答案和解析
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
【解答】
解：因为ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1?p
p
则E(ξ)=p，D(ξ)=?(0?p)2(1?p)+(1?p)2p=p?p2=p(1?p)．
η的分布列为：
η
p
1?p
P
1?p
p
则E(η)=p(1?p)+(1?p)p=2p(1?p)，
D(η)=[p?2p(1?p)]2(1?p)+[1?p?2p(1?p)]2p=p(1?p)(1?2p)2，
显然E(η)和E(ξ)大小不确定，
因为0?(1?2p)2<1，p(1?p)>0，
所以D(η)故选C．
4.【答案】C
【解答】
解：∵P(X=i)=i2a,i=1,2,3，
∴12a+22a+32a=1，
∴62a=1?，
∴a=3，
∴P(X=2)=26=13?，
5.【答案】C
【解答】
解：∵随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2，3，4，5)，
∴m+2m+3m+4m+5m=1，
解得实数m=115．
6.【答案】B
【解答】解：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A?44=24种．
故选B．
7.【答案】B
【解答】
解：根据题意，ξ服从两点分布，
所以E(ξ)=1?x，当x∈(0,12)时，E(ξ)单调递减，即E(ξ)随着x的增大而减小，
D(ξ)=(1?x)x=?x2+x，因为D(ξ)的对称轴为x=12，开口向下，故当x∈(0,12)时，Dξ随着x的增大而增大．
8.【答案】B
【解答】
解：由于服从两点分布，P(X=1)=23，
因此E(X)=0×13+1×23=23，
D(X)=0?232×13+1?232×23=29，
E(3X+2)=3E(X)+2=4，
D(3X+2)=9D(X)=2，
故选B．
9.【答案】B
【解答】
解：∵随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3)，
∴12a+22a+32a=1，解得a=3，
∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=22×3+32×3=56．
故选：B．
10.【答案】B
【解答】
解：根据X的分布列可得12+16+a=1，解得a=13，
EX=?1×12+0×16+1×a=a?12=?16，
由Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)=2E(X)+1=2×?16+1=23．
故选B．
11.【答案】D
【解析】解：∵随机变量X的分布列如下：
X
?1
0
1
P
a
b
c
∴a+b+c=1，且a，b，c∈[0,1].①
∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，②
联立①②，得b=13，a+c=23，
∴P(|x|=1)=P(X=?1)+P(X=1)=a+c=23．
12.【答案】B
【解答】
解：由题意知ξ的可能取值为2，3，4，
P(ξ=2)=25×14=110，
P(ξ=3)=25×34×13+35×24×13+35×24×13=310，
P(ξ=4)=1?110?310=610，
∴Eξ=2×110+3×310+4×610=72．
故选B．
13.【答案】20%
【解答】解：设10件产品中有x件次品，则P(ξ=1)=Cx1C10?x1C102=x(10?x)45=1645，∴x=2或8．
∵这10件产品的次品率不超过40%，∴x=2，
∴这10件产品的次品率为210×100%=20%．
14.【答案】752
【解答】
解：设剩下的8题答对的个数是ε，
则得分X=5ε+60，且ε?B(8,14)，
∴Dε=np(1?p)=8×14×34=32，
∴DX=D(5ε+60)=52×Dε=25×32=752；
故答案为752．
15.【答案】4390
16.【答案】10.4
【解答】
解：由随机变量X的分布列，可得随机变量3X+2的分布列如下：
3X+2
5
8
11
14
17
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则E(3X+2)=5×0.1+8×0.3+11×0.4+14×0.1+17×0.1=10.4．
故答案为10.4．
17.【答案】0.2
【解答】
解：赌金的分布列为：
ξ1
1
2
3
4
5
P
15
15
15
15
15
所以E(ξ1)=15(1+2+3+4+5)=3．
奖金的分布列为：
ξ2
1.4
2.8
4.2
5.6
P
4C52
3C52
2C52
1C52
所以E(ξ2)=1.4×4C52×1+3C52×2+2C52×3+1C52×4=2.8．
E(ξ1)?E(ξ2)=0.2，
故答案为0.2．
18.【答案】解：(1)ξ可取3，4，5．
ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
(2)η可取0，1，2，…，n，…．
η=i，表示该网站在单位时间内被点击i次，其中i=0，1，2，…．
19.【答案】解：(1)摸出的2个小球为异色球的种数为C11C31+C11C41+C31C41=19，
从8个球中摸出2个小球的种数为C82=28，
故所求概率P=1928．
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
符合条件的摸法包括以下三种：
①摸得1个红球，1个黑球，1个白球，共有C11C41C31=12种，
②摸得2个红球，1个其他颜色球，共有C42C41=24种，
③所摸得的3个球均为红球，共有C43=4种不同摸法，
故符合条件的不同摸法共有40种．
故P(X=1)=1240=310,P(X=2)=2440=35，P(X=3)=440=110，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
310
35
110
20.【答案】解：(1)记“抽取两次就将全部次品找出”为事件A，
则P(A)=A22A62=115．
(2)ξ的所有可能取值为2，3，4，5．
P(ξ=2)=115，P(ξ=3)=C21C41A22A63=215，
P(ξ=4)=A44A64+C21C42A33A64=415，
P(ξ=5)=C21C43A44A65+C43C21A44A65=815．
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
115
215
415
815