简单的函数方程专题讲座 16张PPT

(共16张PPT)
二面角
高中数学教师欧阳文丰制作
函数方程的概念
含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。
如
f(x+1)=x是函数方程，其解为函数f(x)=x-1
f(x)=f(-x)是函数方程，其解为偶函数
f(x)=-f(-x)是函数方程，其解为奇函数
f(x)=f(x+2)是函数方程，其解为周期为2的周期函数
寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，叫做解函数方程。
在中学阶段，解决这类问题的一般方法是换元法。换元法包括第一换元法(替换整体)和第二换元法(替换x)(特值法或代入法)。换元法要特别注意换元后函数方程是否等价，即要注意换元时变量的变化范围是否保持不变。
目前求解函数方程还没有完备的理论和方法，其技巧性较强。
任何解方程都需要保证同解，既不能出现增根，也不能出现失根。采用特值法对函数方程的变形通常是不同解的，一般只是必要而非充分条件，因此函数方程一般在获得解后需要代入原方程进行检验。
一、换元法
换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量），然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。是解函数方程的基本方法之一。对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而来得到原方程的解。
典型例题讲解
例题1、(1)已知
，则f(x)＝________.
(2)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
典型例题讲解
例题2设函数
满足条件
，求
。
典型例题讲解
设函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非0的实数都有：
求f(x)。
答案：
变式练习1
典型例题讲解
例题4、已知函数f(x)的定义域为x≠1,且满足：
求函数f(x)。
变式练习2
已知
，求函数
。
变式练习3
已知
且
n为奇数，
求函数
。
二、待定系数法
例题5、已知
，求
典型例题
例题6、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17，不论x为何值都成立，所以解得所以f(x)＝2x＋7.
三、赋值法
例题7、设函数f(x)定义于实数集R上，且f(0)=1，若对于任意实数m、n，都有：f(m-n)=f(m)-n(2m-n+1)，求f(x)。
例题8、设函数f(x)是定义在自然数集N，且f（1）=1,若对任意自然数x和y都有：
求f(x).
典型例题讲解
变式练习4
已知f(n)是定义在正整数集上，且f(1)=1,
求f(n)。