3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式(组).2.理解二元一次不等式(组)的几何意义．3.会画二元一次不等式(组)表示的平面区域．(重点、难点)
通过二元一次不等式(组)表示的平面区域及其应用的学习，培养直观想象素养．
1．二元一次不等式的概念
我们把含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的不等式称为二元一次不等式．
2．二元一次不等式组的概念
我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．
思考：点(2，1)是否是不等式3x－2y＋1>0的解？
[提示] 是．把(2，1)代入，不等式成立．
3．二元一次不等式(组)的解集概念
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成一个有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
思考：把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什么关系？
[提示] 一一对应．
4．二元一次不等式表示的平面区域及确定
(1)直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0．
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0．
(2)在直角坐标平面内，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．
(3)①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c所得的符号都相同．
②在直线ax＋by＋c＝0的同一侧取某个特殊点(x0，y0)，由ax0＋by0＋c的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域．
5．二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．
思考：y≥ax＋b所表示的平面区域与y>ax＋b表示的平面区域有什么不同？如何体现这种区别？
[提示] 前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域不含该直线上的点．画图时用实线表示前者，用虚线表示后者．
1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( )
A．x－y＋1＜0
B．2x＋3y－6＞0
C．2x＋5y－10≥0
D．4x－3y≤12
D [将点(0，0)代入不等式验证即可．]
2．直线x＋2y－1＝0右上方的平面区域可用不等式
表示．
x＋2y－1>0 [用右上方特殊点(1，1)代入x＋2y－1得结果为2>0.所以所求为x＋2y－1>0.]
3．不等式组所表示的平面区域的面积是
．
10 [画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S＝×5×4＝10.]
4．已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是
．
[因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.]
二元一次不等式表示的平面区域
【例1】 (1)画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域；
(2)写出如图表示平面区域的二元一次不等式：
[解] (1)如图：
第一步：画出直线3x＋2y＋6＝0(注意应画成虚线)，
第二步：直线不过原点，把原点坐标(0，0)代入3x＋2y＋6得6＞0，∴不等式表示的区域为原点所在的一侧．
(2)①x＋y－1≤0；
②x－2y＋2＜0；
③x＋y≥0.
二元一次不等式表示平面区域的判定方法
第一步：直线定界．画出直线ax＋by＋c＝0，不等式为ax＋by＋c＞0(＜0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线；
第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0，0).若原点(0，0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0
时，可取(1，0)或(0，1)作为测试点．
简记为：直线定界，注意虚实；特殊点定域，常取原点．
1．画下列不等式表示的平面区域：
(1)2x＋y－10<0；(2)y≥－2x＋3.
[解] (1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线).
取原点(0，0)，代入2x＋y－10＝2×0＋0－10<0，∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，不等式2x＋y－10<0表示的平面区域如图所示．
(2)先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线).
取原点(0，0)，代入2x＋y－3＝2×0＋0－3<0，
∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内，
不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示．
二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】 画出不等式组表示的平面区域．
思路探究：①你能作出各不等式对应的直线吗？②如何确定各不等式表示的区域？③各线是实线还是虚线？
[解] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及其右下方的点的集合；x＋y≤0表示直线x＋y＝0及其左下方的点的集合；y≥－3表示直线y＝－3及其上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为下图所示的三角形区域：
1．二元一次不等式组表示的平面区域是由每个不等式所表示的平面区域来确定的，是它们所表示平面区域的交集．
2．画平面区域的步骤
(1)画线——画出不等式对应的方程所表示的直线；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．
2．画出不等式组表示的平面区域．
[解] 先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O(0，0)代入x－y＋5，
∵0－0＋5＝5＞0，
∴原点在x－y＋5＞0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．
二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
[探究问题]
1．若点P(1，2)，Q(1，1)在直线x－3y＋m＝0的同侧，如何求m的取值范围？
[提示] 直线x－3y＋m＝0将坐标平面内的点分成三类：在直线x－3y＋m＝0上的点和在直线x－3y＋m＝0两侧的点，而在直线x－3y＋m＝0同侧点的坐标，使x－3y＋m的值同号，异侧点的坐标使x－3y＋m的值异号．
故有(1－3×2＋m)(1－3×1＋m)>0，即(m－5)(m－2)>0，
所以m>5或m<2.
2．不等式组表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？该图形若是不规则图形，如何求其面积？
[提示] 不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC，该三角形的面积为S△ABC＝×6×3＝9.若该图形不是规则的图形．我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．
3．点(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)在不等式组表示的平面区域内吗？该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？
[提示] 若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等组表示的平面区域内．经代入检验可知，在(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，4)中只有点(2，1)在不等式组表示的平面内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域(探究2提示中的图形)边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x＝1，则不等式组可化为显然该不等式组无解；再令x＝2，则原不等式组化为则0
【例3】 已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积；
(3)求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．
思路探究：(1)怎样画出不等式组表示的平面区域？(2)该平面区域是什么图形？如何求其面积？
(3)整点是什么样的点？怎样求其坐标？
[解] (1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图(1)所示．
(1) (2)
(2)如图(1)所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝×4×3＝6.
(3)当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤，∴整点为(1，2)，(1，1).
当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤，
∴整点为(2，1).
∴区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).如图(2).
1．(变条件)若将例题中的条件“”变为“”求此不等式组所表示区域的面积．
[解] 如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．
由得A(1，3).
同理得B(－1，1)，C(3，－1).
∴|AC|＝＝2，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝＝，∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
2．若将例题中的条件“”变为“”
求此不等式组所表示的平面区域的面积．
[解] 可将原不等式组分解成如下两个不等式组：
①或
②
上述两个不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3.
1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．
2．画出不等式组表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．
(1)求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．
(2)整点是横、纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．
1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，(1)Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
1．判断正误
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．
( )
(2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
( )
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．
( )
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．
( )
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
[提示] (1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝的右侧(不包括边界).
(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
2．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是
．
[因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6<0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6<0，解得t>.]
3．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是
．
等腰直角三角形 [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由图易知平面区域为等腰直角三角形．]
4．画出不等式组表示的平面区域．
[解]
不等式x>0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界).
不等式y>0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界).
不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合(不含边界).所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
PAGE第2课时 线性规划的实际应用
学
习
目
标
核
心
素
养
理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)
借助线性规划的实际应用，培养数学建模和直观想象素养．
应用线性规划解决实际问题的类型
思考：一家银行的信贷部计划年初投入25
000
000元用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30
000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，假设信贷部用于企业投资的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元．那么x和y应满足哪些不等关系？
[提示] 分析题意，我们可得到以下式子
1．已知目标函数z＝2x＋y，且变量x，y满足约束条件则( )
A．zmax＝12，zmin＝3
B．zmax＝12，无最小值
C．zmin＝3，无最大值
D．z既无最大值又无最小值
D [画出可行域如图所示，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值．
]
2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2
000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是
．
3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为
元．
36
800 [设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点(5，12)处取得最小值zmin＝36
800元．]
线性规划的实际应用问题
[探究问题]
1．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x、y万元，那么x、y应满足什么条件？
[提示]
2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z万元，那么z与x，y有何关系？
[提示] 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z与x，y的关系为z＝0.4x＋0.6y.
3．x，y应在什么条件下取值，x，y取值对利润z有无影响？
[提示] x，y必须在线性约束条件下取值．x，y取不同的值，直接影响z的取值．
【例1】 某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.
怎样安排生产可使所获利润最大？
思路探究：可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
[解] 设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为
即画出可行域如图所示，
作直线l：80x＋120y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，解得C(100，400)，所以zmax＝80×100＋120×400＝56
000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
(变结论)例题中的条件不变，如果只安排生产书桌可获利润多少？如果只安排生产书橱呢？
[解] (1)若只生产书桌，则y＝0，此时目标函数z＝80x，由图可知zmax＝80×300＝24
000，即只生产书桌，可获利润24
000元．
(2)若只生产书橱，则x＝0，此时目标函数z＝120y，由图可知zmax＝120×450＝54
000，即只生产书橱，可获利润54
000元．
解答线性规划应用题的一般步骤
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些．由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划中的最优整数解问题
【例2】 某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车，4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员．在建筑某段高速公路的工程中，此公司承包了每天运送360吨沥青的任务．已知每辆卡车每天往返次数为：A型车8次，B型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为：A型车160元，B型车280元．每天派出A型车与B型车各多少辆时，公司花的成本费最低？
思路探究：①本题的线性约束条件及目标函数分别是什么？②根据实际问题的需要，该题是否为整点问题？
[解] 设公司每天所花成本费为z元，每天派出A型车x辆，B型车y辆，则z＝160x＋280y,
x，y满足的约束条件为
作出不等式组的可行域，如图．
作直线l：160x＋280y＝0，即l：4x＋7y＝0.
将l向右上方移至l1位置时，直线l1经过可行域上的M点，且此时直线与原点的距离最近，z取得最小值．
由方程组
解得
但y＝0.4不是整数，故取x＝7，y＝1，此时z取得最小值．
所以，当每天派出A型车7辆、B型车1辆时，公司所花费用最低．
寻找整点最优解的三种方法
(1)平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，
这种方法应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
(2)小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．
某厂有一批长为18
m的条形钢板，可以割成1.8
m和1.5
m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元.售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解] 设割成的1.8
m和1.5
m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)
即z＝19x＋14.4y
且
作出不等式组表示的平面区域如图，又由
解出x＝，y＝，所以M，
因为x，y为自然数，在可行域内找出与M最近的点为(3，8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元).
又可行域的另一顶点是(0，12)，z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)：
过顶点(8，0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元).
M附近的点(1，10)，(2，9)，
直线z＝19x＋14.4y过点(1，10)时，z＝163；过点(2，9)时z＝167.6.
所以当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只截1.5
m长的零件12个，可获得最大利润．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调．
1．判断正误
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
( )
(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
( )
[答案] (1)√ (2)√
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为
元．
1
650 [设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，
则
即z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－x＋，作出直线y＝－x，在可行域内平移直线y＝－x，可知当直线过点B时，z有最大值，
由解得B，故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1
650元，故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1
650元．]
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元
，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为
．
4，2 [设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，
解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．]
4．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2
m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3
m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
[解] 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意
钢铁总面积z＝2x＋3y.作出可行域，如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组得
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．
PAGE3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
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习
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标
核
心
素
养
1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)
通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养．
1．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？
[提示] 不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个．
2．线性目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距是的一条直线，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
思考：若将目标函数z＝x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
[提示] 把目标函数整理可得y＝－x＋z，z为直线在y轴上的截距．
1．若则z＝x－y的最大值为
．
1 [
根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.]
2．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝
．
0 [当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.]
3．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于
，最大值等于
．
[
如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.]
求线性目标函数的最值问题
【例1】 (1)若变量x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是
．
(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为
．
(1)3 (2)－5 [(1)法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点(2，3)时，z＝x＋y取得最大值，即zmax＝2＋×3＝3.
法二：易知z＝x＋y在可行域的顶点处取得最大值，由解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由
解得代入z＝x＋y，可得z＝－；由
解得代入z＝x＋y，可得z＝3.比较可知，z的最大值为3.
(2)法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，
观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.]
解线性规划问题的一般步骤
(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移：平行移动直线ax＋by＝0，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值；
(4)答：给出正确答案．
1．(1)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A．4 B． C．6 D．
(2)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
(1)B (2)C [(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当经过点A时，z取得最小值．
此时∴A，∴zmin＝3×1＋2×＝.
(2)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；
对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；
对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2，2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；
对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线2x－y＝0平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.
非线性目标函数的最优解问题
[探究问题]
1．目标函数z＝x2＋y2和z＝(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是什么？
[提示] z＝x2＋y2表示可行域内的点(x，y)到坐标原点的距离的平方；z＝(x－a)2＋(y－b)2表示可行域内的点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方．
2．目标函数z＝(x≠a)和z＝(ac≠0)表示的几何意义是什么？
[提示] z＝(x≠a)表示可行域内的点(x，y)与定点(a，b)的连线的斜率；z＝＝·，表示可行域内的点(x，y)与定点的连线的斜率的倍．
3．z＝|ax＋by＋c|(a2＋b2≠0)的几何意义是什么？
[提示] z＝|ax＋by＋c|＝·，表示可行域内的点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0的距离的倍．
【例2】 已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
思路探究：(1)把z＝x2＋y2－10y＋25化为z＝x2＋(y－5)2，其几何意义是什么？(2)把z＝化为z＝2·，其几何意义是什么？
[解] 作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).
(1)z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是|MN|2＝.
(2)z＝＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线的斜率的2倍，因为kQA＝，kQB＝，故z的范围为.
1．本例中的条件不变，求z＝|x＋2y－4|的最大值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
法一：z＝|x＋2y
－4|＝
×，其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得点C的坐标为(7，9)，显然点C到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
法二：由图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点C时，目标函数z取得最大值，
由得点C的坐标为(7，9)，此时zmax＝21.
2．本例题中的条件不变
(1)求z＝x2＋y2的最小值；
(2)求z＝的范围．
[解] (1)由z＝x2＋y2的几何意义为区域内的点(x，y)至(0，0)的距离的平方知，z的最小值为(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方．
∴zmin＝＝8.
(2)由z＝的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率．因为A(1，3)，B(3，1)，kOA＝3.kOB＝，
∴z的取值范围是.
1．利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确．
2．非线性目标函数的最值的求解策略
(1)z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方．
(2)z＝型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
(3)z＝|Ax＋By＋C|可转化为点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
已知目标函数的最值求参数
【例3】 已知约束条件且目标函数z＝a2x＋(a－2－a2)y取得最小值的最优解唯一，为(2，2)，则a的取值范围是
．
思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到a－2－a2的判别式非正，且a2≥0，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定．
[线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示．
由于目标函数的y的系数a－2－a2＝－(a－)2－<0，x的系数a2≥0，故平行直线系z＝a2x＋(a－2－a2)y的斜率非负，为.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点A(2，2)，从而只需<，解得根据目标函数的最值求参数的解题思路
采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．
2．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A.2
B．－2
C．
D．－
D [
若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意；若k<0，画出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，直线z＝y－x，即y＝x＋z，在点A处取得最小值，所以0－＝－4，解得k＝－.]
1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤
(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；
(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；
(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；
(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
1．判断正误
(1)可行域是一个封闭的区域．
( )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．
( )
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．
( )
(4)线性规划问题一定存在最优解．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
[提示] (1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
2．已知实数x，y满足则z＝2x－y的取值范围是
．
[－5，7] [可行域如图阴影部分所示，
线性目标函数为z＝2x－y，zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×(－1)－3＝－5.
]
3．给出平面区域如图，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为
．
[取得最大值的最优解有无穷多个，说明将l0：ax＋y＝0平移时，恰好和AC所在的直线重合，即－a＝kAC＝＝－，∴a＝.]
4．已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围．
[解] 变量x，y满足约束条件，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD.
其中A(3，1)，D，B(1，3)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数z＝ax＋y(其中a>0)中的z表示斜率为－a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于－1，即－a<－1，所以a的取值范围为(1，＋∞).
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