基础知识检测6（第9章平面向量、第10章三角恒等变换）-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word版含解析）

高一下学期数学基础知识检测（6）
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，，则，为　　
A． B． C． D．
2．在中，，，，则　　
A． B． C． D．
3．已知梯形中，，且，点在线段上，若，则实数　　
A． B． C． D．
4．如图，则　　
A． B． C． D．
5．若，则　　
A． B． C． D．
6．已知，，则　　
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则　　
A． B． C．1 D．
8．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则　　
A． B．2 C． D．4
二．多选题（共4小题）
9．若点在所在的平面内，则以下说法正确的是　　
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
10．已知是边长为2的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量的模为
11．已知函数，，则下列说法正确的是　　
A． 在区间上有2个零点
B．，为的一个对称中心
C．
D．要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
12．已知，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量，，且与的夹角为，则　　．
14．已知向量，，，若，则实数　　．
15．已知函数，若，且为锐角，则的值是　　．
16．在中，，为锐角，且，则　　．
四．解答题（共2小题）
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的周长．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若（C），，且的面积为，求边的值．
高一下学期数学基础知识检测（6）
考查知识点：苏教版必修第二册第九章
《平面向量》、第十章《三角恒等变换》
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，，则，为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式可得、的坐标，进而可得、以及的值，由夹角公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
则，，
则有，，，
则，，
故选：．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
2．在中，，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】画出图形，表示出数量积的两个向量，然后求解即可．
【解答】解：在中，，，，
如图：则，
所以
故选：．
【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，是基本知识的考查，基础题．
3．已知梯形中，，且，点在线段上，若，则实数　　
A． B． C． D．
【分析】可画出图形，根据在线段上，以及即可得出，进而可得出，从而可得出，然后解出即可．
【解答】解：如图，
在线段上，且，设，
，
又，
，解得．
故选：．
【点评】本题考查了共线向量和平面向量基本定理，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．如图，则　　
A． B． C． D．
【分析】结合图像求出，，作差即可．
【解答】解：由题意得：，，
故，
故选：．
【点评】本题考查了向量的运算，考查数形结合思想，是基础题．
5．若，则　　
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6．已知，，则　　
A． B． C． D．
【分析】先利用二倍角公式求得的值，而，再由诱导公式可得的值，从而得解．
【解答】解：，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查二倍角公式和诱导公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
7．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则　　
A． B． C．1 D．
【分析】由任意角的三角函数知，，再根据两角差的余弦公式，即可得解．
【解答】解：由题意得，，，
．
故选：．
【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则　　
A． B．2 C． D．4
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，然后利用二倍角公式化简得答案．
【解答】解：，若，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
9．若点在所在的平面内，则以下说法正确的是　　
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【分析】对于：直接利用向量的数量积和向量的线性运算，判断为三角形的重心；
对于：利用向量的模和单位向量及向量垂直的充要条件，判断为三角形的内心；
对于：利用向量的线性运算和向量的模，判定为三角形的外心；
对于：利用向量的减法和向量的数量积，判断为三角形的垂心．
【解答】解：对于：设点为的中点，若，
则，，
所以点为边上的中线的三等分点，
故点为的重心，故正确；
对于分别为的单位向量，
任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量，
所以、垂直于构成菱形的对角线，
所以点在角平分线上，故点为内心，故错误；
对于，
整理得，
所以，故点为的外心，故正确；
对于，
所以，整理得，同理，
即，，
故点为的垂心，故错误．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的线性运算，向量的模，三角形的垂心，重心，内心，外心的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10．已知是边长为2的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量的模为
【分析】利用向量垂直的充要条件即可判断选项，利用平面向量的线性运算求出，即可判断选项，建立平面直角坐标系，设，，求出所需向量的坐标，利用向量的坐标运算以及模的计算公式求解，即可判断选项，求出和的坐标，利用投影的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，为的中点，则，所以，故选项错误；
由平面向量线性运算可得，，故选项正确；
以为坐标原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
设，，
所以，
因为，所以，解得，
故，故选项正确；
因为，
所以在方向上的投影为，故选项正确．
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了平面向量的综合应用，解题的关键是建立直角坐标系，将向量问题转化为坐标问题进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
11．已知函数，，则下列说法正确的是　　
A． 在区间上有2个零点
B．，为的一个对称中心
C．
D．要得到的图像，可以将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的
【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：，
，
由得，，则，，
当，，时，为上的两个零点，正确；
结合的讨论可知，，为函数的一个对称中心，正确；
当时，函数没有取得最值，故不是函数的对称轴，错误；
将图像上所有的点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的可得函数，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦函数的零点，对称性及函数图像的变换性质的综合考查，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
12．已知，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式对已知条件转化为，然后再由两角和与差的三角函数和二倍角公式进行变形处理，得到，所以或，据此对各个选项进行分析判断即可．
【解答】解：由可得，
即，
即，
所以或，
由可知不可能成立，
故，即，
所以，且，故．
故选：．
【点评】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．已知向量，，且与的夹角为，则　　．
【分析】根据题意，由、的坐标可得、以及的值，由数量积的计算公式可得关于的方程，解可得的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，，
则，，，
若与的夹角为，则，即，
解可得，
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的分析，属于基础题．
14．已知向量，，，若，则实数　　．
【分析】推导出，由，列方程能求出．
【解答】解：向量，，，
，
，
，
解得．
实数．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
15．已知函数，若，且为锐角，则的值是　　．
【分析】先由同角三角函数的平方关系，可得，再结合两角和的余弦公式，化简，然后代入相应数据，进行运算即可．
【解答】解：，且为锐角，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
16．在中，，为锐角，且，则　　．
【分析】由已知整理可得：，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式可求，结合范围求的角，即可求得的值．
【解答】解：，
整理可得：，
，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正切函数公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
17．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的周长．
【分析】（1）根据，的关系求出，根据同角的基本关系求出，，从而求出的值；
（2）根据正弦定理以及余弦定理求出三角形的三边长，从而求出三角形的周长即可．
【解答】解：（1）由，得，
，，
，，，，
，
故，
则；
（2），，解得：，
由得：，故，
由，解得：，
由余弦定理得：，
则，故，
故的周长是．
【点评】本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查平面向量问题，是中档题．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若（C），，且的面积为，求边的值．
【分析】（1）结合两角和的正弦公式、辅助角公式将函数化简为，再由，得解；
（2）利用（1）中结论可得，再结合正弦定理和三角形面积公式，可求得和的值，最后由余弦定理，即可得解．
【解答】解：（1）
，
最小正周期．
（2）（C），，即，
，，
由正弦定理知，，
，，
的面积为，，
，，
由余弦定理知，，
．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，以及两角和差公式、辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．