7.5 正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修三练习（Word版含答案）

正态分布练习
一、单选题
某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(? ? )人．
(参考数据P(μ?σ A. 261 B. 341 C. 477 D. 683
某校一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N89,σ2，且P(84 A. 60 B. 80 C. 100 D. 120
中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目．在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，则参赛的学生总数约为(????)
(参考数据：P(μ?σ A. 208 B. 206 C. 204 D. 202
设随机变量X～N(5,σ2)，若P(X>10?a)=0.4，则P(X≥a)=(????)
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久．奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉．据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则果实横径在[75,90)的概率为(????)
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ?δ A. 0.6826 B. 0.8413 C. 0.8185 D. 0.9544
已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，则P(2≤ξ<5)=(??? )
A. 0.3 B. 0.35 C. 0.5 D. 0.7
设随机变量X?N(3,σ2)，若P(X>m)=0.3，则P(X≥6?m)=(????)
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,σ2)，已知P(X≤122)=0.96，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为(?????? )
A. 6 B. 4 C. 94 D. 96
山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80,52)，则直径在(75,90]内的概率为附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ?σ A. 0.6826 B. 0.8413 C. 0.8185 D. 0.9544
若随机变量ξ服从正态分布N2,σ2,ξ在区间(4,+∞)上的取值概率是0.2，则ξ在区间(0,2)上的取值概率约是(????)
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中男生的立定跳远测试数据ξ(单位：cm)服从正态分布N(200,σ2)，且P(ξ≥220)=0.1，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记ξ不在(180,220)的人数为X，则(? ?)
A. P(180<ξ<220)=0.9 B. E(X)=2.4
C. D(X)=0.16 D. P(X≥1)=0.488
某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布N1,32，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间4,7内的概率为(??? )
(附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ?σ<ξ<μ+σ=68.27％，Pμ?2σ<ξ<μ+2σ=95.45％)
A. 31.74％ B. 27.18％ C. 13.59％ D. 4.56％
二、单空题
已知随机变量X∽N(1,σ2)，若PX>2=0.2，则PX>0=________．
已知某农场某植物高度ξ～N(μ,0.04)，且P(ξ<6)=P(ξ≥6)，如果这个农场有这种植物10000棵，试估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为________．
参考数据：若ξ～N(μ,σ2)，则P(μ?σ<ξ≤μ+σ)=0.6826，P(μ?2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544，
P(μ?3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974．
已知随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)，若P(X≥1)=0.64，P(04)=______．
已知随机变量X~N（2，σ2），P（X>0）=0.9，则P（2< X≤4）=________．
已知随机变量X?N2,σ2，PX>0=0.9，则P2三、解答题
已知随机变量X～N(μ,σ2)，且正态分布密度函数在(?∞,80)上是增函数，在(80,+∞)上为减函数，P(72(1)求参数μ，σ的值；
(2)求P(64一建筑工地需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ=8，σ=0.2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现有的钢筋长度不到7?m，这时，他应该让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止加工，检查钢筋切割机？
在新冠肺炎防控期间，某校“停课不停学”，采取了网络教学的授课模式对学生进行了教学．该校为了解网络教学的学习效率，随机抽查了高一年级(本年级共有2000名学生)100名学生的某次物理测试成绩(满分100分)，统计他们的成绩在40分到100分之间，并得到如下统计表：
分数段
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
人数
5
20
30
30
10
5
(1)由统计表可以认为，这次物理测试成绩近似地服从正态分布N(μ,14.42)，其中μ近似为样本平均数(每组数据以区间的中点值为代表)，试估计这次物理测试成绩在区间(54.1,97.3)内的人数(结果保留整数)；
(2)年级组决定选取一部分成绩不理想的学生分析成绩偏低的原因，选取办法如下：先利用分层抽样的方法从成绩在前3段的学生中随机选取11人组成1个样本小组，再从这11人中随机选取1人，如果选到成绩在前2段的学生，则该学生留在样本小组；如果选到第3段的学生，则将该学生与前2段中未选到的一个学生(即该生不是已选取到样本中的人)交换，重复上述过程n次后，记这11人中成绩在前2段中的学生人数为Xn．
①求X1的概率分布及数学期望E(X1)；
②求Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式．
附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ?σ答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75,121)，得正态曲线的对称轴为x=75，σ=11，
所以数学成绩在75分到86分之间的概率P=12P(μ?σ所以数学成绩在75分到86分之间的人数约为1000×0.3413≈341．
故选B．
2.【答案】D
【解答】
解：∵考试的成绩X服从正态分布N(89,σ2)，
∴考试的成绩X关于X=89对称，
∵P(84∴P(89∴P(X≥94)=1?0.3?0.32=0.2，
∴该校数学成绩在90分以上的人数为0.2×600=120，
故选D．
3.【答案】D
【解答】
解：设参赛学生的成绩为ξ，由题意知ξ?N80,102，
因此P70<ξ?90=0.683，所以Pξ?90=1?0.6832≈0.159．
又因为成绩在90分以上(含90分)的学生有32名，
所以参赛的学生总数约为320.159≈202．
4.【答案】A
【解答】
解：∵X～N(5,σ2)，P(X>10?a)=0.4，
∴P(X则P(X≥a)=1?0.4=0.6，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】解：由题意，μ=80，δ=5．
则P(75∴P(85∴P(75则果实横径在[75,90)的概率为0.8185．
6.【答案】B
【解答】
解：∵随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2，
若P(ξ<2)=P(ξ>8)=0.15，
∴μ=8+22=5，?
∴P2≤ξ<5=0.5?P(ξ<2)=0.5?0.15=0.35，?
7.【答案】D
【解答】
解：由于X?N(3,σ2)，则正态密度曲线关于直线x=3对称，
所以P(X>m)=PX<6?m=0.3，则P(X?6?m)=1?PX<6?m=1?0.3=0.7．
故选D．
8.【答案】B
【解答】
解：由题意可得，P(X>122)=0.04，对称轴为x=85，
故P(X<48)=0.04，
∴成绩小于48分的样本个数为100×0.04=4个．
故选B．
9.【答案】C
【解答】
解：由题意，μ=80，σ=5，则P(75所以P(85故果实直径在(75,90]内的概率为0.8185．
故选C．
10.【答案】A
【解答】
解：据题设分析知，因为ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ2>0)，
所以正态曲线关于直线x=2对称，
∵ξ在区间4,+∞上的取值概率是0.2，
∴由对称性ξ在?∞,0上的取值概率也是0.2，
所求概率P(0<ξ<2)=1?2P(ξ>4)2=0.3，
11.【答案】D
【解答】
解：因为ξ～N(200,σ2)，所以P(ξ≤180)=P(ξ≥220)=0.1，??
则P(180<ξ<220)=1?2P(ξ≥220)=0.8，故A错误．? 因为x～B(3,0.2)，故E(X)=3×0.2=0.6，故B错误；??
D(X)=3×0.8×0.2=0.48，故C错误；??P(X≥1)=1?P(X=0)=1?0.83=0.488，故D正确．?
12.【答案】C
【解答】
解：设口径的长度误差为ξ，
P(?2<ξ<4)=68.27%，P(?5<ξ<7)=95.45%，?
∴P(4<ξ<7)=12(95.45%?68.27%)=13.59%．
故选C．
13.【答案】0.8
【解答】
解：∵随机变量X服从正态分布X∽N(1,σ2)，
∴对称轴是x=1，?
∴P(X>2)=P(X<0)=0.2，?
∴P(X>0)=1?0.2=0.8
故答案为0.8
14.【答案】1359
【解答】
解：因为P(ξ<6)=P(ξ≥6)，所以μ=6，又σ2=0.04,σ=0.2，
则p6.2<ξ?6.4=pμ+σ<ξ?μ+2σ=0.9544?0.68262=0.1359，
设该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为X，
则X∽B10000,0.1359，
如果这个农场有这种植物10000棵，
则估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4]上的棵数为EX=10000×0.1359=1359，
故答案为1359．
15.【答案】0.1
【解析】解：∵随机变量X～B(2,p)，Y～N(2,σ2)，P(X≥1)=0.64，
∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)
=C21p(1?p)+C22p2=0.64，
解得p=0.4，或p=1.6(舍)，
∴P(0∴P(Y>4)=12(1?0.4×2)=0.1．
16.【答案】0.4
【解答】
解：因为随机变量X服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），且P（X＞0）=0.9，
所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，故P（X＜2）=P（X＞2）=0.5，
所以P（2＜X＜4）=P（0＜X＜2）=P（X＞0）-P（X＞2）=0.9-0.5=0.4．
故答案为：0.4．
17.【答案】0.4
【解答】
解：因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0)，且P(X>0)=0.9，
所以该正态分布曲线的对称轴为x=2，故P(X<2)=P(X>2)=0.5，
所以P(20)?P(X>2)=0.9?0.5=0.4．
故答案为0.4．
18.【答案】解：(1)由于正态分布密度函数在(?∞,80)上是增函数，在(80,+∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x=80对称，即参数μ=80．
又P(72所以σ=8．
(2)因为P(μ?2σP(72所以P(64=12[P(64=12×(0.954?5?0.682?7)
=0.135?9．
19.【答案】解：由于钢筋的长度服从正态分布N(8,0.22)，则钢筋长度在(8?3×0.2,8+3×0.2)内，即(7.4,8.6)之外取值的概率约为0.002?6，而7?(7.4,8.6)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批钢筋不能继续使用，应停止加工，检查钢筋切割机．
20.【答案】解：(1)依题意，列出频率表，
分数
45
55
65
75
85
95
频率
0.05
0.2
0.3
0.3
0.1
0.05
则μ=45×0.05+55×0.2+65×0.3+75×0.3+85×0.1+95×0.05=68.5，
所以P(54.1=120.6827+0.9545=0.8186，
故2000名学生中这次物理测试成绩在区间(54.1,97.3)内的人数为2000×0.8186=1637.2≈1637．
(2)由分层抽样知识可知，这11人中前2组有5人，第3组有6人．
?①随机变量X1的所有可能结果为5，6，
所以PX1=5=511,PX1=6=611,
所以X1的分布列为
X1
5
6
P
511
611
数学期望EX1=5×511+6×611=6111．
②设P(Xn=5+k)=Pk，k=0，1，2，3，4，5，6，
则P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6=1，
EXn=5P0+6P1+7P2+8P3+9P4+10P5+11P6，
P(Xn+1=5)=511P0，
P(Xn+1=6)=611P0+611P1，
P(Xn+1=7)=511P1+711P2，
P(Xn+1=8)=411P2+811P3，
P(Xn+1=9)=311P3+911P4，
P(Xn+1=10)=211P4+1011P5，
P(Xn+1=11)=111P5+1111P6，
所以Xn+1的分布列为
Xn+1
5
6
7
8
9
10
11
P
511P0
611P0+611P1
511P1+711P2
411P2+811P3
311P3+911P4
211P4+1011P5
111P5+1111P6
所以EXn+1=5×511P0+6×611P0+611P1+7×511P1+711P2
+8×411P2+811P3+9×311P3+911P4+10×211P4+1011P5+11×111P5+1111P6
所以EXn+1=6111P0+7111P1+8111P2+9111P3+10111P4+11111P5+12111P6
=10115P0+6P1+7P2+8P3+9P4+10P5+11P6+P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6
则EXn+1=1011EXn+1，
所以EXn+1?11=1011EXn?11，
又EX1?11=6111?11=?6011，
所以EXn=11?6011×1011n?1=11?6×1011n．