第2课时 数列的通项与递推公式
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习
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标
核
心
素
养
1.理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会求数列中的最大(小)项．(易错点)
1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养．2．借助数列最大(小)项的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．
1．数列递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
思考：已知an＋1＝2an，a1＝2，a5的值是什么？
[提示] a5＝32.
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式
通项公式
区别
表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系
表示an与n之间的关系
联系
(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N
)就能确定这个数列吗？
[提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
1．符合递推关系式an＝an－1的数列是( )
A.1，2，3，4，…
B．1,
，2，2，…
C.，2,
，2，…
D．0,
，2，2，…
[答案] B
2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝( )
A.－3 B．－11
C．－5 D．19
D [a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，
a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，
a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]
3．已知a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝
．
[a2＝1＋＝1＋1＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.]
4．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2
022－a2
021＝________．
2
021 [由an＋1－an＝n，得a2
022－a2
021＝2
021.]
由递推关系写出数列的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
[解] ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
数列的最大(小)项的求法
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．
思路探究：①an＋1－an等于多少？②n为何值时，an＋1－an>0？an＋1－an<0?
[解] 法一：(单调性法)∵an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)·＝·，
当n<9时，an＋1－an>0，即an
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＝an＋1；
当n>9时，an＋1－an<0，即an>an＋1；
故a1a11>a12>…，
所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝.
法二：(最大项法)设ak是数列{an}的最大项．
则
即
整理得
得9≤k≤10，∴k＝9或10，即数列{an}中的最大项为
a9＝a10＝.
求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项．
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N
且k≥2都成立，解不等式组即可．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，
解得1∵n∈N
，∴n＝2，3，∴数列中有两项是负数．
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.
又∵n∈N
，故n＝2或3时，an有最小值，且a2＝a3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.
法二：设第n项最小，由
得
解这个不等式组，得2≤n≤3，
∴n＝2或3，∴a2＝a3且最小．
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
由递推公式求数列的通项公式
[探究问题]
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示] 由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N
，n≤30).
2．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
[提示] 对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1.
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1···…·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
[提示] 等式a1···…·＝an成立．
按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N
).
【例3】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
思路探究：(1)先将an＋1＝an＋变形为an＋1－an＝－，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．
(2)先将an＝an－1(n≥2)变形为＝，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．
[解] (1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2).
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N
).
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，
an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N
).
1．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解] 由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.
2．将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N
”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”求数列{an}的通项公式．
[解] ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋(－)＋…＋
＝＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
2．数列的表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
1．判断正误
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．
( )
(2)有些数列可能不存在最大项．
( )
(3)递推公式是表示数列的一种方法．
( )
(4)所有的数列都有递推公式．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[提示] 并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式．
2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．]
3．数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( )
A．a1，a50
B．a1，a44
C．a45，a44
D．a45，a50
C [an＝
＝1＋.
∴当n∈[1，44]且n∈N
时，{an}单调递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N
时，{an}单调递减，结合函数f(x)＝的图象(图略)，可知(an)max＝a45，(an)min＝a44.]
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
，求an.
[解] 由题意得an＋1－an＝ln
，
∴an－an－1＝ln
(n≥2)，
an－1－an－2＝ln
，
…，
a2－a1＝ln
.
∴当n≥2时，an－a1＝ln
(··…·)＝ln
n，
∴an＝2＋ln
n(n≥2).
当n＝1时，a1＝2＋ln
1＝2，符合上式，∴an＝2＋ln
n(n∈N
).
PAGE2.1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念及简单表示法
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标
核
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素
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1.理解数列的概念．(重点)2.掌握数列的通项公式及应用．(重点)3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)
1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．
1．数列的概念及一般形式
思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
2．数列的分类
分类标准
数列名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域
正整数集N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式
数列的通项公式
值域
自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值构成
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示]
如图，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝n＋1
C.an＝n＋2
D．an＝2n
C [经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.]
2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第
项．
24 [an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第
项．
3 [令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]
4．数列1，2,
，，，…中的第26项为
．
2 [因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.]
数列的概念及分类
【例1】 已知下列数列：
①2
016，2
017，2
018，2
019，2
020，2
021；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin
，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是
，无穷数列是
，递增数列是
，递减数列是
，常数列是
，摆动数列是
(填序号).
①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．]
判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列，
，
，
，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
① ②③ ① ② ③ [①为有穷数列；②③是无穷数列．同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．]
由数列的前几项求通项公式
【例2】 写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，3，，；
(3)0.9，0.99，0.999，0.999
9；
(4)3，5，3，5.
思路探究：①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？
[解] (1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，
正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为
an＝(－1)n·.
(2)数列可化为，，，，即，，，，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，
故原数列的一个通项公式为
an＝＝.
(3)原数列可变形为，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝1－.
(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征；
(2)相邻项的变化特征；
(3)拆项后的特征；
(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2．写出下列数列的一个通项公式：
(1)0，3，8，15，24，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)1，2，3，4，…；
(4)1，11，111，1
111，….
[解] (1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N
).
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N
).
(3)此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝(n∈N
).
(4)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9
999，…，易知数列9，99，999，9
999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N
).
数列通项公式的应用
[探究问题]
1．数列，，，，，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？
[提示] 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为an＝，当n＝7时，a7＝＝，若为该数列中的一项，则＝，解得n＝8，所以是该数列中的第8项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]
由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
思路探究：(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；
(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．
[解] (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
1．(变结论)若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？
[解] (1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．
[解] ∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.
∵n∈N
，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N
(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．
2．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
1．判断正误
(1)数列1，1，1，…是无穷数列．
( )
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．
( )
(3)有些数列没有通项公式．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误．虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
2．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于( )
A．11
B．12
C．13
D．14
C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]
3．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第
项．
11 [令＝8，得n＝11.]
4．已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
[解] (1)由题设条件，知an＝＋2n.
∴a4＝＋2×4＝10，a25＝＋2×25＝55.
(2)假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.
∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，
这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
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