2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念及简单的表示
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的判断与证明培养学生的逻辑推理素养．
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
).
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A．
思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
[提示] 插入的数分别为3，2，，0.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其他方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N
).
4．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．
思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
[提示] 只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝( )
A.4－2n
B．2n－4
C.6－2n
D．2n－6
C [an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]
2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝
．
3 [(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]
3．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，3，5，7，9；
④0，1，2，3，….
其中一定是等差数列的有
个．
3 [①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
4．lg
(＋)与lg
(－)的等差中项是
．
0 [lg
(＋)与lg
(－)的等差中项为：
＝
＝＝0.]
等差中项
【例1】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
).
1．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝
．
21 [由an－1＋an＋1
＝2an
(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．
∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.]
等差数列的通项公式及其应用
【例2】 (1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知数列{an}是等差数列，a5＝－1，a8＝2，求a1与d.
思路探究：设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)∵a4＝7，a10＝25，
则得
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N
).
(2)∵a5＝－1，a8＝2，
∴解得
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得求出a1和d，从而确定通项公式．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．
2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
[解] (1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，
得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，
得这个数列的通项公式为
an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
等差数列的判定与证明
[探究问题]
1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N
)，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．
2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N
)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是，由等差中项的定义可知．
3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] ∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
【例3】 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
思路探究：①要判断数列是否为等差数列，是否要先求－的表达式？
②能否求出数列的通项公式？
[解] (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2.
2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N
)”试判断数列{an}是否是等差数列．
[解] 当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠，故数列{an}不是等差数列．
等差数列的判定方法有以下三种：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N
)?{an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N
)?{an}为等差数列．
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N
)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N
)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N
)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．
( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝( )
A.1
B．－1
C.±1
D．±2
C [由已知得，解得d＝±1.]
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为
．
[＝＝＝.]
4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
[解] 因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数).
又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
PAGE第2课时 等差数列的性质
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目
标
核
心
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养
1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)
1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养．
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
思考：由上式可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示] 等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝.
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0?{an}为递增数列；
d<0?{an}为递减数列；d＝0?{an}为常数列．
思考：若{an}为等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？
[提示] 不一定．如常数列{an}，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4.
1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于( )
A.5
B．8
C.10
D．14
C [a1＋a7＝a3＋a5＝10.]
2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于( )
A.2
B．20
C.100
D．不确定
A [∵a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]
3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝
．
33 [由题意得d＝＝＝3.
∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]
4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝
．
15 [由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，
∴a12＝15.]
灵活的设元解等差数列
【例1】 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解] 法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得
化简，得
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得
解得
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．
2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
[解] 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±.
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
等差数列的实际应用
【例2】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
甲 乙
请你根据提供的信息回答问题．
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．
思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列．
[解] 由题图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.
(1)由a1＝1，a6＝2，得
∴得a2＝1.2；
由b1＝30，b6＝10，得
∴得b2＝26.
∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2，
即第2年养鸡场有26个，全县出产鸡31.2万只．
(2)∵c6＝a6b6＝2×10＝201．在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费
元．
23．2 [根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14
km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).]
等差数列的性质
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示] 由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N
且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d
＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d
＝2a1＋(p＋q－2)d，
因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
2．在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？
[提示] 若m＋n＝2r(m，n，r∈N
)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．
3．已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：
(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？
(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
[提示] (1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.
【例3】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A.30 B．15 C．5 D．10
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
思路探究：(1)利用等差数列的性质求解．
(2)①选用哪条性质求解更为简便？②a15，a30，a45，a60，a75成等差数列吗？
(1)B [∵数列{an}为等差数列，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝(a2＋a4)＝×6＝15.]
(2)[解] 法一：(利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
法二：(利用首项与公差)
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a60＝a15＋45d，
所以20＝8＋45d，所以d＝，
a75＝a15＋60d＝8＋60×＝24.
1．(变条件，变结论)本例(2)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.
[解] 法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10.
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝.
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32.
2．本例(2)中的条件变为“{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21”求a5＋b5的值．
[解] (1)法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
法二：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，
∴数列{an＋bn}也构成等差数列，
∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
易错警示：对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项．
1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．
( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．
( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] (1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为( )
A.20 B．30 C．40 D．50
C [∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，
∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，
∴a7＝20.
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]
3．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝
．
18 [∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，
∴k＝18.]
4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 法一：设这三个数为a，b，c(a法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，
由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝2，
∴这三个数为4，6，8.
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