(共28张PPT)
1.1.1 正弦定理
1. 复习三角形中的边角关系
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
大角对大边
（一）任意三角形中的边角关系
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
1、角的关系
2、边的关系
3、边角关系
2. 正弦定理
A
B
C
a
b
c
在直角三角形ABC中的边角关系有：
对于一般的三角形是否也有这个关系？
所以AD=csinB=bsinC, 即
同理可得
D
A
c
b
C
B
过点A作AD⊥BC于D,
此时有
(1) 若三角形是锐角三角形, 如图
且
可得
D
(2) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角
此时也有
交BC延长线于D,
过点A作AD⊥BC，
C
A
c
b
B
图2
正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等.
＝ ＝
a
sinA
b
sinB
c
sinC
＝
(3) 外接圆法
A
B
C
C1
a
b
c
O
如图:
R
C
c
C
c
2
sin
sin
1
=
=
R
A
a
R
B
b
2
sin
2
sin
=
=
，
同理：
(
)
为外接圆半径
即：
R
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
=
=
=
3. 正弦定理的应用
一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们
的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
例1 在 中，已知
，求b（保留两个有效数字）
解：∵
已知两角和任一边，求其他两边和一角
变式训练：
（1）
在△ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。
（2）
在△ABC中，已知c= ，A= ，B= ，求b。
解：
∵
∴
=
=
解：
∵
=
又
∵
∴
例题2：在三角形ABC中已知
解三角形。
例3 在 中，已知
，求
解：由
得
∵ 在 中
∴ A 为锐角
已知两边与其中一边的对角，求其它边和角.
例 4
已知 a=16， b= ， A=30°
解三角形
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝60°
或Ｂ＝120°
当 时
Ｂ＝60°
C=90°
C=30°
当Ｂ＝120°时
B
16
300
A
B
C
16
3
16
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
或Ｂ＝1800－25.70=154.30
由于154.30 +300>1800
故B只有一解 （如图）
C=124.30,
变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形
300
A
B
C
26
30
解：由正弦定理
得
所以
Ｂ＝25.70,
C=124.30,
∵a > b ∴ A > B ,
三角形中大边对大角
b
a
B
A
C
a
B
例题5: 三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm,
A=400,解三角形。
变式：在例 5中，将已知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
60°
A
B
C
b
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
a
无解
a=bsinA
一解
bsinA两解
一解
a≥b
Ａ为直角或钝角
a>b
一解
a≤b
无解
Ａ
Ｂ
Ｃ
b
a
Ａ
Ｃ
b
a
Ａ
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ１
Ｂ２
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
（1）在△ABC中,B=1350,a=2,b= ,求A
大边对大角，故本题无解。
（2）在△ABC中,A=450,a=2,b= ,求B
（3）在△ABC中,b= ,a=2,B=450,求A
（4）在△ABC中,b= ,a= ,B=450,求A
或120o
练习
(5)下列条件判断三角形解的情况，正确的是
（ ）
D
1. 已知两角及一边解三角形一定只有一解。
2. 已知两边及一边的对角解三角形，可能无解、一 解或两解。
知识归纳：
A的范围
a,b关系
解的情况
（按角A分类）
已知两边a、b和一边对角A的斜三角形的解：
A为钝角或直角
A为锐角
a＞b
a≤b
a≥b
a＜bsinA
a=bsinA
a＞bsinA
一解
无解
一解
无解
一解
两解
例6 在 中，
，求 的面积S．
∴由正弦定理得
（2）在 中，若 ，
则 是( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
（1）在 中，一定成立的等式是（ ）
C
D
练习
D
（4）在任一 中，求证：
证明：由于正弦定理：令
左边＝
代入左边，得
∴ 等式成立
=右边
4.小结
(2) 应用
1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他 的边和角）
(1) 定理
5.作业:(共16张PPT)
的应用
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。
解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。
我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦……
正弦定理
余弦定理
（R为三角形的外接圆半径）
A
B
C
a
c
b
正、余弦定理在实际测量中有许多应用，主要体现有：
主要工具： 经纬仪——测量角度
钢卷尺——测量距离
基本名词、术语
1、坡 度：斜面与地平面所成的角度。
2、仰、俯角：在视线和水平线所成的角中，
视线在水平线上方的角叫仰角，
视线在水平线下方的角叫俯角。
3、方 位 角：从正北方向顺时针转到目标方
向的夹角。
4、视 角：由物体两端射出的两条光线在
眼球内交叉而成的角
例1：海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。
A
C
B
10海里
60°
75°
答：
海里
应用热身
解：应用正弦定理，C=45 °
例2、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。
A
南
B
10 °
C
要求速度应先求出所航行距离BC
易知：2小时敌舰航行距离AC=20，
而AB=12，∠BAC=120°
由余弦定理可求BC，从而求出速度。
50 °
应用热身
分析：
4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
解三角形理论应用于实际问题一般步骤：
1、分析：认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、建模：动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。
3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形，求得数学模型的解。
实际
问题
数学问题的解
（解三角形）
数学问题
（三角形）
实际问
题的解
解三角形的应用----
距离测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
A
B
解三角形的应用----
距离测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
A
B
α
β
C
怎样构造三角形？
解三角形的应用----
距离测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？
A
B
α
β
C
A
B
α
β
C
a
简解：由正弦定理可得
a
上式中a、α、β已知，故AB可求
解三角形的应用----
距离测量举例
想一想：如何测定河对岸两点A、B间的距离？如图在河这边取一点，构造三角形ABC，能否求出AB 为什么？？
A
B
C
解三角形的应用----
距离测量举例
例3、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
A
B
C
D
注意测量的方法
A
B
C
D
解三角形的应用----
距离测量举例
例3、基线CD=1公里，∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求AB
B
C
1Km
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。
略解：Rt△ACD中，
△BCD中， ，可求BD。
由余弦定理在△ABD中可求AB。
练习1：一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
（已知sin20o ≈ 0.342, sin65o ≈ 0.906)
练习2：自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为66°20 ′ ，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
解：由余弦定理，得
(已知cos66°20 ′ ≈0.403)
C
A
B
1.40
1.95
66°20′
解三角形应用举例
小 结
实际问题
求解
解三角形
实际问题的解
还原说明
抽象概括
示意图
构造三角形
注意合理性！(共28张PPT)
1.1.2 余弦定理
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
①
已知两角和一边，求其他角和边
②
已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角
1.复习回顾：
(2) 正弦定理的变形：
(3) 三角形面积公式：
证明：
∵
而
∴
B
A
C
D
a
b
c
ha
同理
∴
如果已知一个三角形的两条边及其夹角（SAS型）或者是三条边（SSS型），根据三角形全等的定理，该三角形大小形状完全确定，那么如何解出这个三角形呢？
思考： 前面我们利用正弦定理已经解决了两角一边（AAS、ASA型）和两边一角（SSA型）的解三角形问题，那么在知三求三的类型中还有哪些种可能？
C
B
A
c
a
b
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角
为∠C， 求边c.
﹚
设
由向量减法的三角形法则得
2.余弦定理
（1）向量法
C
B
A
c
a
b
﹚
﹚
由向量减法的三角形法则得
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,
求AB 边 c.
设
C
B
A
c
a
b
﹚
余弦定理
由向量减法的三角形法则得
思考： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
BC=a,CA=b,求AB 边 c.
设
余 弦 定 理：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
B
A
b
a
c
b
A
a
c
C
B
证明：以CB所在的直线为x 轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：
x
y
（2）解析法
A
B
C
a
b
c
D
当角C为锐角时
（3）几何法
b
A
a
c
C
B
D
当角C为钝角时
C
B
A
a
b
c
余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA
A
B
C
c
b
a
同理有：
D
推论：
应用一：已知两边和它们的夹角，求
第三边和其他两个角；
三、余弦定理的应用
例1、在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=410 ，解三角形（边长精确到1cm，角度精确到10）
练习
2. 已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=3, c2=5
应用二：已知三边，求三个角。
例2、在△ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm，c=161.7 ，解三角形（角度精确到1’）
练习4.在△ABC中，已知a= ,b=2,c= ,解三角形
解：由余弦定理得
应用三：判断三角形的形状
例３、在△ABC中， ，
那么Ａ是（ ）
Ａ. 钝角 Ｂ. 直角
Ｃ. 锐角 Ｄ. 不能确定
Ａ
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
△ABC是锐角三角形
△ABC是直角三角形
7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定△ABC的形状
分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角
B决定的。
变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么求解
练习：
8.一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。
B
A. 1，2，3 B. 2，3，4
C. 3，4，5 D. 4，5，6
9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。
解：
则有：b是最大边，那么B 是最大角
四、小结
（1）余弦定理：
（2）推论:
（3）余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
已知两边及其夹角，求第三边和其他
两个角。
2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。
五、作业