2020-2021学年七年级数学沪科版下册8.4 第2课时 公式法（共23张ppt）

(共23张PPT)
第8章
整式乘法与因式分解
8.4
第2课时
公式法
知识回顾
1.整式的乘法:
整式的乘积
因式分解：
多项式
多项式
整式的乘积
2.因式分解：提公因式法
实质：乘法分配律的逆用
步骤：一找；二提
获取新知
知识点一：利用平方差公式分解因式
平方差公式：
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:
(
)2-(
)2的形式.
例题讲解
例1
把下列各式分解因式：
(1)x2－81；
(2)36a2－25b2.
解：(1)
x2－81
＝x2－92
＝(x＋9)(x－9).
(2)
36a2－25b2
＝(6a)2－(5b)2
＝(6a＋5b)(6a－5b).
例2
分解因式：
(1)x2y－4y；(2)(a＋1)2－1；
(3)x4－1；
(4)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
分析：对于(1)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；
对于(2)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；
对于(3)分解因式要完全；
对于(4)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公式进行分解因式．
解：(1)原式＝y(x2－22)＝y(x＋2)(x－2)．
(2)原式＝(a+1)2-12=(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)．
(3)原式＝(x2)2-12=(x2＋1)(x2－12)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
(4)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
例3
计算下列各题：
(1)1012－992；
(2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
获取新知
知识点二：利用完全平方公式分解因式
完全平方公式：
整式乘法
因式分解
(a±b)2
=
a2±2ab+b2
a2±2ab+b2=(a±b)2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
例题讲解
例4
把下列各式分解因式：
(1)x2＋14x＋49；
(2)9a2－30ab＋25b2.
解：(1)x2＋14x＋49
＝x2＋2·x·7＋72
＝(x＋7)2.
(2)
9a2－30ab＋25b2
＝(3a)2－2×3a×5b＋(5b)2
＝(3a－5b)2.
例5
分解因式：
(1)
－2x3y＋4x2y－2xy；(3)(a－b)2－6(b－a)＋9；(4)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
分析：对于(1)先提取公因式－2xy后，再运用完全平方公式进行因式分解；
对于(2)将(b－a)化为－(a－b)后，再运用完全平方公式进行因式分解；
对于(3)可视(x2－2x)为一个整体，再运用完全平方公式进行因式分解．
解：(1)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2.
(2)原式＝(a－b)2＋2(a－b)×3＋32＝(a－b＋3)2.
(3)原式＝(x2－2x)2＋2(x2－2x)×1＋12
＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2
＝(x－1)4.
例6
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99?；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)?=1.
(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算
例7
分解因式：
(1)ab2-ac2;
(2)3ax2＋24axy＋48ay2.
(2)3ax2＋24axy＋48ay2
＝3a(x2＋8xy＋16y2)(提取公因式)
＝3a(x＋4y)2.(用完全平方公式)
解：(1)ab2-ac2
＝a(b2-c2)(提取公因式)
＝a(b＋c)(b-c).(用平方差公式)
分解因式的方法步骤：一提(公因式)、二套(公式)、三查(是否分解彻底)
随堂演练
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．－a2＋b2
B．－a2－b2
C．a2＋b2
D．y2＋x
A
2．多项式x2－kx＋9能用完全平方公式分解因式，
则k的值为(　　)
A．±3
B．3
C．±6
D．6
C
3.分解因式(2x+3)2
-x2的结果是（　　）
A．3(x2+4x+3)
B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3)
D．3(x+1)(x+3)
D
4.
下列因式分解正确的是(　　)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
B
5.
利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到一个含字母a，b的关于因式分解的公式是__________________．
a2+2ab+b2=(a+b)2
6.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_______.
4
7.分解因式：
(1)1－25b2；(2)(x＋y)2－(x－y)2；(3)25(a＋b)2－9(a－b)2；
(4)9x2＋6x＋1;
(5)a2－4ab＋4b2；(6)
y2+2y+1－x2
解：(1)1－25b2
＝1－(5b)2
＝(1＋5b)(1－5b)．
(2)(x＋y)2－(x－y)2
＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)
＝4xy.
(3)25(a＋b)2－9(a－b)2
＝[5(a＋b)]2－[3(a－b)]2
＝[5(a＋b)＋3(a－b)][5(a＋b)－3(a－b)]
＝(8a＋2b)(2a＋8b)
＝4(4a＋b)(a＋4b)．
(4)9x2＋6x＋1
=(3x)2+2?3x?1+12
=(3x＋1)2
(5)a2－4ab＋4b2
=a2－2?a?2b＋(2b)2
=(a－2b)2.
(6)
y2+2y+1－x2
=(y+1)?
－x?
=(y+1+x)(y+1－x).
课堂小结
公式法因式分解
公式
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
完全平方公a2±2ab+b2=(a±b)2