第3课时 三角形中的几何计算
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1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)
1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算素养．2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象素养．
1．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝ab
sin
C＝bc
sin
A＝ca
sin
B；
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径).
思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？
(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？
[提示] (1)适用．三角形的面积公式对任意的三角形都成立．(2)能．利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解．
2．三角形中常用的结论
(1)A＋B＝π－C，＝－；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(4)三角形中的诱导公式
sin
(A＋B)＝sin
C，cos
(A＋B)＝－cos
C，
tan
(A＋B)＝－tan
C，
sin
＝cos
，cos
＝sin
．
1．下列说法中正确的是
(填序号).
①已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；
②在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则A＝60°；
③在△ABC中，若a＝6，b＝4，C＝30°，则S△ABC的面积是6；
④在△ABC中，若sin
2A＝sin
2B，则A＝B.
③ [①中三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.
②由S＝bc
sin
A可得sin
A＝，
∴A＝60°或120°.
④在△ABC中由sin
2A＝sin
2B得A＝B或A＋B＝.]
2．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积为
．
9 [由题知A＝180°－120°－30°＝30°，由＝知b＝6，∴S＝ab
sin
C＝18×＝9.]
3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为
．
3 [由题知S△ABC＝ab
sin
C＝15得sin
C＝.
又由＝2R得c＝2×＝3.]
三角形面积的计算
【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos
A＝，b＝.
(1)求sin
C的值；
(2)求△ABC的面积．
[解] (1)∵角A，B，C为△ABC的内角，且B＝，
cos
A＝，∴C＝－A，sin
A＝.
∴sin
C＝sin
＝cos
A＋sin
A＝.
(2)由(1)知sin
A＝，sin
C＝.
又∵B＝，b＝，∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
∴△ABC的面积S＝ab
sin
C＝×××＝.
1．由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用．
2．如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．
1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为( )
A．6
B．3
C．2
D．2或3
D [因为S△ABC＝bc
sin
A＝2，
所以bc＝6，又因为sin
A＝，
所以cos
A＝，又a＝3，
由余弦定理得9＝b2＋c2－2bc
cos
A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]
三角恒等式证明问题
【例2】 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
证明：＝.
思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．
[证明] 法一：(边化角)由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc
cos
A，b2＝a2＋c2－2ac
cos
B，∴a2－b2＝b2－a2－2bc
cos
A＋2ac
cos
B，
整理得：＝.
依正弦定理有＝，＝，
∴＝＝.
法二：(角化边)＝
＝＝＝.
1．三角恒等式证明的三个基本原则
(1)统一边角关系．
(2)由繁推简．
(3)目标明确，等价转化．
2．三角恒等式证明的基本途径
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形．
(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形．
2．在△ABC中，求证：＝.
[证明] 由正弦定理得
右边＝
＝
＝
＝＝＝左边．
∴原等式成立．
解三角形中的综合问题
[探究问题]
1.如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？
[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．
2．在探究1中，若sin
B＝sin
∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知∠ADB＝α，AB＝m，DC＝n，如何求出AC?
[提示] 若sin
B＝sin
∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.
【例3】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，b
sin
－c
sin
＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知等式即证．
(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值．
[解] (1)证明：由b
sin
－c
sin
＝a，应用正弦定理，得sin
B
sin
－sin
C
sin
(＋B)＝sin
A，所以sin
B(sin
C＋cos
C)－sin
C(sin
B＋cos
B)＝，
整理得sin
B
cos
C－cos
B
sin
C＝1，
即sin
(B－C)＝1，因为0(2)因B＋C＝π－A＝，所以B＝，C＝.
由a＝，A＝得b＝＝2sin
，c＝＝2sin
，所以△ABC的面积S＝bc
sin
A＝sin
·sin
＝cos
sin
＝.
(变条件，变结论)将例题中的条件“A＝，b
sin
－c
sin
＝a”改为“△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)”．求：
(1)角C的大小；
(2)求sin
A＋sin
B的最大值．
[解] (1)由题意可知ab
sin
C＝×2ab
cos
C.
所以tan
C＝，因为0所以C＝.
(2)由已知sin
A＋sin
B＝sin
A＋sin
＝sin
A＋sin
＝sin
A＋cos
A＋sin
A
＝sin
≤，
当A＝，即△ABC为等边三角形时取等号．所以sin
A＋sin
B的最大值为.
1．解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键．
2．三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用．
处理三角形问题时常用的公式
(1)l＝a＋b＋c(l为三角形的周长).
(2)A＋B＋C＝π.
(3)三角形内切圆的半径：r＝.特别地，当△ABC为直角三角形，c为斜边时，r＝.
(4)三角形的面积S＝，这里p＝(a＋b＋c)，这就是著名的海伦一秦九韶公式．
(5)三角形的面积S＝＝2R2sin
A
sin
B
sin
C(R为△ABC外接圆的半径).
1．判断正误
(1)公式S＝ab
sin
C适合求任意三角形的面积．
( )
(2)三角形中已知三边无法求其面积．
( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] 已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
C＝，b
cos
A＋a
cos
B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4
π B．8
π C．9
π D．36
π
C [由余弦定理及题意得
b·＋a·＝2，
即＝2，
整理得c＝2，由cos
C＝得sin
C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π.]
3．在△ABC中，已知B＝，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为
．
5 [在△ADC中，∵AD＝10，AC＝14，DC＝6，
∴cos
∠ADC＝＝＝－.
又∵∠ADC∈(0，π)，∴∠ADC＝，
∴∠ADB＝.
在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AB＝＝＝5.]
4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinA
sin
C.
(1)若a＝b，求cos
B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解] (1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos
B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
PAGE第2课时 角度问题
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1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题．(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题．(难点)3.能根据题意画出几何图形．(易错点)
通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养．
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示).
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围：[0°，360°)．
思考：方位角的范围为什么不是(0，π)?
[提示] 方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是[0，2π).
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是( )
A．α＞β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
B [由仰角与俯角的水平线平行可知α＝β.]
2．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
D [如图所示：
∠BAC＝130°.]
3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3千米到B处，再沿正东方向行走2千米到C处，则A、C两地的距离为________千米．
7 [如图所示，由题意可知
AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.
由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2·cos
150°＝49，AC＝7.所以A，C两地的距离为7千米．]
,角度问题
【例1】 (1)如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°
B．北偏西10°
C．南偏东80°
D．南偏西80°
(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6
m，下底长为10
m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )
A．，60°
B．，60°
C．，30°
D．，30°
(1)D (2)B [(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10
m，CD＝6
m，高DE＝2
m，则AE＝＝2
m，
∴tan
∠DAE＝＝＝，
∴∠DAE＝60°.]
测量角度问题画示意图的基本步骤
1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20
km/h；水的流向是正东，流速是20
km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东
，大小为
km/h.
60° 20 [
如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos
120°＝1
200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.]
求航向的角度
【例2】 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
思路探究：①你能根据题意画出示意图吗？
②在△ABC中，能求出BC与∠ABC吗？
③在△BCD中，如何求出∠BCD?
[解] 设缉私船用t小时在D处追上走私船，画出示意图，则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2×(－1)×2×cos
120°＝6，
∴BC＝，且sin
∠ABC＝·sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向成90°角．
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin
∠BCD＝＝
＝，∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在上时，用正、余弦定理皆可．
2．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a
n
mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n
mile?
[解]
如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x
n
mile，则AC＝x，
由正弦定理得sin
θ＝＝，而θ<60°，∴θ＝30°，
∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a
n
mile.
求解速度问题
[探究问题]
1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4
km，从B到C，方位角是120°，距离是8
km，从C到D，方位角是150°，距离是3
km，试画出示意图．
[提示] 如图所示：
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？
[提示] 在上图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝
＝4，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h).
3．在探究1中若投递员以24
km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16
km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝＝(时)＝30(分)，追投递员的人所用时间由探究2可知
t2＝＝(时)＝15分；由于30>15＋10，所以此人在C点
【例3】 如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里/时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin
θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决．
[解] 设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，
则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，
由余弦定理得，
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，即128t2－60t－27＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)，
∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里).
根据正弦定理，
得sin
∠BAC＝＝，
则cos
∠BAC＝＝.
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，
sin
θ＝sin
(45°－∠BAC)
＝sin
45°cos
∠BAC－cos
45°sin
∠BAC＝.
(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东15°的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度．
[解]
设乙船的速度为x海里每小时，用t小时甲船追上乙船，且在C处相遇(如图所示)，则在△ABC中，AC＝28t，BC＝xt，∠CAB＝30°，
∠ABC＝135°.
由正弦定理得＝，
即＝.
所以x＝＝
＝14海里/时．
故乙船的速度为14海里/时．
解决实际问题应注意的问题
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．
正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
1．判断正误
(1)如图所示，该角可以说成北偏东110°.
( )
(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.
( )
(3)方位角210°的方向与南偏西30°的方向一致．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)说成南偏东70°或东偏南20°.(2)方位角的范围是[0，2π).
2．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A．北偏西34°27′
B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′
D．南偏西34°27′
A [由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.]
3．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东5°
B．北偏西10°
C．南偏东5°
D．南偏西10°
B [由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.]
4．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高度AB等于( )
A．
B．
C．
D．
A [结合题图可知∠DAC＝β－α.
在△ACD中，由正弦定理得
＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ABC中，
AB＝AC
sin
β＝.]
PAGE1.2 应用举例
第1课时 解三角形的实际应用举例
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1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养．
1．基线的概念与选择原则
(1)定义
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
(2)性质
在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
[提示] 利用正弦定理和余弦定理．
2．测量中的有关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)
(3)视角
从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的夹角，如图所示，视角50°指的是观察该物体的两端视线张开的角度．
思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？
[提示] 东南方向．
1．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为( )
A．α＋β
B．α－β
C．β－α
D．α
C [如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]
2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据( )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
C [选择a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．]
3．某人先向正东方向走了x
km，然后他向右转150°，向新的方向走了3
km，结果他离出发点恰好为
km，那么x的值为( )
A．
B．2
C．2或
D．3
C [如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6x
cos
30°，
即x2－3x＋6＝0，解之得x＝2或.]
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60
m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋3)m
A [由正弦定理可得＝，则PB＝＝(m)，设树的高度为h，则h＝PB
sin
45°＝(30＋30)m.]
测量距离问题
【例1】 海上A，B两个小岛相距10
海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是( )
A．10
海里
B．海里
C．5海里
D．5海里
D [
根据题意，可得如图所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.
由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里).]
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
1．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度为
m.
60 [由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽＝BD＝120·sin
30°＝60(m).]
测量高度问题
【例2】 (1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100
m，点C位于BD上，则山高AB等于( )
A．100
m
B．50
m
C．50
m
D．50(＋1)m
(2)在一幢20
m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A.20
m
B．20(1＋)m
C．10(＋)m
D．20(＋)m
思路探究：(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解．
(2)解决本题关键是画出示意图．
(1)D (2)B [(1)设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝h，∴h－h＝100，即h＝50(＋1).
(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD＝20
m，BC＝AD＝20
m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20
m，
∴EC＝CD·tan
60°＝20
m，
∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.选B.]
解决测量高度问题的一般步骤
(1)画图：根据已知条件画出示意图．
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形．
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．
2．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4
m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan
α＝1.24，tan
β＝1.20，请据此算出H的值．
[解] 由AB＝，BD＝，
AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124.
因此电视塔的高度H是124
m．
与立体几何有关的测量问题
[探究问题]
1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．
[提示] 用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示．
2．在探究1中若要求山高CD，怎样求解？
[提示] 由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.
【例3】 如图所示，为了测量河对岸的山高AB，有不同的方案，其中之一是选取与山底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200
m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求山高AB.
思路探究：利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．
[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．
(变条件)若将例题中的条件“CD＝200
m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°”改为“CD＝800
m，在D点测得山顶A的仰角为45°，∠CDB＝120°，又在C点测得∠DCB＝45°.”求山高AB.
[解] 在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800
m，∠BCD＝45°，
由正弦定理，＝，
BD＝＝
＝800(＋1)m，
又∠ADB＝45°，AB＝BD.
∴AB＝800(＋1)m.
即山的高度为800(＋1)m．
测量高度问题的两个关注点
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
1．本节课要掌握三类问题的解法
(1)测量距离问题．
(2)测量高度问题．
(3)与立体几何有关的测量问题．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
1．判断正误
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．
( )
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．
( )
(3)东偏北45°的方向就是东北方向．
( )
(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
[提示] 已知三角形中至少知道一条边才能解三角形，故(1)错．两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错．
2．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20
m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2
B．d1C．d1>20
m
D．d2<20
m
B [如图，设旗杆高为h，则d1＝，d2＝.
因为tan
50°>tan
40°，所以d13．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80
m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)( )
A．110
m
B．112
m
C．220
m
D．224
m
A [
如图，设CD为金字塔，AB＝80
m．设CD＝h，则由已知得(80＋h)×＝h，h＝40(＋1)≈109(m).从选项来看110最接近，故选A.]
4．在高出海平面200
m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为
m.
200(＋1) [过点A作AH⊥BC于点H，
由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200
m，则BH＝AH＝200
m，CH＝AH·tan
60°＝200
m．
故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.]
5．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
[解] 由题意，画出示意图．
(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12.
由正弦定理得AD＝·sin
45°＝24(海里).
(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC
cos
30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，
∴CD＝8(海里).
即A处与D处之间的距离为24海里，C、D之间的距离为8海里．
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