2020-2021学年北师大版七年级数学下册5.3 简单的轴对称图形(六) 同步练习题（Word版，附答案）

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章
5.3.6简单的轴对称图形(六)
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上的一点，PC∥OA，PD⊥OA.若PC＝4，则PD＝_____．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝3，则BD＝_____．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，AD是△ABC的平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是5∶8．
4．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于_____．
二、选择题　　　　　　　　　　　　　
5．下列说法不正确的是(
)
A．角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
B．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
C．圆有无数条对称轴
D．等腰三角形的对称轴是底角的平分线所在的直线
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是(
)
A．PQ＜10
B．PQ＞10
C．PQ≥10
D．PQ≤10
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是(
)
A．4
B．3
C．6
D．5
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB,
DF⊥AC，E，F为垂足，下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C
的距离相等．其中正确的是(
)
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
　　
三、解答题
9．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：PE＝PF.
(2)已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF，当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．
10．如图，已知△ABC的周长是20
cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1.8
cm，求△ABC的面积．
B组(中档题)
一、填空题
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE分别交AC，AD于点E，F，AG平分∠DAC交BC于点G，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF.其中正确的结论有_____个．
12．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，已知△ABC的周长为24，OD⊥AB，OD＝3，则△ABC的面积为_____．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF.则CE＋EF的最小值为_____．
　　
二、解答题
14．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
C组(综合题)
15．如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.
(1)试说明∠BEC＝∠ADC的理由；
(2)请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？请说明理由．
参考答案
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第五章
5.3.6简单的轴对称图形(六)
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上的一点，PC∥OA，PD⊥OA.若PC＝4，则PD＝2．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D.若CD＝3，则BD＝6．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，AD是△ABC的平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是5∶8．
4．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于12．
二、选择题　　　　　　　　　　　　　
5．下列说法不正确的是(D)
A．角平分线上的点到这个角两条边的距离相等
B．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
C．圆有无数条对称轴
D．等腰三角形的对称轴是底角的平分线所在的直线
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是(C)
A．PQ＜10
B．PQ＞10
C．PQ≥10
D．PQ≤10
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是(A)
A．4
B．3
C．6
D．5
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB,
DF⊥AC，E，F为垂足，下列结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C
的距离相等．其中正确的是(D)
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②③④
　　
三、解答题
9．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：PE＝PF.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的平分线．
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF.
(2)已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB，AC的距离分别为DE，DF，当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．
解：当D为BC的中点时，DE＝DF.
证明：∵AD为等腰三角形底边上的中线，
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
10．如图，已知△ABC的周长是20
cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝1.8
cm，求△ABC的面积．
解：连接OA，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F.
∵BO是∠ABC的平分线，且OD⊥BC，OE⊥AB,
∴OE＝OD＝1.8
cm.
同理，OF＝OD＝1.8
cm，
∴S△ABC＝S△BOC＋S△ABO＋S△ACO＝BC·OD＋AB·OE＋AC·OF＝(BC＋AB＋AC)·OD＝×20×1.8＝18(cm2)．
B组(中档题)
一、填空题
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE分别交AC，AD于点E，F，AG平分∠DAC交BC于点G，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF.其中正确的结论有3个．
12．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，已知△ABC的周长为24，OD⊥AB，OD＝3，则△ABC的面积为36．
13．如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝10，△ABC的面积为30，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF.则CE＋EF的最小值为6．
　　
二、解答题
14．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
C组(综合题)
15．如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，且FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H.
(1)试说明∠BEC＝∠ADC的理由；
(2)请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？请说明理由．
　
图1
图2
解：(1)∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝15°，∠ACE＝∠ACB＝45°.
∴∠CDA＝∠BAD＋∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC＋∠ECA＝75°.
∴∠BEC＝∠ADC.
(2)相等，理由：
过点F作FH⊥BC于点H，作FG⊥AB于点G，连接BF，
∵点F是△ABC角平分线交点，
∴BF平分∠ABC.
∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°.
由(1)得∠BEC＝ADC，即∠GEF＝∠HDF.
在△DHF和△EGF中，
∴△DHF≌△EGF(AAS)．
∴FE＝FD.
(3)成立．理由：过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥AB于点N，连接BF，
∵点F是△ABC角平分线交点，
∴BF平分∠ABC.∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝360°－90°－90°－60°＝120°.
∵∠CFA＝180°－(∠FAC＋∠FCA)＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠ABC)＝180°－(180°－60°)＝120°，
∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°.
又∵∠MFN＝∠MFD＋∠DFN，∠DFE＝∠DFN＋∠NFE，
∴∠DFM＝∠NFE.
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF(ASA)．
∴FE＝FD.