第6章 数学探究 杨辉三角的探究与应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修三练习（Word版含答案）

数学探究杨辉三角的探究与应用练习
一、单选题
我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为(????)
A. 2025
B. 3052
C. 3053
D. 3049
如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10,?，将该数列中的奇数项依次取出组成一个新的数列an，则1a1+1a2+1a3+?+1a2020=(????)?????????
A. 20202021 B. 20192020 C. 40212020 D. 40402021
图中各数类似“杨辉三角”，每行首末两数分别为1，2，每行除首末两数外，其余各数均等于“肩上”两数之和，则第n行的n+1个数的和为(??)
A. 3n
B. 3×2n?1
C. 3(n2?n)2+3
D. n2?n+3
如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为(?? )
A. 66
B. 153
C. 295
D. 361
以下数表源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(? ? ?)
A. 2017×22015 B. 2017×22014 C. 2016×22015 D. 2016×22014
杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(????)
A. 第6行 B. 第7行 C. 第8行 D. 第9行
“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是(????)
2017?2016?2015?2014……6?5?4?3?2?1
4033?4031?4029…………11?9?7?5?3
8064?8060………………20?16?12?8
16124……………………36?28?20
?????????? ………………………??????????????????????????????????????????????????????????????
A. 2017×22016 B. 2018×22015 C. 2017×22015 D. 2018×22016
若(1+x)20=a0+a1x+…+a19x19+a20x20，则a0+a1+…+a9+a10的值为(??? )
A. 219 B. 219?12C2010 C. 219+12C2010 D. 219+C2010
以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”：
1? 2? 3? 4? 5? …? 2014? 2015? 2016? 2017? 2018
3? 5? 7? 9? …? 4029? 4031? 4033? 4035
8? 12? 16? …? 8060? 8064? 8068
20? 28? …? 16124? 16132
…
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(??? )
A. 2019×22017 B. 2019×22016 C. 2018×22017 D. 2018×22016
二、单空题
如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第__________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2:3．
我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列an，若数列an的前n项和为Sn，则S67=_____．
将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成1(n+1)Cnr，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，令，则an=?_____________???????
如图所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n项和为Sn，则S16等于______
三、解答题
在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；
(2)已知n，r为正整数，且n≥r+3.求证：任何四个相邻的组合数Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3不能构成等差数列．
如图1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表．如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列{an}，其中a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，…设数列{an}的前n项和为Sn．

(1)求a8的值，并写出an，an+1，an+2满足的递推关系式(不用证明)；
(2)记a2022=m，用m表示S2020．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2+(3+3)+(4+6+4)+……+(11+C112+C113+C114+C115)
=22?2+23?2+……+210?2+12(211?2)
=4(29?1)2?1?18+210?1=3049．
∴数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，……，则此数列的前50项和为3049．
2.【答案】D
【解答】
解：根据题意数列{an}中a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，?，
则an+1?an=n+1，
故a2?a1=2，a3?a2=3，?，an?an?1=n，
当n≥2时，an=a1+a2?a1+a3?a2+?+an?an?1
=1+2+3+?+n=n(n+1)2，
当n=1时，a1=1，符合上式，
故an=n(n+1)2．
∴1an=2n(n+1)=2(1n?1n+1)，
故1a1+1a2+1a3+?+1a2020
=21?12+12?13+...+12020?12021
=40402021，
故选D．
3.【答案】B
【解答】
解：根据题意，由所给的表格：第1行的2个数为1、2，其和为1+2=3=3×20，
第2行的3个数为1、3、2，其和为1+3+2=6=3×21，
第3行的4个数为1、4、5、2，其和为1+4+5+2=12=3×22，
…；
则第n行的n+1个数的和为3×2n?1，
4.【答案】D
【解答】
解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式an．
n为偶数时，an=n+42，n∈N?，
n为奇数时，1=C20=C22，3=C31=C32，6=C42，10=C53=C52，…
an=Cn+322=n+32·n+122=(n+3)(n+1)8=18[(n+1)2+2(n+1)]，n∈N?，
然后求前21项和：
偶数项和为3+4+5+……+12=(3+12)×102=75，
奇数项和为18×[(22+42+62+…+222)+2×(2+4+6…+22)]
=18×[4×(12+22+32+……+112)+2×(2+4+6…+22)]
=18×[4×11×(11+1)(2×11+1)6+2×(2+22)×112]
=18×[(22×4×23)+11×24]=286，
∴S21=75+286=361．
5.【答案】B
【解答】?
解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2?1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：(n+1)×2n?2，
第2016行只有M，
则M=(1+2016)?22014=2017×22014．
6.【答案】B
【解答】
解：由题意，第6行为1?6?15?20?15?6?1，
第7行为1?7?21?35?35?21?7?1，
故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
7.【答案】B
【解答】
解：由已知：数表的每一行从右至左都是一个等差数列，
第一行公差是1，第二行公差是2，第三行公差是4，依次类推，第2015行公差为22014，
所以第一行第一个数是2×2?1，第二行第一个数为3×20，第三行第一个数为4×21，
依次类推，第n行第一个数为n+1×2n?2，第2017行只有一个数，为1+2017×22015=2018×22015，
8.【答案】C
【解答】
解：由(1+x)20=a0+a1x+…+a19x19+a20x20，
令x=1得，a0+a1+…+a9+a10+a11+a12+?+a19+a20=220，
又a0=C200，a1=C201，?，a20=C2020，
所以C200+C201+?+C209+C2010+C2011+C2012+?C2019+C2020=220，
又因为C200=C2020，C201=C2019，?，C2010=C2010，C2011=C209，
所以，C200+C201+?+C209=C2011+C2012+?C2019+C2020，
所以C200+C201+?+C209+C2010+C2011+C2012+?C2019+C2020
C200+C201+?+C209+C2010+C2011+C2012+?C2019+C2020
2(C200+C201+?+C209+C2010)?C2010=220，
所以C200+C201+?+C209=219+12C2010．
9.【答案】B
【解答】
解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2017行公差为22016，
故第1行的第一个数为：2×2?1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：(n+1)×2n?2，
第2018行只有M，
则M=(1+2018)?22016=2019×22016．
10.【答案】34
【解答】
解：∵二项式展开式第r+1项的系数为Tr+1=Cnr，
∴第n行的第14个和第15个的二项式系数分别为Cn13与Cn14，∴Cn13Cn14=23，
整理得14n?13=23，解得n=34，??
故答案为34．
11.【答案】2048
【解答】
解：分析知第k行最后项在数列an中的项数为kk+12，
设a67位于第kk∈N?行，则kk?12<67≤kk+12，解得k=12，
且第11行最后一项在数列an中的项数为11×122=66，
所以a67位于杨辉三角数阵的第12行第1个，
而第一行各项和为1=20，
第二行各项和为2=21，
第三行各项的和为4=22，
依此类推，第k行各项的和为2k?1，
因此，S67=(20+21+22+?+210)+C110
=1?2111?2+1=211=2048．
故答案为2048．
12.【答案】1?1n+1
【解答】
解：
∴an=11?12+12?13+13?14+?+1n?1?1n+1n?1n+1=1?1n+1
故答案为1?1n+1．
13.【答案】164
【解答】
解：由杨辉三角的产生过程的过程，得
n为偶数时，an=n+22，
n为奇数时，an+2=an+an?1=an+n+32，
∴a3?a1=2，
a5?a3=3，
......
an?an?1=n+12，
得an=n2+4n+38，
∴S16=a1+a3+...+a15+(a2+a4+...+a16)
=(1+3+6+...+36)+(2+3+...+9)=120+44=164．
故答案为164．
14.【答案】解：(1)存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数Cnk，k=0，1，2，…，n组成，
如果第n行中有Cnk?1Cnk=kn?k+1=34,CnkCnk+1=k+1n?k=45，
那么3n?7k=?3，4n?9k=5，解得k=27，n=62，
即第62行有三个相邻的数C6226,C6227,C6228的比为3:4:5;
(2)若有n，r(n≥r+3)，使得Cnr,Cnr+1,Cnr+2,Cnr+3成等差数列，
则2Cnr+1=Cnr+Cnr+2,2Cnr+2=Cnr+1,+Cnr+3，
即2×n!(r+1)!(n?r?1)!=n!r!(n?r)!+n!(r+2)!(n?r?2)!，
2×n!(r+2)!(n?r?2)!=n!(r+1)!(n?r?1)!+n!(r+3)!(n?r?3)!，
所以有2(r+1)(n?r?1)=1(n?r?1)(n?r)+1(r+1)(?r+2)，
2(r+2)(n?r?2)=1(n?r?2)(n?r?1)+1(r+2)(r+3)，
整理得到n2?(4r+5)n+4r(r+2)+2=0，
n2?(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0.??两式相减可得n=2r+3，
于是C2r+3r，C2r+3r+1，C2r+3r+2，C2r+3r+3成等差数列，? ?
而由二项式系数的性质可知C2r+3r=C2r+3r+3这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．
15.【答案】解：(1)因为a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,
a8=8+13=21．
an+2=an+1+an(n∈N+)．
(2)因为，
，
a5=a4+a3，
…
a2021=a2020+a2019，
a2022=a2021+a2020，
相加得，
所以，
所以．