2020-2021学年人教版数学八年级下册18.1.2.1平行四边形的3个判定定理教案

18.1.2
平行四边形的判定(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
平行四边形的三个判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．内容解析
平行四边形的三个判定定理分别从边、角、对角线等方面说明判定平行四边形的条件．在平行四边形的判定中，平行四边形的定义是第一种判定方法，其他判定方法都需要运用定义，通过证明才能成为判定定理．
平行四边形判定的探究是在类比勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质与判定定理以及平行线性质与判定等基础上进行的.
通过类比这些性质和判定的命题关系得到启发：从平行四边形性质出发，探索其逆命题真假．在平行四边形判定的探究过程中，运用类比思想，以及原命题与逆命题之间的关系，发现结论，形成猜想，用演绎推理证明猜想，发展学生的推理能力．
在运用平行四边形判定定理解决问题的过程中，需要学生根据已知条件，尝试从不同角度寻求判定平行四边形的最佳方法，训练学生思维灵活性与深刻性．
基于以上分析，本节课的教学重点是：平行四边形判定定理的探究与应用．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究特殊图形判定的一般思路．
(2)掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证．
2．目标解析
目标(1)的具体要求是：体会对图形判定探究的一般思路是从图形性质的逆命题出发，先形成猜想，然后利用定义进行演绎证明．
目标(2)的具体要求是：在证明平行四边形的过程中，能根据不同的条件，选择不同的判定定理进行推理论证．
三、教学问题诊断分析
对于八年级下学期的学生而言，经过近两年的初中学习，推理的意识与能力有所加强.在知识储备上，学生已经学行四边形的性质，对命题与逆命题，定理与逆定理已经有了初步的认识.
因此对平行四边形判定的学习不能只是在实验操作中发现，而应当从性质的逆命题出发，先进行猜想，再进行证明．这样的学习经历有利于他们后续的学习．但可能有些学生还不能有意识地从性质定理的逆命题出发，提出判定平行四边形的条件；另外，根据一个数学命题写出它的逆命题，学生可能也有困难．
基于以上分析，本节课的教学难点是：通过研究性质定理的逆命题提出判定定理的猜想．
四、教学过程设计
1．复习反思，引出课题
问题1通过前面的学习，我们对平行四边形已经有了一些了解，请说说你都知道了哪些？
师生活动：学生回答学行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，还有平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分．
追问1：根据以往的几何学习经验，接下来我们应该研究什么呢？
师生活动：学生回答研究平行四边形的判定．
追问2：根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．除了平行四边形的定义，还有没有其他判定方法呢？我们如何寻找其他判定方法？
设计意图：通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定问题．
2．经验类比，提出猜想
问题2：在以前的学习经历中，我们有过类似的经验吗？
师生活动：在教师引导下，学生回忆学过的一些图形判定定理的内容，如勾股定理的逆定理、等腰三角形判定定理以及平行线的判定等．通过与相应图形性质定理的对比，得到启发：可以尝试从性质的逆命题出发研究图形的判定．
追问1：对于平行四边形，我们能否也可以通过研究性质的逆命题而获得判定平行四边形的方法呢？
师生活动：教师顺势给出下表，待学生互相补充完善后形成猜想，并填入表格．
平行四边形的性质
平行四边形的判定
平行四边形的对边相等
猜想1：
平行四边形的对角相等
猜想2：
平行四边形的对角线互相平分
猜想3：
追问2：原命题正确，逆命题一定正确吗？
师生活动：
学生回答不一定，教师适时提出得到的猜想是否正确必须经过逻辑推理．
设计意图：从对命题的结构分析中提出猜想．在对原命题正确，逆命题不一定正确的反思中感悟证明的必要性．
3．理性思考，证明定理
问题3：你能证明上述猜想吗？
师生活动：对于猜想1与猜想2，教师引导学生画出图形，写出已知、求证，要求学生口头证明．对于猜想3，要求自己选择适当的方法书写证明过程．
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例进行证明．教师引导学生画出图形，并写出已知、求证．
如图18.1.2(1)-1，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
图18.1.2(1)-1
追问：要证明AB∥DC
以及AD∥BC．根据平行线的判定，需要利用角的关系进行证明，你能得到相应的角的关系吗？
师生活动：学生回答可利用三角形全等证明内错角相等，从而得到两条直线平行．教师及时强调化四边形为三角形的思想，在此基础上师生共同完成证明过程．
小结：通过推理论证的真命题可以成为定理，我们把上述三个结论称为平行四边形的判定定理．加上平行四边形的定义，我们一共有四种判定平行四边形的方法．
设计意图：引导学生从定义出发，证明上述逆命题为真．理解平行四边形的性质(平行四边形的对角线互相平分)和判定(对角线互相平分的四边形是平行四边形)都是从定义出发经过推理得到的真命题．
4．运用定理，解决问题
例1
如图18.1.2(1)-2，AB＝DC＝EF，AD＝BC，DE＝CF．求证：AB∥EF．
师生活动：学生独立思考形成思路后，由学生口述证法，教师板演．
设计意图：在平行四边形的证明中，最常用的是利用边或对角线进行证明．由于书上的例题只涉及对角线的证法，所以增加此例．同时示范证明过程的写法．下面的例2可以更多地关注思路分析与判定定理的灵活应用．
例2
如图18.1.2(1)-3，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
师生活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生先说思路，然后教师追问：你是怎样想到的？对学生思路中的合理成分进行总结；若学生没有思路，教师可引导学生分析：从条件出发，你能联想到的结论有哪些？从要证明的结论出发，证明一个四边形是平行四边形有哪些方法？从而启发学生形成思路．
追问：你还有其他证明方法吗？你更喜欢哪一种证法？
结论：在证明平行四边形时，若条件集中在对角线上，运用与对角线有关的判定定理解决问题相对简便．分析问题条件的特点，选择适当的判定定理，可以帮助我们获得简便的解题方法．
设计意图：引导学生多角度思考证明思路，初步学会评价证明思路的合理性．
例3
在例2中，若E，F分别为直线AC上的两点，如图18.1.2(1)-4，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论．
师生活动：教师引导学生分析思路，若学生提出不同的思路，应对不同思路进行点评．
设计意图：对例2进行简单变式，促进知识的迁移应用，发展数学思维．
5．小结
教师引导学生参照下面问题，回顾本节课所学的主要内容，进行相互交流：
(1)通过本节的学习，我们一共有几种判定平行四边形的方法？
(2)在具体证明中，如何选择这些判定方法？
(3)结合本节课的学习过程，谈谈对研究几何图形判定方法的思考．
教师结合图18.1.2(1)-5从发现问题、提出问题(通过考查性质定理的逆命题得到猜想)，分析问题和解决问题(利用定义证明猜想，形成判定定理)等方面进行总结
图18.1.2(1)-5
设计意图：通过小结，梳理本节课所学内容，总结方法，体会思想．
6．布置作业
教科书第47页练习第1，2题；习题18.1第5，12题．
五、目标检测设计
1．已知四边形ABCD，下面给出四对条件，它们是否能判定四边形ABCD是平行四边形？若能，请在该条件后面写出判定的依据．
(1)AB＝BC，AD＝CD
_；
(2)AB＝CD，AD＝BC
_；
(3)∠A＝∠B，∠C＝∠D
；
(4)∠A＝∠C，∠B＝∠D
．
设计意图：考查平行四边形的判定定理1，2．
2．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
E，F是对角线AC上的两点．请补充一个关于点E，F的条件，使四边形DEBF是平行四边形．你补充的条件是
．
设计意图：考查平行四边形的判定定理3，强化学生对平行四边形图形特征(中心对称性)的认识．
3．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的点，且AE＝CG，BF＝DH．证明：四边形EFGH是平行四边形.
设计意图：考查灵活选取平行四边形的判定定理进行推理论证的能力．
4．如图，O是□ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．
设计意图：综合考查平行四边形的性质和判定．
参考答案：
1．(1)不能，(2)能，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)不能；(4)能，两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
2．答案不唯一，如AE＝CF，E，F分别为OA，OC的中点等．
3．提示：用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理．
4．提示：先证OE＝OF，然后用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理．
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